高三数学模拟试题(一)
四川省绵阳中学2025届高三模拟预测数学试题(一)
四川省绵阳中学2025届高考适应性月考卷（一）数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}3log 2A x x =<，{B y y ==，则()R A B =ð（）A.(0,9)B.[9,)+∞ C.{0}[9,)+∞ D.[0,9)2.若正实数a ，b 满足24a b ab +=-，则ab 的最小值为（）A.1B.2C.4D.83.已知1334a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，lg 4b =，3log 2c =，则（）A.a b c>> B.a c b>> C.c a b>> D.c b a>>4.已知α为锐角，且π2cos 43α⎛⎫+⎪⎝⎭，则cos 2α=（）A.9B.9-C.9或9- D.19或19-5.已知2cos ()()x xf xg x +=的部分图象如图，则()g x 可能的解析式为（）A.()22x xg x -=+ B.()22x xg x -=- C.2()g x x= D.()ln g x x=6.321()813f x x ax ax =--+在(3,0)-上有极大值，无极小值，则a 的取值范围是（）A.90,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()0,+∞C.(),3-∞- D.93,2⎛⎫- ⎪⎝⎭7.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n S ，且6220S S =≠，则下列说法正确的是（）A.2152q -+=B.{}n a 为递增数列C.{}n a 为递减数列D.42352S S =8.已知函数(1)y f x =+与()y g x =的定义域均为R ，且它们的图象关于1x =对称，若奇函数()g x 满足()(2)g x g x =-，下列关于函数()f x 的性质说法不正确的有（）A.()f x 关于2x =对称B.()f x 关于点(4,0)对称C.()f x 的周期4T = D.(2027)0f =二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.某类汽车在今年1至5月的销量y （单位：千辆）如下表所示（其中2月份销量未知）：月份x 12345月销量y2.4m455.5若变量y 与x 之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的经验回归方程为ˆ0.85 1.45yx =+，则下列说法正确的是（）A. 3.1m = B.残差绝对值最大为0.2C.样本相关系数0r <D.当解释变量x 每增加1，响应变量y 增加0.8510.函数()f x 满足x ∀，y ∈R ，有()()()f xy yf x xf y =+，下列说法正确的有（）A.(0)0f =B.(1)0f =C.()f x 为奇函数D.记()()f x g x x=，则()g x 在(0,)+∞上单调递减11.对于数列{}n a ，定义：1n n n a a a +∆=-，21n n n a a a +∆=∆-∆，*n ∈N ，则下列说法正确的是（）A.若n a n =，则2n a ∆=B.若2n a n =，则1n na a +∆>∆C.若3n a n =，数列{}n b 的前n 项和为n a ∆，则6n b n=D.若(2)2n n a n ∆=+⋅，12a =，则22n n na a a ∆=+∆三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数π()3sin(2)()2f x x ϕϕ=+<的图象关于点π(,0)6对称，则()f x 在ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为________.13.已知数列{}n a 满足134n n a a +=+，且10a =，则n a =________.14.cos 2()sin xf x x =，则()f x 在ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为________.四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）为了了解某校学生每天课后自主学习数学的时间（x 分钟/每天）和他们的数学成绩（y 分）的关系，学校数学组老师进行了一些调研，得到以下数据.学习时间x 2030405060数学成绩y59728297110（1）已知y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y 关于x 的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为85分钟时的数学成绩（结果精确到整数）；（参考数据：118070niii x y==∑，219000ni i x ==∑）（2）由于新高考改革，对于同学们自主学习提出了更高的要求，所以某校提倡学生周日下午学生返校自习，实施一段时间后，抽样调查了200位学生.按照是否参与周日自习以及成绩是否有进步，统计得到22⨯列联表.依据表中数据及小概率值0.001α=的独立性检验，分析“周日自习与成绩进步”是否有关（结果精确到0.01）.没有进步有进步合计参与周日自习30130160未参与周日自习202040合计50150200附：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-，22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.α0.100.050.0100.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82816.（本小题满分15分）已知()ln f x x a x =+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 的零点个数大于2，求a 的取值范围.17.（本小题满分15分）在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22b c ab =-.（1）求证：2C B =；（2）2b =，求a 的取值范围.18.（本小题满分17分）有2(4)n n ≥个正数，排成n 行n 列的数表：其中ij a 表示位于第i 行，第j 列的数，数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有列公比相等，已知141a =，333a =，355a =.1112131412122232423132333434142434441234n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⎛⎫⎪⋯ ⎪ ⎪⋯ ⎪⋯ ⎪ ⎪⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪⎪⋯⎝⎭（1）求in a ；（2）若n 为偶数，求224466nn a a a a ++++.19.（本小题满分17分）已知函数()(1)ln(1)(2)f x x x k x =----.（1）当1k =时，求证：()0f x ≥；（2）求证：()1111*234enn n +++≤∈N ；（3）记集合22eln e 10e kx k x A x x kx k +⋅=--⋅-⎭≥⎧⎫⎨⎬⎩+，若集合A 的子集至少有4个，求k的取值范围.四川省绵阳中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678答案CCBBDAAB【解析】1.{09}A x x =<<，{0}B y y =≥，()R {0}[9,)A B ∴=+∞ð，故选C.2.a b +≥24ab ∴-≥20ab ∴-≥，1≤-（舍）2≥，4ab ∴≥，当且仅当2a b ==时取“=”，min ()4ab ∴=，故选C.3.0314a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，lg101b <=，3log 31c <=，又32lg 22lg 22lg 3lg 9lg101lg 2log 2lg 3b c ====<=，b c ∴<，a c b ∴>>，故选B.4.2(cos sin )23αα-=-，14(1sin 2)29α∴-=，1sin 29α∴=，cos 2α∴=9=±.又π02α<<，ππ3π444α∴<+<.又π2cos 432α⎛⎫⎛⎫+=-∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π2∴<π3π44α+<，ππ42α∴<<，π2π2α∴<<，45cos 29α∴=-，故选B.5.由图象对称性：()f x 为偶函数，又2cos y x x =+为偶函数，则()g x 为偶函数，排除B ；从定义域看，排除A ；当2()g x x =时，0x →，()f x →+∞，排除C ，故选D.6.2()28f x x ax a '=--在(3,0)-上有下穿变号零点，无上穿变号零点，(3)0,(0)0f f '->⎧∴⇒⎨'<⎩902a <<，故选A.7.6220S S =≠，1q ∴≠±，2S ∴，42S S -，64S S -是公比为2q 的等比数列，()242S S ∴-=()264S S S -，即：2242420S S S S -⋅-=，()244220S S S S ∴--=，()22222220S S q S q S ∴+⋅⋅-=，422222220q S q S S ∴⋅+⋅-=，4210q q ∴+-=，212q -±∴=，212q -+∴=，故A 对；q={}n a ∴不为单调数列，故B ，C 错；又2421512S q S +=+=，故D错，故选A.8.(1)y f x =+与()y g x =关于1x =对称()(3)g x f x ⇒=-①，()g x 为奇函数()()0g x g x ⇒-+=②，又()(2)g x g x =-③，由①②③消去()g x ，得到：(3)(3)0f x f x -++=④()f x ⇒关于点(3,0)对称，(3)(1)f x f x -=+⑤()f x ⇒关于2x =对称，()y f x ∴=，4()T f x =⇒的对称轴有2x k =，k ∈Z ，所以A ，C 正确；对称中心为(32,0)k +，k ∈Z ，所以B 错误；(2027)(3)0f f =⇒，所以D 正确，故选B.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABABCABD【解析】9.由题意知：ˆ0.85 1.45yx =+，又3x =，则4y =， 3.1m ∴=，故A 对；各月份对应残差为0.1，0.05-，0，0.15，0.2-.∴残差绝对值最大为0.2，故B 对；变量y 与x 呈正线性相关，则0r >，故C 错；当解释变量x 增加1，响应变量y 不一定增加0.85，故D 错，故选AB.10.令0(0)0x y f ==⇒=；令1(1)2(1)(1)0x y f f f ==⇒=⇒=；令1(1)x y f ==-⇒=2(1)(1)0f f --⇒-=，令1()()(1)()()()y f x f x xf f x f x f x =-⇒-=-+-⇒-=-⇒为奇函数.由()()()f xy f x f y xy x y =+，可得()()()g xy g x g y =+，()g x 可用对数函数换底，如：()ln f x x x =，当0x >时，可利用导数求得()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故选ABC.11.A.111n n n a a a n n +∆=-=+-=，21110n n n a a a +∴∆=∆-∆=-=；B.22(1)21n a n n n ∆=+-=+，123n a n +∴∆=+，1n n a a +∆>∆；C.332(1)331n a n n n n ∆=+-=++，117b a ∴=∆=，又 2n ≥时，16n n n b a a n -=∆-∆=，7,1,6, 2.n n b n n =⎧∴=⎨≥⎩D .1(2)2n n n n a a a n +=∆=-+⋅，12132a a ∴-=⋅，23242a a -=⋅，…，11(1)2n n n a a n ---=+⋅，2n ≥，12113242(1)2n n a a n -∴-=⋅+⋅+++⋅，()2112322(1)2n n n a a n n -∴-=⋅++⋅++⋅，()()2212112123222(1)26(1)262412n n n nn n a a n n --⋅-∴--=⋅+++-+⋅=+-+⋅=+---(1)2n n +⋅，122n n a a n ∴-+=-⋅+，2n n a n ∴=⋅，2n ≥.又1n =时也成立，2n n a n ∴=⋅，*n ∈N .又211(3)2(2)2(4)2n n n n n n a a a n n n ++∆=Λ-∆=+⋅-+⋅=+⋅，22(4)2(24)22(2)22n n n n n n n a a n n n n a ∴+∆=⋅++⋅=+⋅=⋅+⋅=∆，综上，故选ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12.π2π6k ϕ⨯+=，k ∈Z ，ππ3k ϕ∴=-+，k ∈Z ，π3ϕ∴=-，π()3sin 23f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，ππ,122x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦∴，时，ππ2π2,363x ⎡⎤⎢⎣-∈⎦-，min 3()2f x ∴=-.13.设()13n n a r a r ++=+，解得：2r =，所以()1232n n a a ++=+.又10a =，则122a +=，故{}2n a +是以2为首项，3为公比的等比数列，所以1223n n a -+=⋅，故1232n n a -=⋅-.14.22sin 2sin cos cos 2π()(sin )4x x x x f x f x --⎛⎫''=⇒=- ⎪⎝⎭又π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴在ππ,44f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为：π04y x ⎫-=--⎪⎭，即2π2y =-+.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）解：（1）由表计算可得40x =，84y =，所以1211807054084ˆ 1.27900054040niii nii x ynxybxnx ==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑，所以ˆˆ84 1.274033.2ay bx =-=-⨯=，故ˆ 1.2733.2yx =+.当85x =时，ˆ141y ≈，由此预测每天课后自主学习数学时间为85分钟时的数学成绩为141分.（2）22200(130203020)16.6710.8285015016040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以小概率值0.001α=的独立性检验，周日自习与成绩进步有关.16.（本小题满分15分）解：（1）定义域为{0}x x ≠，又()()()f x f x f x -=⇒为偶函数，由对称性只需研究()(0)y f x x =>的单调性及零点个数即可.当0x >时：11()ln ()ax f x x ax f x a x x+'=+⇒=+=.讨论：（i ）当0a ≥时，()0()f x f x '>⇒在(0,)+∞上単调递增.又()f x 为偶函数，在(,0)-∞上单调递减0a ⇒≥时：()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减.（ii ）当0a <时，11()00,f x x x a a ⎛⎫'=⇒=-⇒∈- ⎪⎝⎭，()0f x '>，1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，()0()f x f x '<⇒在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.又由()f x 为偶函数()f x ⇒在1,0a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增⇒当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭和1,0a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.（2）由（1）知()f x 为偶函数⇒当0x >时：()f x 的零点个数大于1个，由（1）知：必有0a <，此时：()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减⇒又0x →时，()0f x <，x →+∞时，()0f x <，1100e f a a ⎛⎫∴->⇒-<< ⎪⎝⎭.17.（本小题满分15分）（1）2222cos b a c ac B =+-⋅，2cos c B a b ∴⋅=+，2sin cos sin sin C B A B ∴=+，2sin cos sin()sin C B B C B∴=++sin()sin C B B ∴-=，C B B ∴-=，πC B B -+=（舍），2.C B ∴=（2）sin sin a b A B =，2sin(π2)sin a B B B ∴=--，2sin 32(sin cos 2cos sin 2)sin sin B B B B B a B B+∴==，222cos 24cos 8cos 2a B B B ∴=+=-.又π0,2πππ02,,264π0π22B C B B A B B ⎧<<⎪⎪⎪<=<⇒<<⎨⎪⎪<=--<⎪⎩cos ,22B ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭，213cos ,24B ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，24a ∴<<.18.（本小题满分17分）解：（1）每一行成等差数列，344a ∴=，即：第3行公差为1，3n a n ∴=.设每列公比为q ，又141a =，344a =，24q ∴=，2q ∴=，32i in a n -∴=⋅（2）由（1）知：32n nn a n -=⋅，设224466n nn S a a a a =++++，11332242622n n S n --∴=⋅+⋅+⋅++⋅，024*********n n n S -∴=⋅+⋅+⋅++⋅①，2462412223212222n n n n n S -⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ⎪⎝⎭②，由①-②得：024231212121222n n n n S --=⋅+⋅+⋅++⋅-⋅2142142nn n -=-⋅-()121232n n n =--⋅112323n n ⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，1322918n n n S -∴=+⋅，2244661322918n nn n a a a a -∴++++=+⋅.19.