三点共线问题

高考数学优质专题（附经典解析）

三点共线问题

基本方法：

三点共线问题解题策略一般有以下几种：

①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；

②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；

③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；

④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，再证明第三点也在该直线上;

⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.

⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线.

在处理三点共线问题时，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.

一、典型例题

1．已知椭圆2

2:12x C y +=，41,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭

为椭圆上一点，若,R S 是椭圆C 上的两个点，线段RS 的中垂线l 的斜率为12

且直线l 与RS 交于点P ，O 为坐标原点，求证：,,P O M 三点共线．

2．已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率

e =．过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，

交椭圆于A 、B 两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围；

（3）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．

二、课堂练习

1．抛物线2:4C y x =，已知斜率为k 的直线l 交y 轴于点P ，且与曲线C

相切于点A ，点B 在曲线C 上，且直线PB x 轴，P 关于点B 的对称点为Q ，判断点,,A Q O 是否共线，并说明理由.

2．已知椭圆22

143x y +=，点F 是椭圆的右焦点. 是否在x 轴上存在定

点D ，使得过D 的直线l 交椭圆于,A B 两点.设点E 为点B 关于x 轴的对称点，且,,A F E 三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由.

三、课后作业

1. 已知抛物线2:4C y

x =的焦点为F ，直线l 过点()1,0-，直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . 证明：,,B F D 三点共线.

2．已知椭圆:E 22

162x y +=，其右焦点为F ，过x 轴上一点()3,0A 作直线l

与椭圆E 相交于,P Q 两点，设(1)AP AQ λλ=>，过点P 且平行于y 轴的直线与椭圆E 相交于另一点M ，试问,,M F Q 是否共线，若共线请证明；反之说明理由.

3．已知椭圆22

:132x y E +=，过定点()3,4P -且斜率为k 的直线交椭圆E 于

不同的两点,M N ，在线段MN 上取异于,M N 的点H ，满足PM

MH

PN

NH =，证明：点H 恒在一条直线上，并求出这条直线的方程.