（本小题满分17分）（1）证明：当1k =时，()(1)ln(1)(2)(1)f x x x x x =---->2(1)ln(1)1x x x x -⎡⎤=---⎢⎥-⎣⎦，∴要证()0f x ≥，只需证：2()ln(1)0(1)1x g x x x x -=--≥>-即可.令1x t -=⇒上式等价于证1()ln 10(0)h t t t t =-+≥>，21()()t h t h t t-'=⇒在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增()(1)0h t h ⇒≥=，证毕.（2）要证：11123e n n +++≤等价于证：11123ln eln n n +++≤，由（1）知：1ln 1(0)t t t ≥->，令()1n t n n *=∈-Z 1ln 1n n n ⇒≥-，分别令2,3,4,,n n =再相加231111ln ln ln 121234n n n ⇒+++≥++++-1111ln 234n n ⇒≥++++.（3）解：A 中元素不止一个，说明至少存在2个0x >，使得22e ln e 10ekx k xx kx k +⋅--⋅-+≥成立.22ln 22e e e ln e 1ln e 1e e xk k kx k x x kx k x kx k +⋅+⋅--⋅-+=--⋅-+，即：22ln e ln e e10x k k x kx k --⋅--⋅-+≥.令2ln e e 10t x kx k t t --⋅=⇒-+≥.由（1）1ln 1t t ≥-，令ln 1ee 1x x t x x x --=⇒≥-⇒≥-，令e 1t x t t -=⇒≥+恒成立，现在又有e 1e 1t t t t ≤+⇒=+时，0t =，A ∴中元素不止一个说明：2ln e 0x kx k --⋅=的解不止一个.令211()ln e ()(0)kx T x x kx k T x k x x x-'=--⋅⇒=-=>.讨论：①当0k ≤时：()0()T x T x '>⇒在(0,)+∞上単调递增，此时()T x 的零点最多一个，舍去；②当0k >时，令1()0()T x x T x k '=⇒=⇒在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.又注意到：x →+∞时，()0T x <，当0x →时：()0T x <，要()T x 的零点不止一个，令2()ln 1e M k k k =++⋅；易知()M k 在(0,)+∞上单调递增，又212110e M ⎛⎫=-++=⇒⎪⎝⎭当210e k <<时，有()0M k <⇒此时A 中元素不止一个210e k ⇒<<.。
广东省2024届高三春季高考模拟卷(1)数学试题含解析
2024年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试数学冲刺卷（一）答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2,0,1,2A =-，{}21B x x =-≤≤∣，则A B = （）A.{}2- B.{}1 C.{}2,0,1- D.{}0,1,2【答案】C 【解析】【分析】根据集合交集运算求解即可.【详解】解：因为{}2,0,1,2A =-，{}21B xx =-≤≤∣，所以A B = {}2,0,1-故选：C2.已知角α的终边过点()1,2P -，则tan α等于（）A.2 B.2- C.12-D.12【答案】B 【解析】【分析】由正切函数的定义计算．【详解】由题意2tan 21α==--．故选：B ．3.下列函数中是减函数且值域为R 的是（）A.1()f x x= B.1()f x x x=-C.()ln f x x= D.3()f x x=-【答案】D 【解析】【分析】由幂函数及对数函数的图象与性质即可求解.【详解】解：对A ：函数()f x 的值域为()(),00,-∞⋃+∞，故选项A 错误；对B ：函数()f x 为(),0∞-和()0,∞+上的增函数，故选项B 错误；对C ：函数()ln ,0()ln ln ,0x x f x x x x >⎧==⎨-<⎩，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，故选项C 错误；对D ：由幂函数的性质知()f x 为减函数且值域为R ，故选项D 正确；故选：D.4.不等式22150x x -++≤的解集为（）A .532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B.52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥C.532x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭D.{3x x ≤-或52x ⎫≥⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】将式子变形再因式分解，即可求出不等式的解集；【详解】解：依题意可得22150x x --≥，故()()2530x x +-≥，解得52x ≤-或3x ≥，所以不等式的解集为52x x ⎧≤-⎨⎩或}3x ≥故选：B ．5.化简：AB OC OB +-=（）A.BAB.CAC.CBD.AC【答案】D 【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.【详解】根据向量的线性运算法则，可得()AB OC OB AB OC OB AB BC AC +-=+-=+=.故选：D.6.方程()234xf x x =+-的零点所在的区间为（）A.()1,0- B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.41,3⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】分析函数()f x 的单调性，利用零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数2x y =、34y x =-均为R 上的增函数，故函数()f x 在R 上也为增函数，因为()10f -<，()00f <，15022f ⎛⎫=<⎪⎝⎭，()110f =>，由零点存在定理可知，函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.7.已知扇形的半径为1，圆心角为60 ，则这个扇形的弧长为（）A.π6B.π3C.2π3D.60【答案】B 【解析】【分析】根据扇形的弧长公式计算即可.【详解】易知π603=，由扇形弧长公式可得ππ133l =⨯=.故选：B8.把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（）A.对立事件B.互斥但不对立事件C.不可能事件D.必然事件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，分析可得“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但除了这2个事件外，还有事件“丙分得红牌”，由对立事件与互斥事件的概念，可得答案．【详解】根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，则两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，则两者不是对立事件，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件；故选：B ．【点睛】本题考查对立事件与互斥事件的概念，要注意对立一定互斥，但互斥不一定对立，属于基础题.9.要得到函数4y sinx =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象A.向左平移12π个单位B.向右平移12π个单位C.向左平移3π个单位D .向右平移3π个单位【答案】B 【解析】【详解】因为函数sin 4sin[4()]312y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，要得到函数43y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位．本题选择B 选项.点睛：三角函数图象进行平移变换时注意提取x 的系数，进行周期变换时，需要将x 的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．10.已知两条直线l ，m 与两个平面α，β，下列命题正确的是（）A.若//l α，l m ⊥，则m α⊥B.若//αβ，//m α，则//m βC.若//l α，//m α，则//l mD.若l α⊥，l //β，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】A.利用线面的位置关系判断；B.利用线面的位置关系判断；C.利用直线与直线的位置关系判断；D.由l //β，过l 作平面γ，有m γβ= ，利用线面平行的性质定理得到得到//l m ，再利用面面垂直的判定定理判断.【详解】A.若//l α，l m ⊥，则//,m m αα⊂或,m α相交，故错误；B.若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，故错误；C.若//l α，//m α，则//l m ，l ，m 相交或异面，故错误；D.若l //β，过l 作平面γ，有m γβ= ，则//l m ，因为l α⊥，所以m α⊥，又m β⊂，则αβ⊥，故正确.故选：D11.已知函数()122,0,log ,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则()()2f f -=（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】先根据分段函数求出()2f -，再根据分段函数，即可求出结果.【详解】因为()21224f --==，所以()()12112log 244f f f ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭.故选：D.12.已知37log 2a =，1314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，135log c =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A.a b c >> B.a c b>> C.b a c>> D.c b a>>【答案】A 【解析】【分析】利用对数函数、指数函数的单调性结合中间值法可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】因为337log log 312a =>=，13110144b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1133log 5log 10c =<=，因此，a b c >>.故选：A.二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.13.已知i 是虚数单位，则复数4i1i-+的虚部为__________.【答案】2-【解析】【分析】先把复数化简为22i --，再根据虚部定义得出即可.【详解】()()()()224i 1i 4i 1i 4i4i 4i =22i 1i 1i 1i 1i 2------===--++--,则复数的虚部为2-.故答案为:2-.14.函数51x y a -=+且（(0a >且1a ≠）的图象必经过定点______________．【答案】(5,2)【解析】【分析】由指数函数的性质分析定点【详解】令50x -=，得5x =，此时2y =故过定点(5,2)15.如果函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，则ω的值为______________.【答案】4【解析】【分析】根据正弦型函数的周期计算公式2T πω=即可求解.【详解】2T πω=，∴2242Tππωπ===.故答案为：4.16.已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为48π，则圆柱的侧面积为_____．【答案】48π.【解析】【分析】先由球的表面积为48π求出球的半径，然后由圆柱的侧面积公式算出即可【详解】因为球的表面积24π48πS R ==所以R所以圆柱的底面直径与高都为所以圆柱的侧面积：2π⨯故答案为：48π【点睛】本题考查的是空间几何体表面积的算法，较简单.17.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.【答案】18【解析】【详解】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．18.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，()22xf x =-，则不等式()2f x ≤的解集是_______；【答案】[]22-,【解析】【分析】判断函数当0x ≥时的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【详解】∵当x ≥0时，()22xf x =-，∴偶函数()f x 在[0,＋∞)上单调递增，且()2=2f ，所以()2f x ≤，即()()2fx f ≤，∴2x ≤，解得22x -≤≤.故答案为：[]22-,.三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤.19.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，已知46,5,cos 5a b A ===-（1）求角B 的大小；（2）求三角形ABC 的面积.【答案】（1）B=300（2）93122ABC S ∆-=【解析】【详解】分析：（1）由同角三角函数关系先求3sin 5A =，由正弦定理可求sinB 的值，从而可求B 的值；（2）先求得()()sin 30C sin A B sin A =+=+的值，代入三角函数面积公式即可得结果.详解：(1)由正弦定理又∴B 为锐角sinA=35,由正弦定理B=300(2)()()sin 30C sin A B sin A =+=+,∴19312bsin 22ABC S a C -==点睛：以三角形和为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.20.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用比例分配的分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)20,30，[)30,40，⋅⋅⋅，[]80,90，并整理得到如下频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图估计分数的样本数据的70%分位数；（2）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中女生的人数.【答案】（1）77.5；（2）160(人).【解析】【分析】（1）根据分位数的概念，结合题给频率分布直方图计算得出结果即可；（2）根据频率分布直方图计算出样本中分数不小于70的人数，进而计算出样本中男生及女生的人数，最后求出总体中女生的人数.【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为()0.020.04100.6+⨯=，从而有：样本中分数小于70的频率为10.60.4-=，又由频率分布直方图可得：样本中分数小于80的频率为0.8，所以样本数据的70%分位数必定位于[)70,80之间.计算为：0.70.4701077.50.80.4-+⨯=-所以其分数的样本数据的70%分位数估计值为77.5.（2）由题知，样本中分数不小于70的学生人数为()0.020.041010060+⨯⨯=，从而有，样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=，进而得，样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，所以总体中女生人数为40400160100⨯=(人).21.某市出租车的票价按以下规则制定：起步公里为2.6公里，收费10元；若超过2.6公里的，每公里按2.4元收费.（1）设A 地到B 地的路程为4.1公里，若搭乘出租车从A 地到B 地，需要付费多少？（2）若某乘客搭乘出租车共付费16元，则该出租车共行驶了多少公里？【答案】（1）13.6元（2）5.1公里【解析】【分析】（1）设出租车行驶x 公里，根据题设写出付费额()f x 的分段函数形式，进而求从A 地到B 地需要的付费；（2）由题意出租车行驶公里数 2.6x >，结合解析式列方程求该出租车共行驶的公里数.【小问1详解】设出租车行驶x 公里，则付费额10,0 2.6()10 2.4( 2.6), 2.6x f x x x <≤⎧=⎨+->⎩，所以(4.1)10 2.4(4.1 2.6)13.6f =+⨯-=元.【小问2详解】由题意，出租车行驶公里数 2.6x >，令10 2.4( 2.6)16x +-=，则 5.1x =公里.22.如图，在三棱锥V-ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ,VAB 为等边三角形，AC BC ⊥,且AC=BC=,O,M分别为AB,VA 的中点.(1)求证：VB //平面MOC ；(2)求三棱锥V-ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）33．【解析】【详解】试题分析：（1）要证明线面平行，就是要证线线平行，题中有中点，由中位线定理易得线线平行，注意得出线面平行结论时，必须把判定定理的条件写全；（2）要求三棱锥的体积，首先要确定高，本题中有面面垂直，由此易得VO 与底面ABC 垂直，因此VO 就是高，求出其长，及ABC 面积，可得体积．试题解析：（1）证明： 点O,M 分别为AB,VA 的中点//OM VB ∴又,OM MOC VB MOC ⊂⊄平面平面//VB MOC∴平面(2)解：连接VO ，则由题知VO ⊥平面AB C,∴VO 为三棱锥V-ABC 的高.又112ABC S VO === ，11.1333V ABC ABC V S VO -∴==⨯=考点：线面平行的判断，体积．。
海南省海南中学2024届高三第一次模拟数学试题及参考答案
海南省海南中学2024届高三第一次模拟数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4A B ==，则()U B A ⋂=（ ） A ．{}3B ．{}2,4C ．{}2,4,6D ．{}1,2,4,62．若()2,3a =−，()1,2b =−，则()2a a b ⋅+=（ ） A ．5− B ．3−C ．3D ．53．复数13ii 1iz +=−−，则z =（ ）A B C ．2D 4．已知实数列1−、x 、y 、z 、2−成等比数列，则xyz =（ ）A ．B ．±4C ．−D ．±5．刍（chú）甍（méng ）是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为4，底边宽为3，上棱长为2，高为2，则它的表面积是（ ）A ．27+B ．42+C ．27+D ．42+6．已知函数()f x 为偶函数，其图像在点()()1,1f 处的切线方程为210x y −+=，记()f x 的导函数为()f x '，则()1f '−=（ ） A ．12−B ．12C ．2−D ．27．设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为（ ）A ．35B ．45C D 8．双曲线C ：221124x y −=的右焦点为F ，双曲线C 上有两点A ，B 关于直线l ：380x y +−=对称，则FA FB +=（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．下列说法中正确的是（ ）A ．一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14B ．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70C ．若样本数据121031,31,,31x x x +++的平均数为10，则数据1210,,,x x x 的平均数为3D ．随机变量X 服从二项分布()4,B p ，若方差()34D X =，则()3164P X == 10．某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数1y x=的图象是双曲线，设其焦点为,M N ，若P 为其图象上任意一点，则（ ）A ．y x =−是它的一条对称轴 BC ．点()2,2是它的一个焦点D ．PM PN −=11．已知函数()32f x ax bx cx d =+++存在两个极值点()1212,x x x x <，且()11f x x =−，()22f x x =．设()f x 的零点个数为m ，方程()()2320a f x bf x c ⎡⎤++=⎣⎦的实根个数为n ，则（ ）A ．当0a >时，3n =B ．当a<0时，2m n +=C ．mn 一定能被3整除D ．m n +的取值集合为{}4,5,6,7三、填空题12．若πtan 34θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan θ= ．13．设()525012512x a a x a x a x −=+++⋅⋅⋅+，则125a a a ++⋅⋅⋅+= .14．洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名．洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列{}n L 为：1,3,4,7,11,18,29,47,76,，即1213L L ==,，且()21n n n L L L n *++=+∈N ．设数列{}n L 各项依次除以4所得余数形成的数列为{}n a ，则2024a = ．四、解答题15．已知质量均匀的正n 面体，n 个面分别标以数字1到n ．(1)抛掷一个这样的正n 面体，随机变量X 表示它与地面接触的面上的数字．若2(X 5).3P <=求n ；(2)在(1)的情况下，抛掷两个这样的正n 面体，随机变量Y 表示这两个正n 面体与地面接触的面上的数字和的情况，我们规定：数字和小于7，等于7，大于7，Y 分别取值0，1，2，求Y 的分布列及期望．16．已知函数2()e (21)e x x f x a ax =−−−. (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.17．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，,//BF DE BF DE =，M 是AE 的中点.(1)求证：//EC 平面BDM ；(2)若DE ⊥平面,4,ABCD AB BM CF =⊥，点P 为线段CE 上一点，且13CP CE =，求直线PM 与平面AEF 所成角的正弦值.18．已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m=的距离的比为常数m n ．其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点(),0B m −，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN ，且AN 与BM 相交于点Q ．①当4m n ==时，求证：11AM BN+的值及ABQ 的周长均为定值； ②当m n >时，记ABQ 的面积为S ，其内切圆半径为r ，试探究是否存在常数λ，使得S r λ=恒成立？若存在，求λ（用,m n 表示）；若不存在，请说明理由． 19．在计算机科学中，n 维数组(){}12,,,,0,1,N ,2n i X x x x x i n +=∈∈≥是一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于n 维数组()()1212,,,,,,,n n A a a a B b b b ==，定义A 与B 的差为()1122,,,,n n A B a b a b a b A−=−−−与B 之间的距离为1(,)ni i i d A B a b ==−∑．(1)若n 维数组()0,0,,0C =，证明：()()(),,,d A C d B C d A B +≥；(2)证明：对任意的数组,,A B C ，有()(),,d A C B C d A B −−=； (3)设集合(){}{}12,,,,0,1,N ,2,n n i n S X X x x x x i n P S +==∈∈≥⊆，若集合P 中有()2m m ≥个n 维数组，记P 中所有两元素间的距离的平均值为()d P ，证明：()()21mnd P m ≤−．参考答案：1．B【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，则{2,4,6}UA =，而{}2,3,4B =，所以(){}2,4U A B ⋂=. 故选：B 2．B【分析】利用向量加法和数量积的坐标表示直接计算求解即可. 【详解】由题意可知()20,1a b +=， 所以()()220313a a b ⋅+=⨯+−⨯=−， 故选：B 3．D【分析】由复数的运算结合模长公式计算即可. 【详解】因为()()()()13i 1i 13ii=i=1i 1i 1i 1i z +++=−−−+−−+，所以z = 故选：D. 4．C【分析】求出y 的值，利用等比中项的性质可求得结果.【详解】设等比数列1−、x 、y 、z 、2−的公比为()0q q ≠，则210y q =−⨯<，由等比中项的性质可得()()2122y =−⨯−=，所以，y =因此，(33xyz y ===−故选：C. 5．A【分析】由题意可得刍甍的左右两个三角形为全等的等腰三角形，前后两个四边形为全等的等腰梯形，利用勾股定理分别求出三角形和梯形的高，从而可求出各个面的面积，即可得出答案.【详解】解：由题意可得刍甍的左右两个三角形为全等的等腰三角形，前后两个四边形为全等的等腰梯形，=，52=，则一个等腰三角形的面积为1322⨯，一个等腰梯形的面积为()52415222+⨯=，所以此刍甍的表面积为1522432722⨯+⨯+⨯=+故选：A.6．A【分析】先推导出偶函数的导数为奇函数，再根据条件得到()1f'，再利用奇函数的的性质求()1f'−.【详解】因为()f x为偶函数，所以()()f x f x=−，两边求导，可得()()''f x f x⎡⎤⎡⎤=−⎣⎦⎣⎦⇒()()()'·f x f x x=−−''⇒()()f x f x=−'−'.又()f x在()()1,1f处的切线方程为：210x y−+=，所以()112f'=.所以()()1112f f''−=−=−.故选：A7．C【分析】设出三个角度的大小关系，结合已知条件求得最小角的正切值，再求正弦值即可.【详解】设π2A B C<<=，根据题意可得cos0C=，且cos cos2cosC A B+=，即2cos cosB A=，又π2A B+=，则2cos2sinB A=，2sin cosA A=，解得1tan2A=，又π0,2A⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin A.故选：C.8．B【分析】:30AB x y m −+=，()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为S ， 联立直线方程和双曲线方程后结合对称可得S 的坐标，而2FA FB FS +=，故可求FA FB +. 【详解】()4,4,0c F ==，设AB 的中点为S ，连接FS因为l 为线段AB 的垂直平分线，故可设:30AB x y m −+=，()()1122,,,A x y B x y ，由22112430x y x y m ⎧−=⎪⎨⎪−+=⎩可得2266120y my m −+−=（*）， 故12y y m +=，故()121232x x y y m m +=+−=， 故AB 的中点为,22m m ⎛⎫⎪⎝⎭，因AB 的中点在直线380x y +−=上，故38022m m⨯+−=， 故4m =，此时22362412240m m ∆=−+⨯>，且()2,2S −，故224FA FB FS +== 故选：B.9．BC【分析】由百分位数求解判断A ，由分层抽样判断B ，由平均值性质判断C ，由二项分布性质判断D.【详解】对A ，1060%6⨯=，故第60百分位数为第6和第7位数的均值1416152+=，故A 错误；对B ，由题抽取的高中生抽取的人数为35001007035001500⨯=+，故B 正确；对C ， 设数据1210,,,x x x 的平均数为x ，由平均值性质可知：样本数据121031,31,,31x x x +++的平均数为3110x +=，解得3x =，故C 正确；对D ，由题意可知()3414p p −=，解得14p =或34p =，则()31413271C 4464P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭或()3143131C 4464P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故D 错误. 故选：BC 10．ABD【分析】由题意可知反比例函数的图象为等轴双曲线，进一步分别计算出离心率以及,a c 即可逐一判断求解.容易知道y x =是实轴，y x =−是虚轴，坐标原点是对称中心， 联立实轴方程y x =与反比例函数表达式1y x=得实轴顶点()()1,1,1,1−−，所以2a c ==，其中一个焦点坐标应为而不是()2,2，由双曲线定义可知2PM PN a −== 故选：ABD. 11．AB【分析】分0a >和0a <两种情况，利用导数判断原函数单调性和极值，结合图象分析()f x ，()()f f x '的零点分布，进而可得结果,【详解】由题意可知()232f x ax bx c '=++为二次函数，且()1212,x x x x <为()f x '的零点，由()()()()2320f f x a f x bf x c ⎡⎤+⎦'=+=⎣得()1f x x =或()2f x x =， 当0a >时，令()0f x '>，解得1x x <或2x x >；令()0f x '<，解得12x x x <<； 可知：()f x 在()()12,,,x x ∞∞−+内单调递增，在()12,x x 内单调递减， 则1x 为极大值点，2x 为极小值点， 若10x ≥，则120x x −≤<，因为()()12f x f x >，即12x x −>，两者相矛盾，故10x <， 则()2f x x =有2个根，()1f x x =有1个根，可知3n =， 若()220f x x =>，可知1m =，3,4mn m n =+=；若()220f x x ==，可知2m =，6,5mn m n =+=； 若()220f x x =<，可知3m =，9,6mn m n =+=； 故A 正确；当0a <时，令()0f x '>，解得12x x x <<；令()0f x '<，解得1x x <或2x x >； 可知：()f x 在()12,x x 内单调递增，在内()()12,,,x x ∞∞−+单调递减， 则2x 为极大值点，1x 为极小值点， 若20x ≤，则120x x −>≥，因为()()12f x f x <，即12x x −<，两者相矛盾，故20x >，若()110f x x =−>，即10x <，可知1m =，3n =，3,4mn m n =+=； 若()110f x x =−=，即10x =，可知2m =，4n =，8,6mn m n =+=； 若()110f x x =−<，即1>0x ，可知3m =，5n =，15,8mn m n =+=； 此时2m n +=，故B 正确；综上所述：mn 的取值集合为{}3,6,8,9,15，m n +的取值集合为{}4,5,6,8， 故CD 错误； 故选：AB.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解． 12．12/0.5【分析】由两角和的正切公式求解即可.【详解】由πtan 34θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得：πtan tan43π1tan tan 4θθ+=−⋅， 即tan 131tan θθ+=−，解得：1tan =2θ.故答案为：12 13．2−【分析】分别令0x =，1x =即可得解. 【详解】令0x =，则01a =， 令1x =，则01251a a a a +++⋅⋅⋅+=−， 所以1252a a a ++⋅⋅⋅+=−. 故答案为：2−. 14．3【分析】根据递推关系可得{}n a 的周期性，再根据周期性求解即可. 【详解】{}n L 的各项除以4的余数分别为1,3,0,3,3,2,1,3,0,，故可得{}n a 的周期为6，且前6项分别为1,3,0,3,3,2， 所以20246337223a a a ⨯+===. 故答案为：3. 15．(1)6n =.(2)分布列见解析，(Y)1E =.【分析】（1）直接由题意解出即可.（2）设出事件，按古典概型中等可能事件的概率公式求出随机变量各个取值的概率，列出分布列，求出数学期望即可. 【详解】（1）因为42(X 5)3P n <==，所以6n =. （2）样本空间{(,),{1,2,3,4,5,6}}m t m t Ω=∈∣，共有36个样本点. 记事件A =“数字之和小于7”，事件B =“数字之和等于7"， 事件C =“数字之和大于7”.{(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)A =，(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)}，共15种，故155(Y 0)()3612P P A ==== {(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}B =，共6种，故61(Y 1)()366P P B ====； {(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4)C =， (4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)}，共15种，故155(Y 2)()3612P P C ====； 从而Y 的分布列为：故515(Y)012112612E =⨯+⨯+⨯= 16．(1)答案见解析； (2)1a >【分析】（1）求出导函数，根据0a ≤和0a >分类讨论求解即可；（2）根据函数()f x 的单调性易知0a >且min ()(ln )0f x f a =<，根据零点存在性定理结合函数的单调性列不等式求解即可.【详解】（1）()()2()2e (21)e 2e 1e x x x xf x a a a =−−−=+−'．①若0a ≤，()0f x '>，()f x 在(,)−∞+∞为增函数； ②若0a >，令()0f x '=，得ln x a =.当(,ln )x a ∈−∞时，()0,()'<f x f x 为减函数， 当(ln ,)x a ∈+∞时，()0,()'>f x f x 为增函数. 综上所述，当0a ≤时，()f x 在(,)−∞+∞单调递增；当0a >时，()f x 在(,ln )a −∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增.（2）当0a ≤时，()f x 在(,)−∞+∞单调递增，不可能有两个零点，不符合题意. 当0a >时，()f x 在(,ln )a −∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增， 因为()f x 有两个零点，必有min ()(ln )(1ln )0f x f a a a a ==−−<， 因为0a >，所以1ln 0a a −−<.令()1ln ,0g a a a a =−−>， 则1()10g a a'=−−<，所以()g a 在(0,)+∞单调递减，而(1)0g =， 所以当1a >时，()0g a <，即min ()0f x <. 又2211112(1)(21)10e e e e e f a a a ⎛⎫−=−−+=++−> ⎪⎝⎭，故()f x 在(1,ln )−a 有1个零点； 当ln 0x a >>时，因为e 1xy x =−−，则e 1xy '=−，由0'>y 得0x >，由0'<y 得0x <，所以函数e 1xy x =−−在()0∞−，单调递减，在()0,∞+单调递增，所以0e 1e 010x x −−≥−−=，即e 1x x >+，故()e 1x ax a −>−−，所以()22()e (21)e e 1e (31)e x x x x xf x a a a a >−−−−=−−+，取ln 3ln x a a =>，有2ln3ln32(ln3)e (31)e 9(31)340a a f a a a a a a a a >−−+=−−+=>， 所以()f x 在(ln ,ln3)a a 有1个零点. 综上所述，当()f x 有两个零点时，1a >. 17．(1)证明见解析；【分析】（1）连接AC 交BD 于N ，连接MN ，通过//MN EC 可证明；（2）建立空间直角坐标系，||DE a =，利用坐标运算通过0BM CF ⋅=求出a ，再利用向量法求线面角.【详解】（1）连接AC 交BD 于N ，连接MN ，因为四边形ABCD 是正方形，故N 为AC 中点，M 是AE 的中点， 所以在ACE △中，有//MN EC ， 又EC ⊄平面,BDM MN ⊂平面BDM ， 所以//EC 平面BDM ；（2）如图，建立空间直角坐标系，设||,||4DE a AB ==， 则(4,4,0),(0,4,0),(4,4,),(4,0,0),(0,0,)B C F a A E a ，又M 是AE 的中点，故2,0,2a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4,,(4,0,)2a BM CF a ⎛⎫=−−= ⎪⎝⎭，因为BM CF ⊥，所以2802a BM CF ⋅=−+=，解得4a =， 设1(,,),3P x y z CP CE =，即(,4,)CP x y z =−11(0,4,4)33CE ==−，可得840,,33P ⎛⎫⎪⎝⎭，则822,,33PM ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，又(0,4,4),(4,0,4)AF AE ==−，设平面AEF 的一个法向量为()111,,n x y z =，则1111440440n AF y z n AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，令11z =，则111,1x y ==−，即(1,1,1)n =−， 设直线PM 与平面AEF 所成角为θ，则sin cos ,3n MP n MP n MPθ⋅====⋅所以直线PM 与平面AEF .18．(1)答案见解析(2)① 证明见解析；②存在；2()2m n nλ+=【分析】（1）设(),P x y ，由题意可得222221x y n n m +=−，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =−=−.（ⅰ）由//AM BN 可知,,M A M '三点共且BN AM ='，设MM '：x ty =+C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，进而表示出11AM BN+，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由//AM BN 得()8AM BNBQ AM BN−⋅=+，()8BN AMAQ AM BN−⋅=+，进而表示出AQ BQ +，化简计算即可；（ii ）由（ⅰ）可知,,M A M '三点共线，且BN AM ='，设MM '：x sy m =+，联立C 的方程，利用韦达定理表示1313,y y y y +，计算化简可得22112nAM BN m n+=−，结合由内切圆性质计算即可求解. 【详解】（1）设点(),P x ym n =，即222()m x m y x n n ⎛⎫−+=− ⎪⎝⎭，经化简，得C 的方程为222221x y n n m +=−， 当m n <时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；当m n >时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线．（2）设点()()()112233,,,,,M x y N x y M x y '，其中120,0y y >>且3232,x x y y =−=−， （ⅰ）由（1）可知C的方程为()()221,,168x y A B +=−，因为//AM BN===因此，,,M A M '三点共线，且BN AM ='，（法一）设直线MM '的方程为x ty =+C 的方程，得()22280t y ++−=，则1313282y y y y t +==−+， 由（1）可知1134,4AM x BN AM x ===='，所以1313131344222222112222x x AM BN AM BN AM BN ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+−−+− ⎪ ⎪ ⎪⎪++==⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()21321313442221142y y t y y t y y ⎛⎫−⋅− ⎪++===++，所以11AM BN+为定值1； （法二）设MAx θ∠==AM ，，解得AM ='所以11111AM BN AM AM ='+=+=， 所以11AM BN+为定值1； 由椭圆定义8BQ QM MA ++=，得8QM BQ AM =−−，8//,AM QM BQ AMAM BN BN BQ BQ−−∴==，解得()8AM BNBQ AM BN−⋅=+，同理可得()8BN AMAQ AM BN−⋅=+，所以()()()8882BN AM AM BNAM BN AM BNAQ BQ AM BNAM BNAM BN−⋅−⋅+−⋅+=+=+++2882611AM BN=−=−=+．因为AB =ABQ 的周长为定值6+．（ⅱ）当m n >时，曲线C 的方程为222221x y n m n −=−，轨迹为双曲线，根据（ⅰ）的证明，同理可得,,M A M '三点共线，且BN AM ='， （法一）设直线MM '的方程为x sy m =+，联立C 的方程，得()()()222222222220m n s n y sm m n y m n ⎡⎤−−+−+−=⎣⎦，()()()()222221313222222222,sm m n m n y y y y mn s nmn s n−−∴+=−=−−−−，（*）因为2113,m n m mAM x x n BN AM x n n m n n⎛⎫=−=−==− ⎝'⎪⎭，所以1111AM AM AM BN AM AM AM AM ''+=+=⋅'+ 2222131322221313sm m n sm m n m m y y x n x n n n n n n n m m sm m n sm m nx n x n y y n n n n n n ⎛⎫⎛⎫−−⎛⎫⎛⎫+++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−−++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()2213222222213132222m n smy y n n m n ms m n m s y y y y n n n −++=−−+++，将（*）代入上式，化简得22112nAM BN m n+=−， （法二）设MAx θ∠=，依条件有2cos AMmn n m AM m θ=⎛⎫−+ ⎪⎝⎭，解得22cos m n AM n m θ−=−，同理由2cos AM mn n m AM m θ=⎛⎫−− ⎪⎝⎭''，解得22cos m n AM n m θ−+'=，所以2222221111cos cos 2n m n m n AM BN AM AM m n m n m n θθ'−++=+=+=−−−． 由双曲线的定义2BQ QM MA n +−=，得2QM n AM BQ =+−，根据AM QM BN BQ =，解得()2n AM BN BQ AM BN+⋅=+， 同理根据AM AQ BN QN =，解得()2n BN AM AQ AM BN+⋅=+，所以()()2222n BN AM n AM BNAM BNAQ BQ n AM BNAM BNAM BN+⋅+⋅⋅+=+=++++222222211m n m n n n n n AM BN−+=+=+=+，由内切圆性质可知，()12S AB AQ BQ r =++⋅， 当S r λ=时，()2221()222m n m n AB AQ BQ m n nλ++=++=+=（常数）． 因此，存在常数λ使得S r λ=恒成立，且2()2m n nλ+=．【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）根据题意，结合新定义判断证明； （2）根据新定义，因为{0,1},1,2,,i c i n ∈=，分0i c =和1i c =两种情况证明；（3）根据题意结合排列组合的知识表示()d P 的式子，然后结合组合数和基本不等式进行放缩即可证得结论.【详解】（1）设A 与B 中对应项中同时为0的有()0x x n ≤≤个，同时为1的有()0y y n x ≤≤−个，则对应项不同的为n x y −−个，所以(),d A B n x y =−−． 所以()()()(),,2,d A C d B C y n x y n x y d A B +=+−−≥−−=； （2）设()()()121212,,,,,,,,,,,n n n n A a a a B b b b C c c c T ===∈，因为()1122,,,n n A C a c a c a c −=−−−，()1122,,,n n B C b c b c b c −=−−−，所以1(,)ni i i i i d A C B C a c b c =−−=−−−∑，因为{}0,1,1,2,,i c i n ∈=．所以当0i c =时，i i i i i i a c b c a b −−−=−，当1i c =时，()()11i i i i i i i i a c b c a b a b −−−=−−−=−， 所以11(,)(,)nni i i i i i i i d A C B C a c b c a b d A B ==−−=−−−=−=∑∑；（3）记集合P 中所有两个元素间距离的总和为(),1,mi j i j d P P =∑，则()2,11(),C mi j i j m d P d P P ==⋅∑．设集合P 中所有元素的第(1,2,,)k k n =个位置的数字共有k t 个1,k m t −个0，则()(),11,mi j k k k ni j d P P t m t ===−∑∑，因为,0k k t m t −>，所以()2224k k k k t m t m t m t +−⎛⎫⋅−≤= ⎪⎝⎭， 所以()()2,11,4mi j k k i j nk nm d P P t m t ===−≤∑∑，所以()22,112(),C (1)42(1)m i j i j m nm mnd P d P P m m m ==⋅≤⋅=−−∑. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答.。
高三数学-2024年全国普通高中九省联考仿真模拟数学试题(一)(解析版)
2024年高考仿真模拟数试题（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若一组数据1,1,,4,5,5,6,7a 的75百分位数是6，则=a （）A.4B.5C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可．【详解】这组数据为：1,1,,4,5,5,6,7a ，但a 大小不定，因为80.756⨯=，所以这组数据的75%分位数为从小到大的顺序的第6个数和第7个数的平均数，经检验，只有6a =符合．故选：C ．2.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的3倍，则E 的离心率为（）A.3B.223C.33D.233【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得26a b =，再根据离心率公式即可得解.【详解】由题意，26a b =，所以13b a =，则离心率3c e a ====.故选：B .3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若789101120a a a a a ++++=，则17S =（）A.150B.120C.75D.68【答案】D 【解析】【分析】由等差数列的性质及求和公式计算即可得解.【详解】由等差数列的性质可知78910911205a a a a a a ++++==，所以94a =，()1171791717682a a S a +===，故选：D.4.已知空间中，l 、m 、n 是互不相同直线，α、β是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（）A.若//αβ，l ⊂α，n β⊂，则//l nB.若//l α，//l β，则//αβC.若//m β，//n β，m α⊂，n ⊂α，则//αβD.若l α⊥，//l β，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】对A 、B 、C 选项，可通过找反例排除，对D 选项，可结合线面平行的性质及面面垂直的判定定理得到.【详解】对A 选项：若//αβ，l ⊂α，n β⊂，则l 可能与n 平行或异面，故A 错误；对B 选项：若//l α，//l β，则α与β可能平行或相交，故B 错误；对C 选项：若//m β，//n β，m α⊂，n ⊂α，可能//m n ，此时α与β可能平行或相交，故C 错误；对D 选项：若//l β，则必存在直线p β⊂，使//l p ，又l α⊥，则p α⊥，又p β⊂，则αβ⊥，故D 正确.故选：D.5.7个人站成两排，前排3人，后排4人，其中甲乙两人必须挨着，甲丙必须分开站，则一共有（）种站排方式．A.672 B.864 C.936 D.1056【答案】D 【解析】【分析】分甲站在每一排的两端和甲不站在每一排的两端这两种情况解答即可.【详解】当甲站在每一排的两端时，有4种站法，此时乙的位置确定，剩下的人随便排，有554A 480=种站排方式；当甲不站在每一排的两端时，有3种站法，此时乙和甲相邻有两个位置可选，丙和甲不相邻有四个位置可选，剩下的人随便站，有1142443C C A 576=种站排方式；故总共有4805761056+=种站排方式.故选：D ．6.在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,0A ，()0,3B ，动点P 满足OP xOA yOB =+，且1x y +=，则下列说法正确的是（）A.P 的轨迹为圆B.P 到原点最短距离为1C.P 点轨迹是一个菱形D.点P 的轨迹所围成的图形面积为4【答案】C 【解析】【分析】由题意得3x ab y =⎧⎪⎨=⎪⎩，结合1x y +=可知33a b +=，画出图形可知P 点轨迹是一个菱形，故C错误A 正确；由点到直线的距离即可验证B ；转换成ABC 面积的两倍来求即可.【详解】设P 点坐标为(),a b ，则由已知条件OP xOA yOB =+ 可得3a x b y =⎧⎨=⎩，整理得3x a b y =⎧⎪⎨=⎪⎩．又因为1x y +=，所以P 点坐标对应轨迹方程为33a b +=．0a ≥，且0b ≥时，方程为33a b +=；0a ≥，且0b <时，方程为33b a =-；a<0，且0b ≥时，方程为33b a =+；a<0，且0b <时，方程为33a b +=-．P 点对应的轨迹如图所示：3AB CD k k ==-，且AB BC CD DA ====P 点的轨迹为菱形．A 错误，C 正确；原点到AB ：330a b +-=1.10=<B 错误；轨迹图形是平行四边形，面积为122362⨯⨯⨯=，D 错误．故选：C ．7.已知函数()3sin 44sin 436f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()00,,()x x f x f x ∀∈∃∈≤R R ，则02tan 43x π⎛⎫-⎪⎝⎭等于（）A.43-B.34-C.34D.43【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式得到()f x 最大值，即得到关于0x 的关系式，代入02tan 43x π⎛⎫-⎪⎝⎭利用诱导公式即可.【详解】()3sin 44sin 43sin(4)4sin(4)36323f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫=++-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3sin(4)4cos(433f x x x ππ∴=+++，4()5sin(4)(tan 33f x x πϕϕ∴=++=，max 5()f x =∴，()00,,()x x f x f x ∀∈∃∈≤R R ，0234(Z)2k k x πππϕ+=+∈+∴，0213tan 4tan(2)32tan 4x k πππϕϕ⎛⎫∴-=-+-=-=- ⎪⎝⎭.故选：B.8.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，离心率为e ，直线(0)y kx k =≠分别与C 的左､右两支交于点M ，N .若1MF N 的面积为160MF N ∠=︒，则22e 3a +的最小值为（）A.2B.3C.6D.7【答案】D 【解析】【分析】作出辅助线，121F NF MF N S S == 124NF NF ⋅=，利用双曲线定义和余弦定理求出21243b F N F N ⋅=，求出23b =，进而求出22223e 31317a a a +=++≥+=.【详解】连接22,NF MF ，有对称性可知：四边形12MF NF 为平行四边形，故2112,NF MF NF MF ==，12120FNF ∠=︒，121F NFMF N S S ==由面积公式得：121sin1202NF NF ⋅︒=124NF NF ⋅=，由双曲线定义可知：122F N F N a -=，在三角形12F NF 中，由余弦定理得：()222221212121212244cos12022F N F N F N F N cF N F N c F N F N F N F N-+⋅-+-︒==⋅⋅2121224122F N F N b F N F N ⋅-==-⋅，解得：21243b F N F N ⋅=，所以2443b =，解得：23b =，故22223e 31317a a a +=++≥+=，当且仅当2233a a=，即21a =时，等号成立.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()2sin sin 2f x x x=-，则下列结论正确的有（）A.()f x 为奇函数B.()f x 是以π为周期的函数C.()f x 的图象关于直线π2x =对称 D.π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x的最大值为22-【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，由正弦函数的奇偶性即可判断；对于B ，判断()()πf x f x +=是否成立即可；对于C ，判断ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是否成立即可；对于D ，可得π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 单调递增，由此即可得解.【详解】对于A ，()2sin sin 2f x x x =-的定义域为()π,2k x k ≠∈Z （关于原点对称），且()()()()22sin sin sin 2sin 2f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--= ⎪-⎝⎭，对于B ，()()()()22πsin πsin sin 2sin 2πf x x x f x x x +=+-=--≠⎡⎤+⎣⎦，故B 错误；对于C ，ππ22sin cos 22sin 2πsin 22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-=+⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，ππ22sin cos 22sin 2πsin 22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，但ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 的图象不关于直线π2x =对称，故C 错误；对于D ，π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，sin ,sin 2y x y x ==均单调递增，所以此时2sin 2y x=-也单调递增，所以π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 单调递增，其最大值为π2242f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：AD.10.已知复数1z ，2z ，则下列命题成立的有（）A.若1212z z z z +=-，则120z z = B.11,Z nnz z n =∈C.若22120z z +=，则12=z z D.1212z z z z ⋅=⋅【答案】BCD 【解析】【分析】举例说明判断A ；利用复数的三角形式计算判断B ；利用复数的代数形式，结合模及共轭复数的意义计算判断CD.【详解】对于A ，当121i,1i =+=-z z 时，12122z z z z +==-，而1220z z =≠，A 错误；对于B ，令1(cos isin ),0,R z r r θθθ=+≥∈，则1(cos isin )n nz r n n θθ=+，于是1|||cos isin |nnnz r n n r θθ=+=，而1||z r =，即有1||nnz r =，因此11nnz z =成立，B 正确；设复数1i(,R)z a b a b =+∈，2i(,)z c d c d =+∈R ，对于C ，由22120z z +=，得2222()(22)i 0a b c d ab cd -+-++=，则22220220a b c d ab cd ⎧-+-=⎨+=⎩，2222120z z -=-=，因此12=z z ，C 正确；对于D ，21(i)(i)()()i z a b c d ac bd c z ad b ⋅=++=-++，则21()()i z ac bd a b z d c ⋅=--+，12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=--=--+，因此1212z z z z ⋅=⋅，D 正确.故选：BCD11.已知函数()f x 满足：①对任意,x y ∈R ，()()()()()2f x y f x f y f x f y +++=⋅+；②若x y ≠，则()()f x f y ≠.则（）A.()0f 的值为2B.()()4f x f x +-≥C.若()13f =，则()39f = D.若()410f =，则()24f -=【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，令0x y ==，结合“若x y ≠，则()()f x f y ≠”即可判断；对于B ，由基本不等式相关推理结合()2040f =>即可判断；对于C ，令1y =得，()()()1332f x f x f x +++=+，由此即可判断；对于D ，令()1xf x =+，即可判断.【详解】对于A ，令0x y ==，得()()23002f f =+⎡⎤⎣⎦，解得()01f =或()02f =，若()01f =，令0y =，得()()212f x f x +=+，即()1f x ≡，但这与②若x y ≠，则()()f x f y ≠矛盾，所以只能()02f =，故A 正确；对于B ，令y x =-，结合()02f =得，()()()()()()22f x f x f x f x f x f x ⎛⎫+-+-=⋅-≤ ⎪⎝⎭，解得()()4f x f x +-≥或()()0f x f x +-≤，又()02f =，所以()2040f =>，所以只能()()4f x f x +-≥，故B 正确；对于C ，若()13f =，令1y =得，()()()1332f x f x f x +++=+，所以()()121f x f x +=-，所以()()2161521f f =-=-=，所以()()21101932f f =-=-=，故C 正确；对于D ，取()1xf x =+，则()()11232xyx yx yf x f y +⎡⎤⎡⎤+++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⋅=⎣+⎦⎦()()()f x y f x f y +++=且()1xf x =+单调递增，满足()410f =，但()423f -=，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：判断D 选项的关键是构造()1xf x =+，由此即可证伪.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设集合{}2,0,1M =-，{}1N x x a =-<，若M N ⋂的真子集的个数是1，则正实数a 的取值范围为______.【答案】()()0,11,3 【解析】【分析】分{}0M N = 和{}2M N = 讨论即可.【详解】{}1N x x a =-<，则11x a -<-<，解得11a x a -+<<+，若M N ⋂的真子集的个数是1，则M N ⋂中只含有一个元素，因为a 为正实数，则11a +>，11a -+>-，若{}0M N = ，则10120a a a -+<⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解得01a <<，若{}2M N = ，则012120a a a ≤-+<⎧⎪+>⎨⎪>⎩，解得13a <<，综上所述，a 的取值范围为()()0,11,3 .故答案为：()()0,11,3 .13.已知正四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面边长分别为4、6，则正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为______，外接球的半径为______.【答案】①.3②.【解析】【分析】利用棱台的体积公式计算即可得第一空，根据棱台与球的特征结合勾股定理计算即可得第二空.【详解】根据题意易知该棱台的上、下底面积分别为：2212416,636S S ====，所以正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为()12176233V S S =++=；连接AC ，BD 交于点2O ，连接11A C ，11B D 交于点1O，如图所示：当外接球的球心O 在线段12O O 延长线上，设1OO h =，外接球半径为R，则(222O O h =-，因为12=O O ，上、下底面边长分别为4、6，则111112==D O B D 212DO BD ==，所以(22222112R D O h DO h h R =+=+-⇒==当外接球的球心O 在线段21O O 延长线上，显然不合题意；当球心O 在线段12O O 之间时，则)222O O h =，同上可得，h =故答案为：3.14.若sin 0αβγ+-=+-的最大值为______．【答案】【解析】≤=消去α、β求最大值即可，再应用三角函数的单调性即可得.【详解】由题意得：0sin 1αβγ≤+=≤，0α≥，0β≥，则()22αβαβαβαβ=+++++=+，当且仅当αβ=时等号成立，+≤=≤，则有0sin 10cos 1γγ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则π2π2π2k k γ≤≤+，Z k ∈,有sin γ在π2π2π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，单调递增，cos γ在π2π2π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，上单调递减，π2π2π2k k ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则当π2π2k γ=+时，即sin 1γ=、cos 0γ=时，，+-的最大值为..【点睛】本题关键在于如何将多变量求最值问题中的多变量消去，结合基本不等式与题目条件可将α、β消去，再结合三角函数的值域与单调性即可求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.函数()e 2xf x ax a =--.（1）讨论函数的极值；（2）当0a >时，求函数()f x 的零点个数.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导后，分别在0a ≤和0a >的情况下得到()f x '正负，进而得到()f x 单调性，由极值定义可求得结果；（2）由（1）可知()f x 单调性，分别讨论极小值大于零、等于零和小于零的情况，结合零点存在定理可得结论.【小问1详解】由题意得：()e 2xf x a '=-；当20a ≤，即0a ≤时，()0f x ¢>恒成立，()f x \在R 上单调递增，无极值；当20a >，即0a >时，令()0f x '=，解得：ln 2x a =，∴当(),ln 2x a ∈-∞时，()0f x '<；当()ln 2,x a ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增，()f x \的极小值为()ln 22ln 2f a a a a =-，无极大值；综上所述：当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 极小值为2ln 2a a a -，无极大值.【小问2详解】由（1）知：当0a >时，()f x 在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增；当02a <<时，()ln 22ln 20f a a a a =->，()0f x ∴>恒成立，()f x 无零点；当a =时，()ln 22ln 20f a a a a =-=，()f x 有唯一零点ln 2x a =；当2a >时，()ln 22ln 20f a a a a =-<，又()010f a =->，当x 趋近于正无穷大时，()f x 也趋近于正无穷大，()f x \在()0,ln 2a 和()ln 2,a +∞上各存在一个零点，即()f x 有两个零点；综上所述：当e 02a <<时，()f x 无零点；当2a =时，()f x 有且仅有一个零点；当e 2a >时，()f x 有两个不同的零点.16.已知n 把相同的椅子围成一个圆环；两个人分别从中随机选择一把椅子坐下．（1）当12n =时，设两个人座位之间空了X 把椅子（以相隔位子少的情况计数），求X 的分布列及数学期望；（2）若另有m 把相同的椅子也围成一个圆环，两个人从上述两个圆环中等可能选择一个，并从中选择一把椅子坐下，若两人选择相邻座位的概率为114，求整数(),3,3m n m n >>的所有可能取值．【答案】（1）分布列见解析，数学期望为2511（2）9,57m n =⎧⎨=⎩或15,15m n =⎧⎨=⎩或57,9.m n =⎧⎨=⎩【解析】【分析】（1）根据题意得到随机变量X 可以取0,1,2,3,4,5，并计算出相应的概率，列出分布列，利于期望公式计算即可；（2）利于概率求得两人选择相邻座位的概率，建立方程后依据条件可求得整数解即可.【小问1详解】由题意，得随机变量X 可以取0,1,2,3,4,5，其中()()21212220,1,2,3,4A 11P X i i ⨯====，()21212115A 11P X ⨯===，所以随机变量X 的分布列为：X012345P 211211************故()2222212501234511111111111111E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【小问2详解】记“两人选择n 把相同的椅子围成的圆环”为事件A ，“两人选择m 把相同的椅子围成的圆环”为事件B ，“两人选择相邻座位”为事件C ．因为两个人从上述两个圆环中等可能选择一个，所以()()1111,2244P A P B =⨯==，()()()()()()()P C P AC P BC P A P C A P B P C B =+=+()()12121114141211n m n n m m n m ⨯⨯⎛⎫=⨯+⨯=+ ⎪----⎝⎭．因为()114P C =，所以111117n m +=--．化简，得4988n m =+-．因为*3,3,m n n >>∈N ，所以498m ∈-Z ，且4958m >--．所以81,7,49m -=，即9,15,57m =，此时9,57m n =⎧⎨=⎩或15,15m n =⎧⎨=⎩或57,9.m n =⎧⎨=⎩所以,m n 的所有可能取值为9,57m n =⎧⎨=⎩或15,15m n =⎧⎨=⎩或57,9.m n =⎧⎨=⎩17.如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为平行四边形，//EF 平面AB CD -，EAB 为等边三角形，22,60BC CE AB EF ABC ===∠=︒．（1）求证：平面EAB ⊥平面ABCD ；（2）求平面ECD 与平面FCD 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）31010【解析】【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量的方法即可求得平面平面ECD 与平面FCD 的夹角的余弦值.【小问1详解】不妨设1AB =，则2BC CE ==，在平行四边形ABCD 中，2BC = ，1AB =，60ABC ∠=︒，连接AC ，由余弦定理得22212211cos 603AC =+-⨯⨯⨯︒=，即3AC =，222AC AB BC += ，AC AB ∴⊥.又 222AC AE CE +=，AC AE ∴⊥，AB AE A = ，AC ⊥平面EAB ，又 AC ⊂平面ABCD .∴平面EAB ⊥平面ABCD .【小问2详解】取AB 中点G ，连接EG ，EA EB = ，EG AB ∴⊥，由（1）易知EG ⊥平面ABCD ，且32EG =.如图，以A 为原点，分别以射线,AB AC 所在直线为,x y 轴，竖直向上为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -，则1,0,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,22F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()C，()D -，()12,B -，(11,C -，()1,0,0CD =- ，330,,22FC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1322EC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面FCD 的法向量为(),,n x y z = ，则00n CD n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得0022x y z -=⎧-=⎩，令1y =，得()0,1,1n = ，设平面ECD 的法向量为()111,,m x y z = ，则00m CD m EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得1111013022x x z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令11y =，得()0,1,2m =，310cos ,10m n m n m n ⋅===⋅ ，所以平面ECD 与平面FCD 夹角的余弦值31010.18.已知抛物线C ：22y px =（05p <<）上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点()1,0作直线交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线1l 与2l ，1l 与2l 相交于点D ，过点A 作直线3l 垂直于1l ，过点B 作直线4l 垂直于2l ，3l 与4l 相交于点E ，1l 、2l 、3l 、4l 分别与x 轴交于点P 、Q 、R 、S .记DPQ V 、DAB 、ABE 、ERS △的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S .若12344S S S S =，求直线AB 的方程.【答案】（1）22y x=（2）10x -=【解析】【分析】（1）结合抛物线定义即可.（2）设经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程为AB l ：1x my =+（m R ∈），与抛物线方程联立得12y y +，12y y .将每条直线表达出来，1S 、2S 、3S 、4S 表达出来，再由12344S S S S =得出m 即可.【小问1详解】设(),3M t ，由题意可得9252pt p t =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即9522p p +=，解得1p =或9p =（舍去），所以抛物线C 的方程为22y x =.【小问2详解】如图，设经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程为AB l ：1x my =+（m R ∈），与抛物线方程22y x =联立可得222y my =+，即2220y my --=，2480m ∆=+>∴122y y m +=，122y y =-.∵22y x =，则y =∴'1y y==，∴过点A 作C 的切线1l 方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，令0y =，得212y x =-，即21,02y P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理，过点B 作C 的切线2l 方程为2212y y x y =+，令0y =，得222y x =-，即22,02y Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∴222122y y PQ =-.联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1212122y y x y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即()1,D m -，则D 到直线AB l的距离2D AB d -==.又∵过点A 作直线3l 垂直于1l ，直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，令0y =，得2112y x =+，即211,02y R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++，令0y =，得2212y x =+，即221,02y S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.∴222122y y RS =-.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得2222x m y m⎧=+⎨=⎩，即()222,2E m m +，则E 到直线AB l的距离E AB d -==由上可得22211112222D y y S PQ y m =⋅=-，212d AB S AB d -=⋅=，312E AB S AB d -=⋅=，222141122222E y y S RS y m =⋅=-，∴12342242S S S S m =+=，得m =，∴直线AB的方程为1x =+即10x ±-=.19.已知有穷数列12:n A a a a ，，，(3)n ≥中的每一项都是不大于n 的正整数.对于满足1m n ≤≤的整数m ，令集合(){}12k A m k a m k n === ，，，，.记集合()A m 中元素的个数为()s m （约定空集的元素个数为0）.（1）若:63253755A ，，，，，，，，求(5)A 及(5)s ；（2）若12111()()()n n s a s a s a +++= ，求证：12,,,n a a a 互不相同；（3）已知12,a a a b ==，若对任意的正整数()i j i j i j n ≠+≤，，都有()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，求12n a a a +++ 的值.【答案】（1）(5){478}A =，，，(5)=3s .（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）观察数列，结合题意得到(5)A 及(5)s ；（2）先得到11()i s a ≤，故12111()()()n n s a s a s a +++≤ ，再由12111()()()n n s a s a s a +++= 得到()1i s a =，从而证明出结论；（3）由题意得i j i a a +=或i j j a a +=，令1j =，得到32a a =或31a a =，当a b =时得到12n a a a na +++= ，当a b ¹时，考虑3a a =或3a b =两种情况，求出答案.【小问1详解】因为4785a a a ===，所以{}(5)4,7,8A =，则(5)=3s ；【小问2详解】依题意()1,12i s a i n ≥=，，， ，则有11()i s a ≤，因此12111()()()n n s a s a s a +++≤ ，又因为12111()()()n n s a s a s a +++= ，所以()1i s a =所以12,,,n a a a 互不相同.【小问3详解】依题意12,.a a ab ==由()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，知i j i a a +=或i j j a a +=.令1j =，可得1i i a a +=或11i a a +=，对于2,3,...1i n =-成立，故32a a =或31a a =.①当a b =时，34n a a a a ==== ，所以12n a a a na +++= .②当a b ¹时，3a a =或3a b =.当3a a =时，由43a a =或41a a =，有4a a =，同理56n a a a a ==== ，所以12(1)n a a a n a b +++=-+ .当3a b =时，此时有23a a b ==，令13i j ==，，可得4()A a ∈或4()A b ∈，即4a a =或4a b =.令14i j ==，，可得5()A a ∈或5()A b ∈.令23i j ==，，可得5()A b ∈.所以5a b =.若4a a =，则令14i j ==，，可得5a a =，与5a b =矛盾.所以有4a b =.不妨设23(5)k a a a b k ====≥ ，令1(2,3,,1)i t j k t t k ==+-=-， ，可得1()k A b +∈，因此1k a b +=.令1,i j k ==，则1k a a +=或1k a b +=.故1k a b +=.所以12(1)n a a a n b a +++=-+ .综上，a b =时，12n a a a na +++= .3a a b =≠时，12(1)n a a a n a b +++=-+ .3a b a =≠时，12(1)n a a a n b a +++=-+ .【点睛】数列新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.。
河北衡水中学、石家庄二中、雅礼中学、长郡中学等名校2023届高三模拟(一)数学试题
河北衡水中学、石家庄二中、雅礼中学、长郡中学等名校2023届高三模拟（一）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{2,3}B =，则()()U U A B ⋂=痧（ ） A ．{2} B ．{5}C ．{1,3,4,5}D ．{1,2,3,4}2．复数25i34i+的虚部为（ ） A ．3B ．4C ．3-D ．4-3．八卦是中国文化的基本学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =u u u r给出下列结论，其中正确的结论为（ ）A ．OA u u u r 与OH u u u r 的夹角为π3B ．OD OF OE +=u u u r u u u r u u u rC ．OA OC -=u u u r u u u r u u u rD ．OA u u u r 在OD u u u r （其中e r 为与OD u u u r 同向的单位向量）4．从属于区间[]28,的整数中任取两个数，则至少有一个数是质数的概率为（ ） A ．67B ．57C ．914D ．11145．已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．81114,4,333⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭B ．111417,4,333⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭C ．111417[,)(5,)333UD ．141720,5,333⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭6．在某款计算器上计算log a b 时，需依次按下“Log ”､“（”､“a ”､“，”､“b ”､“）”6个键.某同学使用该计算器计算log a b （1a >，1b >）时，误将“Log ”､“（”､“b ”､“，”､“a ”､“）”这6键，所得到的值是正确结果的49倍，则（ ）A ．23a b =B ．321a b =C ．23a b =D ．32a b =7．已知实数0a >，0b >，1a ≠，且ln b = ） A ．log 1a b >B ．a b <C ．log 1a b <D ．a b >8．在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是正方形11DCC D 面内(包括边界)的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（ ） A ．36B ．24C．D．二、多选题9．2022年1月，社会调查中心联合问卷网，对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，全部都知道､大部分知道､少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占12.6%､49.0%､34.6%和3.8%，则适合表示上述调查结果的是（ ） A ．柱形图 B ．茎叶图C ．扇形图D ．频率分布直方图10．已知数列{}n a 为等比数列，首项10a >，公比()1,0q ∈-，则下列叙述正确的是（ ） A ．数列{}n a 的最大项为1a B ．数列{}n a 的最小项为2a C ．数列{}1n n a a +为递增数列D ．数列{}212n n a a -+为递增数列11．已知椭圆C ：221259x y +=，1F ，2F 分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A ．存在P 使得122F PF π∠=B ．12cos F PF ∠的最小值为725-C ．12PF PF ⊥，则12F PF △的面积为9D ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值92512．曲线的曲率就是针对曲线上㭉个克的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线()y f x =在点(,())x f x 处的曲率()K x =()()()'' 1.521f x f x ⎡⎤+⎢⎥⎦'⎣，其中()''f x 是()f x '的导函数．（ ）A ．若函数f （x ）=3x ．则曲线y =f （x ）在点（-a ，-3a ）与点（a ，3a ）处的弯曲程度相同B ．若()f x 是二次函数．则曲线()y f x =的曲率在顶点处取得最小值C ．若函数()sin f x x =，则函数()K x 的值域为[0,1]D ．若函数1()(0)f x x x =>，则曲线()y f x =三、填空题13．设0122191919191919C C 7C 7C 7a =++++L ，则a 除以9所得的余数为______．14．规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A 是指该球的球心点A ．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，如图，设母球A 的位置为（0，0），目标球B 的位置为40（，），要使目标球B 向()8,4C -处运动，则母球A 的球心运动的直线方程为______．15．已知正实数x ，y 满足ln e ln x x y y =+，则()4x y x -+的最大值为______．四、双空题16．已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒.将ABD △沿BD 折起，使得点A 至点P 的位置，得到四面体P BCD -.当二面角P BD C --的大小为120°时，四面体P BCD -的体积为___________；当四面体P BCD -的体积为1时，以P 为球心，PB 的长为半径的球面被平面BCD 所截得的曲线在BCD △内部的长为_______________.五、解答题17．已知*n ∈N ，抛物线2y x n =-+与x 轴正半轴相交于点A ．设n a 为该拋物线在点A 处的切线在y 轴上的截距． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2nn na b =， 求证： 1211112n b b b n +++<-L （*n ∈N 且2n ≥）．18．已知△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++.(1)求角A 的大小；(2)设点D 为BC 上一点，AD 是ABC V 的角平分线，且2AD =，3b =，求ABC V 的面积.19．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点．设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，AD c =uuu r r.(1)求证EG ⊥AB ；(2)求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值．20．统计与概率主要研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据的收集、整理、分析、描述及对事件发生的可能性刻画，来帮助人们作出合理的决策. (1)现有池塘甲，已知池塘甲里有50条鱼，其中A 种鱼7条，若从池塘甲中捉了2条鱼.用ξ表示其中A 种鱼的条数，请写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望()E ξ;(2)另有池塘乙，为估计池塘乙中的鱼数，某同学先从中捉了50条鱼，做好记号后放回池塘，再从中捉了20条鱼，发现有记号的有5条. （ⅰ）请从分层抽样的角度估计池塘乙中的鱼数.（ⅱ）统计学中有一种重要而普遍的求估计量的方法─最大似然估计，其原理是使用概率模型寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树，即在什么情况下最有可能发生已知的事件.请从条件概率的角度，采用最大似然估计法估计池塘乙中的鱼数.21．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为()1A -，直线l 与曲线C 右支相切（切点不为右顶点），且l 分别交双曲线C 的两条渐近线与M 、N 两点，O 为坐标原点.（1）求双曲线C 的方程；（2）求证：MON △面积为定值，并求出该定值.22．已知函数()2ln f x mx x =+.（1）若4m =-，求函数()f x 的单调递增区间；（2）设1x ，2x 是()1f x '=的两个不相等的正实数解，求证：()()12123ln 4f x f x x x ++<++.。
2024届河北省衡水市部分高中高三一模数学试题(解析版)
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（一）（考试时间：120分钟，满分：150分）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4M =，{}0,3,5N =，则N ()U M = ð（）A.{}0,5B.{}1,2,3,4C.{}1,2,3,4,5 D.U【答案】B 【解析】【分析】根据集合并补运算即可求得.【详解】{}0,1,2,3,4,5U =，{}0,3,5N =，所以{}1,2,4U N =ð，所以(){}1,2,3,4U M N = ð，故选：B.2.已知复数z 满足(43i)i z +=-，则z 的虚部为（）A.425-B.425 C.4i 25-D.4i 25【答案】A 【解析】【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解.【详解】因为(43i)i z +=-，所以()()()i 43i i 34i 43i 43i 43i 2525z ---===--++-，所以z 的虚部为425-.故选：A.3.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()()y f x g x =+的最大值为a ，则a 的值不可能为（）A.1B.1C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】根据图象的平移变换得到()()sin 22g x x ϕ=+，然后根据和差公式和辅助角公式整理得到()()()2y f x g x x α=+=+，最后根据三角函数的性质求a 的范围即可.【详解】由题意得()()sin 22g x x ϕ=+，则()()()sin 2sin 22y f x g x x x ϕ=+=++sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2x x xϕϕ=++()1cos 2sin 2sin 2cos 2x x ϕϕ=++()2x α=+()2x α=+，sin 2tan 1cos 2ϕαϕ=+，因为[]cos 21,1ϕ∈-[]0,2，所以[]0,2a ∈.故选：D.4.在等比数列{}n a 中，若1512a a a ⋅⋅为一确定的常数，记数列{}n a 的前n 项积为n T .则下列各数为常数的是（）A.7TB.8T C.10T D.11T 【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件判断出6a 为确定常数，再由此确定正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，()3411511111512a a q a a a a q q a =⋅⋅=⋅⋅为确定常数，即6a 为确定常数.7712674T a a a a a == 不符合题意；()48127845T a a a a a a == 不符合题意；()5101291056T a a a a a a == 不符合题意；11111210116T a a a a a == 为确定常数，符合题意.故选：D 5.关于函数4125x y x -=-，N x ∈，N 为自然数集，下列说法正确的是（）A.函数只有最大值没有最小值B.函数只有最小值没有最大值C.函数没有最大值也没有最小值D.函数有最小值也有最大值【答案】D 【解析】【分析】先对函数整理化简，根据反比例函数的性质，结合复合函数单调性的“同增异减”，即可求出函数的最小值与最大值.【详解】()22594192252525x x y x x x -+-===+---，52x ¹，由反比例函数的性质得：y 在5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y >，y 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y <，又因为N x ∈，N 为自然数集，所以min y 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上取到，2x =时,min 7y =-，同理max y 在5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上取到，3x =时,max 11y =，所以当N x ∈，N 为自然数集时，函数有最小值也有最大值.故选：D .6.已知函数()πcos 12f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πsin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系即可判断.【详解】令()11ππ12m k k -=∈Z ，得()11ππ12m k k =+∈Z ，所以曲线()y f x =关于直线()11ππ12x k k =+∈Z 对称．令()22ππ4π62m k k +=+∈Z ，得()22ππ124k m k =+∈Z ，所以曲线()y g x =关于直线()22ππ124k x k =+∈Z 对称．因为()11π{|π}12m m k k =+∈Z ()22ππ{|}124k m m k =+∈Z 所以“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的充分不必要条件．故选：A.7.O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（）A. B. C. D.8【答案】C 【解析】【分析】首先根据焦半径公式求点M 的坐标，再代入面积公式，即可求解.【详解】设点()00,Mxy ，()2,0F ,所以026MF x =+=，得04x =，0y =±,所以MOF △的面积011222S OF y =⨯=⨯⨯故选：C8.,,a b c 为三个互异的正数，满足2ln 0,31ba cc a a-=>=+，则下列说法正确的是（）A.2c a b ->-B.2c b a -≤-C.2c a b +<+D.2c a b+≤+【答案】A 【解析】【分析】对于2ln 0cc a a-=>可构造函数()2ln f x x x =-，利用导函数可求出其单调性，利用数形结合可得02a c <<<，对于31ba =+，可在同一坐标系下画出函数x y =及31x y =+的图象，可得02a b <<<，再由不等式性质可知A 正确.【详解】由2ln0cc a a-=>得2ln 2ln c c a a -=-且c a >，构造函数()2ln f x x x =-，所以()21f x x'=-，易得()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，其函数图象如下图所示：由图可得02a c <<<，易知函数x y =及31x y =+交于点()2,10，作出函数x y =及31x y =+的图象如下图所示：由图知02a b <<<所以02a b c <<<<，即,2a b c <<，由此可得2a b c +<+，即2c a b ->-.故选：A【点睛】方法点睛：在求解不等式比较大小问题时，经常利用同构函数进行构造后通过函数单调单调性比较出大小，画出函数图象直接由图象观察得出结论.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（）A.这10个数据中至少有8个数小于或等于31B.把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31C.把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31D.把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31【答案】AB 【解析】【分析】由百分位数的概念可判断.【详解】因为这10个数据的第75百分位数是31，由100.757.5⨯=，可知把这10个数据从小到大排列后，第8个数为31，可知，选项A ，B 正确，C ，D 错误.故选：AB .10.函数()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ ，则下列结论正确的是（）A.()()3.14D D π>B.()D x 的值域为[]2,3C.()()D D x 是偶函数 D.a ∀∈R ，()()D x a D a x +=-【答案】AC 【解析】【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可.【详解】()3D π=，()3.142D =，()()3.14D D π>，A 正确；()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ，则()D x 的值域为{}2,3，B 错误；x ∈Q 时，x -∈Q ，()()()22D D x D ==，()()()22D D x D -==，所以()()()()D D x D D x =-，x ∉Q 时，x -∉Q ，()()()32D D x D ==，()()()32D D x D -==，()()()()D D x D D x =-，所以()()D D x 为偶函数，C正确；x =时，取1a =()()12D x a D +==，()(13D a x D -=-=，则()()D x a D a x +≠-，D 错误.故选：AC11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，轴截面ABCD 为等腰梯形，且满足2224cm CD AB AD BC ====.下列说法正确的是（）A.该圆台轴截面ABCD 的面积为2B.该圆台的表面积为211πcmC.该圆台的体积为3cmD.【答案】AB 【解析】【分析】求出圆台的高12O O 可判断A ；由圆台的表面积和体积公式可判断B ，C ；由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆可判断D .【详解】对于A ，由2224cm CD AB AD BC ====，可得高12O O ==则圆台轴截面ABCD 的面积为()214m 22⨯+=，故A 正确；对于B ，圆台的侧面积为()()2π1226πcm S =⋅+⨯=侧，又()22ππm1c S =⨯=上，()22π24πcm S=⋅=下，所以()26ππ41cm π1πS =++=表，故B 正确；对于C ，圆台的体积为()()3173π142πcm 33V =++=，故C 错误；对于D ，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD 存在内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆，故D 错误，故选：AB.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知()12f x x=在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，则=a __________.【答案】12-##-0.5【解析】【分析】结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】因为()12f xx =-，所以21()f x x'=+，因为()f x 在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，所以1(1)12f a '=+=，解得12a =-.故答案为：12-13.已知力123,,F F F ，满足1231N ===F F F ，且123++=F F F 0，则12-=F F ________N.【解析】【分析】将123++=F F F 0变形后平方得到相应结论，然后将12-F F 平方即可计算对应的值.【详解】由123++=F F F 0，可得123+=-F F F ，所以()()22312-=+F F F ，化简可得222312122F =++⋅F F F F ，因为1231===F F F ，所以1221⋅=-F F ，所以12-====F F【点睛】本题考查向量中的力的计算，难度较易.本题除了可以用直接分析计算的方式完成求解，还可以利用图示法去求解.14.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线交C 于点P﹒2OM PF ⊥于点M （其中O 为坐标原点），且有223PF MF =，则C 的离心率为______.【答案】622【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于,,a b c 的齐次式后可得离心率．【详解】如图，易得2(,)b P c a -，2(,0)F c ，22(2,b PF c a=- ，设(,)M x y ，2(,)MF c x y =-- ，由223PF MF = 得2(2,3(,)b c c x y a-=--，223()3c c x b y a =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得2133x c b y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21(,)33b M c a ，21(,33b OM c a = ，又2OM PF ⊥，∴42222033b OM PF c a⋅=-= ，c e a =，222b c a =-代入得2222(1)0e e --=，因为1e >故解得622e +=，故答案为：2+．四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，三角形面积为S ，若D 为AC 边上一点，满足,2AB BD BD ⊥=，且223cos 3a S ab C =-+.（1）求角B ；（2）求21AD CD+的取值范围.【答案】（1）2π3（2）3,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得tan B =，进而求解即可；（2）在BCD △中由正弦定理可得1sin DC C=，在Rt △ABD 中，可得2sin AD A =，进而得到21sin sin A C AD CD +=+，结合三角恒等变化公式化简可得21πsin 3C AD CD ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.【小问1详解】2cos 3a S ab C =-+ ，23sin cos 3a ab C ab C ∴=-+，即sin cos 3a b C b C =-+，由正弦定理得，3sin sin sin sin cos 3A B C B C =-+，()3sin sin sin sin cos 3B C B C B C ∴+=-+，cos sin sin sin 3B C B C ∴=-，sin 0C ≠，tan B ∴=由0πB <<，得2π3B =.【小问2详解】由（1）知，2π3B =，因为AB BD ⊥，所以π2ABD ∠=，π6DBC ∠=，在BCD △中，由正弦定理得sin sin DC BDDBC C=∠，即π2sin16sin sin DC C C==，在Rt △ABD 中，2sin sin AD A BD A==，sin sin 21sin si 22n 11A CC CA A D D∴++=+=，2π3ABC ∠=，π3A C ∴+=,21ππππsin sin sin sin sin cos cos sin sin sin 3333A C C C C C C C AD CD ⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π03C << ，ππ2π,333C ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πsin ,132C ⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以21AD CD +的取值范围为3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.16.已知数列{}n a 的前n 项和为,0n n S a >，且2241n n n a a S +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n n n S b a a +=的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）21n a n =-（2）242n n n T n +=+【解析】【分析】（1）先用()1n +替换原式中的n ，然后两式作差，结合n a 与n S 的关系，即可得到{}n a 为等差数列，从而得到其通项.（2）由（1）的结论，求得n S 及1n a +，代入1n n n n S b a a +=化简，得到n T 的式子，裂项相消即可.【小问1详解】2241n n n a a S +=-Q ，2111241n n n a a S ++++=-，两式作差得:()()1120n n n n a a a a +++--=，102n n n a a a +>∴-=Q ，{}n a ∴成等差数列，又当1n =时，()2110a -=，所以11a =即()11221n a n n =+-⨯=-【小问2详解】由（1）知21n a n =-，则()()1212122n n n a a n n S n ++-===，即()()()()21111212142121n n n n S n b a a n n n n +⎡⎤===+⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦1111482121n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，故1111111483352121n n T n n ⎛⎫=+-+-++- -+⎝⎭L 2111482148442n n n n n n n n +⎛⎫=+-=+= ⎪+++⎝⎭.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和62⎫⎪⎪⎭两点.12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A B ､两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求AB 的范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[]3,4【解析】【分析】（1）将点3(1,2代入椭圆方程，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于m 的关系式，再分析即可得解；【小问1详解】由题意可知，将点3(1,2代入椭圆方程，得222291416241a ba b⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得224,3a b==，所以椭圆的标准方程为22143x y+=.【小问2详解】由（1）知()11,0F-，()21,0F，当直线l的斜率为0时，24AB a==，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为1x my=+，()11,A x y，()22,B x y，联立221431x yx my⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x，得22(34)690m y my++-=，易得()22Δ636(34)0m m=++>，则12122269,3434my y y ym m--+==++，所以AB==2221212443434mm m+===-++，因为20m≥，所以2344m+≥，所以240134m<≤+，所以34AB≤<，综上，34AB≤≤，即AB的范围是[]3,4.18.《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到频率直方图（如图）：（1）从质量指标值在[)55,75的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.（2）经估计知这组样本的平均数为61x =，方差为2241s =.检验标准中55n x ns a ⎧⎫-=⨯⎨⎬⎩⎭，55n x ns b ⎡⎤+=⨯⎢⎥⎣⎦，N n *∈，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，s 值四舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[]11,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有95%落在[]22,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成功？【答案】（1）25；（2）详见解析；【解析】【分析】（1）根据分层抽样确定抽取比例，然后运用组合求解即可；（2）根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，然后与题中条件比较即可得出结论.【小问1详解】由题意可知[)[)55,6565,750.330.22P P ==，所以抽取的2件产品恰好都在同一组的概率为：223225C C 42C 105P +===;【小问2详解】因为2241s =，知16s ，则11611661165455755 5a b -+⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]45,75内的频率约为0.160.30.266%65%++=>，又22612166121653059055a b -⨯+⨯⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]30,90内的频率约为10.030.040.9393%95%--==<，，所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．19.如图，//AD BC ,且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，//EG AD 且EG ＝AD ，//CD FG 且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC ＝DG ＝2.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN //平面CDE ；（2）求平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,根据空间向量可证MN //平面CDE ；（2）利用平面的法向量可求出结果.【小问1详解】证明：依题意，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：可得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，E (2，0，2)，F (0，1，2)，G (0，0，2)，3(0,,1)2M ，N (1，0，2)．依题意，DC ＝(0，2，0)，DE ＝(2，0，2)．设0n ＝(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则0020220n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，得0y =，令z ＝－1，得1x =，则0(1,0,1)n =- ，又3(1,,1)2MN =- ，可得00MN n ⋅= ，直线MN ⊄平面CDE ，所以MN //平面CDE .【小问2详解】依题意，可得(1,0,0)BC =- ，(1,2,2)BE =- ，(0,1,2)CF =- ，设111(,,)n x y z = 为平面BCE 的法向量，则11110220n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得10x =，令11z =，得11y =，则(0,1,1)n =，设222(,,)m x y z = 为平面BCF 的法向量，则222020m BC x m CF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得20x =，令21z =，得22y =，则(0,2,1)m =，因此有cos ,||||m n m n m n ⋅<>=⋅ 2152=⨯31010=.于是10sin ,10m n <>= .所以平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值为1010.。
广东省肇庆市2025届高三第一次模拟考试数学试题
广东省肇庆市2025届高三第一次模拟考试数学试题一、单选题1．33log 18log 2-=（）A ．4B ．32log 2C ．3log 2D ．22．已知集合()(){}140A x x x =∈--≤N ，{}03B x x =<<，则A B = （）A ．{}1,2B ．()1,3C ．{}2,3D ．[)1,33．曲线()21y x x =-在1x =处的切线方程为（）A ．1x =B ．1y =C ．21y x =+D ．22y x =-4．已知函数()1ln ,1e ,1x x xf x x +≥⎧=⎨<⎩，则不等式()1f x >的解集为（）A ．()1,-+∞B ．()1,3-C ．()1,+∞D ．()()1,1e,-+∞ 5．已知复数1z ，2z ，则“12z z =”是“12i i z z +=+”的（）A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知定义在R 上的函数()()e e x xg x f x -=-+，其中()g x 是奇函数且在R 上单调递减，()12log 2f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()4,+∞7．已知π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5π7π124x <<，则sin cos cos sin x x x x +=-（）A ．43-B ．43-或43C ．34-D ．34-或348．在ABC V 中，()cos cos cos sin 0C B A A +-=且2BC =，若BM BC xBA =+（x ∈R ），则BM 的最小值为（）A ．2B ．1C D ．2二、多选题9．设正实数m ，n 满足m n >，且24m n +=，则下列说法正确的是（）A ．4248m n -+-=B ．22n nm m+<+C ．mn 的最大值为2D ．22m n +的最小值是410．将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是（）A ．37B ．58C ．67D ．7911．已知()()2cos f x x ωϕ=+（0ω>，π<ϕ）在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，对于任意的x ∈R满足ππ66f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()5π12f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．π3ϕ=B ．若函数()y f x λ=（0λ>）在[]0,π上单调递减，则50,12λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦C ．若()()124f x f x -=，则12x x -的最小值为π2D ．若函数()f x 在π,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上存在两个极值点，则17π23π1212a <≤三、填空题12．若复数z 满足()12i 1i z ⋅-=+，则z =．13．已知单位向量a ，b 满足a b a b +=- ，则向量a b +在向量b 上的投影向量的模为.14．已知函数()()211e 12xf x b x x ax ab =+-++-（0b >）在R为.四、解答题15．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且312a a a =，1232a a a =+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若123123n nnb a a a a =++++ ，求数列{}n b 的通项公式.16．已知向量),sin m x x ωω= ，()cos ,sin n x x ωω= ，0ω>，函数()f x m n =⋅ ，且()f x 的最小正周期为π.(1)若5π0,12x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，求()f x 的值域；(2)将()f x 的图象先向下平移12个单位长度，再向左平移m （0m >）个单位长度，最后将横坐标变为原来的两倍，所得函数图象与函数cos y x =的图象重合，求实数m 的最小值.17．记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 1b C =-，cos 3c B =.(1)若sin b C =ABC V 的面积；(2)求A 的最大值.18．已知函数()ln 1x ax x xf x =++.(1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 存在极大值，求a 的取值范围.19．对于一个给定的数列{}n a ，令1n n n b a a +=+，则数列{}n b 称为数列{}n a 的一阶和数列，再令1n n n c b b +=+，则数列{}n c 是数列{}n a 的二阶和数列，以此类推，可得数列{}n a 的p 阶和数列.(1)若{}n a 的二阶和数列是等比数列，且10a =，21a =，30a =，43a =，求7a ；(2)若n a n =，求{}n a 的二阶和数列的前n 项和；(3)若{}n a 是首项为1的等差数列，{}n b 是{}n a 的一阶和数列，且1132k k a b --≤，121000k a a a +++= ，求正整数k 的最大值，以及k 取最大值时{}n a 的公差.。
江西省鹰潭市2024届高三第一次模拟考试数学试题
江西省鹰潭市2024届高三第一次模拟考试数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数z 满足()1i 1z +=，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．22i -D ．22i +2．已知集合{}2|56A x x x =-≤，集合{}|B x x a =≥，若()R B A ⊆ð，则a 的取值范围为（ ）A ．()6,+∞B ．[)6,+∞C ．(),1-∞-D ．(],1-∞ 3．南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence Nightingale ）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（ ）A ．2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少B ．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多C ．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D ．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍4．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//a b ，//a α，则//b αB ．若a b ⊥r r ，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，a β⊥，则//a αD ．若αβ⊥，//a α，则a β⊥ 5．某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5:3，则单位职工体重的方差为（ ） A ．166 B ．167 C ．168D ．1696．已知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π2tan tan 43θθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，πcos cos 22π4θθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ） A ．12- B ．35- C ．3 D ．357．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，如图，过点F 作倾斜角为60︒的直线与椭圆E 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若5FM OF =（O 为坐标原点），则椭圆E 的离心率为（ ）ABCD8．在满足2i i x y ≤<，i i y x i i x y =的实数对()(),1,2,3,,i i x y i n =⋯中，使得12120n n y y y y -+++≤L 成立的正整数n 的最大值为（ ）A ．22B ．23C ．30D ．31二、多选题9．如图所示，已知角π,02αβαβ⎛⎫<<< ⎪⎝⎭的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为,A B ，M 为线段AB 的中点，射线OM 与单位圆交于点C ，则（ ）A ．AOB βα∠=-B ．cos 2OM βα-=C ．点C 的坐标为cos ,sin 22αβαβ++⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．点M 的坐标为cos cos ,sin sin 2222αββααββα+-+-⎛⎫ ⎪⎝⎭10．ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC V 的面积，且2a =，AB AC ⋅=u u u r u u u r ，下列选项正确的是（ ）A ．π6A =B ．若2b =，则ABC V 只有一解C ．若ABC V 为锐角三角形，则b 取值范围是(⎤⎦D ．若D 为BC 边上的中点，则AD 的最大值为211．直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都为4，π3BAD ∠=，点P 在四边形11BDD B 及其内部运动，且满足8PA PC +=，则下列选项正确的是（ ）A ．点P 的轨迹的长度为π.B ．直线AP 与平面11BDD B 所成的角为定值．C ．点P 到平面11AD B . D ．11PA PC ⋅u u u r u u u u r 的最小值为-2．三、填空题12．()6242x y x y -的展开式中y x的系数为． 13．已知抛物线216x y =的焦点为F ，P 是C 上的动点，过点F 作直线()44y k x =-+的垂线，垂足为Q ，则PQ PF +的最小值为．14．已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()80f x g x '+-=，()()2680f x g x '----=，若()g x 为偶函数，求()20231n f n =∑=．四、解答题15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭是首项为12、公差为13的等差数列． (1)求{}n a 的通项公式;(2)令()21nn n n a b S -=，n T 为数列{}n b 的前n 项积，证明：16n n T -≤． 16．如图1，已知正三角形ABC 边长为6，其中2AD DB =u u u r u u u r ，2AE EC =u u u r u u u r ，现沿着DE 翻折，将点A 翻折到点A '处，使得平面A BC '⊥平面DBC ，M 为A C '中点，如图2．(1)求异面直线A D '与EM 所成角的余弦值；(2)求平面A BC '与平面DEM 夹角的余弦值．17．2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球．(1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；(2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量X ，求X 的分布列．18．已知在平面直角坐标系xOy 中，1l ：2y x =，2l ：2y x =-，平面内有一动点P ，过P 作2//DP l 交1l 于D ，1//EP l 交2l 于E ，平行四边形ODPE 面积恒为1.(1)求点P 的轨迹方程并说明它是什么图形；(2)记P 的轨迹为曲线C ，3,04G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当P 在y 轴右侧且不在x 轴上时，在y 轴右侧的C 上一点Q 满足x 轴平分PGQ ∠，且PQ 不与x 轴垂直或PG 是C 的一条切线，求PQ 与1l ，2l 围成的三角形的面积最小值.19．设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．(1)数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）：表1(2)数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a的所有可能值：表2⨯个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，(3)对由m n使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由．。
江西省南昌市2024届高三第一次模拟测试数学试题(教师版)
2024年HGT 第一次模拟测试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟一､单项选择题：共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2R 240,N 10A x x x B x x +=∈--<=∈<∣∣，则A B = （）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,2,3 D.{}1,2,3,4【答案】C 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义求解即可.【详解】因为2240x x --<，所以11x -<<+所以{{}R11,1,2,3,4,5,6,7,8,9A x x B =∈-<<+=∣，所以A B = {}1,2,3.故选：C .2.已知复数z 满足2i i 4z z -=+，则z =（）A.3B.C.4D.10【答案】B 【解析】【分析】先由复数的乘法和除法运算化简复数，再由复数的模长公式求解即可.【详解】由2i i 4z z -=+可得：i 2i 4z z -=+，所以()()()()()()22i 41i 2i 21i 2i 4i i 22i 3i 11i 1i 1i 2z +++++====+++=+--+，所以z ==故选：B .3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3612,33a a ==，则17S =（）A.51B.34C.17D.1【答案】C 【解析】【分析】由题意列方程组可求出1a ，d ，再由等差数列的前n 项和公式求解即可.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，所以由3612,33a a ==可得：11123253a d a d ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：11919a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17117161171611717172929S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯=.故选：C .4.已知()21:ln 10,:0,x p a q x a x+->∃>≤，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数定义域和基本不等式求最值，利用集合包含关系可得.【详解】由()ln 10a ->，得10211a a a ->⎧⇒>⎨->⎩，设(){}{}:ln 102p A a a a a =->=>，由210,x x a x +∃>≤的否定为210,x x a x+∀>>，令()2112x f x x x x +==+≥，当且仅当1x x =时，又0x >，即1x =等号成立，若210,x x a x+∀>>，则2a <，若210,x x a x+∃>≤，则2a ≥，设{}:2q B a =≥，因为{}{}22a a a ≥⊇>，所以p q ⇒且q p ⇒/，所以p 是q 的充分不必要条件故选：A5.已知抛物线2:4C x y =的焦点为,F A 是抛物线C 在第一象限部分上一点，若4AF =，则抛物线C 在点A 处的切线方程为（）A.30y --= B.210x y --=C.10x y --=D.20y --=【答案】A 【解析】【分析】设()11,A x y ，根据抛物线的定义求得1x =，13y =，再根据导函数的几何意义求出切线斜率，由点斜式写出方程即可【详解】设()11,A x y ，由24x y =，得2p =，所以抛物线的准线方程1y =-，由抛物线的定义可得114AF y =+=，得13y =代入24x y =，得1x =±又A 是抛物线C 在第一象限部分上一点，所以1x =由24x y =，得214y x =，所以12y x '=，所以抛物线C 在点A 处的切线方程斜率为112x x y ===⨯'=所以抛物线C 在点A 处的切线方程为3y x -=-30y --=，故选：A6.已知1225log 5,log 2,e a b c ===，则（）A.c a b <<B.a c b <<C.a b c <<D.b c a<<【答案】D 【解析】【分析】由对数函数和指数函数的性质可得2,1,a b ><12c <<，即可得出答案.【详解】因为2255log 5log 42,log 2log 51,a b =>==<=121e 2c <==<=，所以b c a <<.故选：D .7.已知函数()][1sin ,2,11,2f x x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈--⋃ ⎪⎣⎦⎝⎭，则下列结论中错误的是（）A.()f x 是奇函数B.max ()1f x =C.()f x 在[]2,1--上递增 D.()f x 在[]1,2上递增【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数的定义可判A ；根据复合函数的单调性并求出最值判断B 、C 、D 【详解】因为][2,11,2x ⎡⎤∈--⋃⎣⎦，所以定义域关于原点对称，且()()111sin sin sin f x x x x f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 是奇函数；故A 对；令[]1,1,2u x x x=-∈，所以()h x 在[]1,2单调递增，所以13π022x x ≤-≤≤，即3π022u ≤≤≤，又sin y u =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()1sin f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]1,2单调递增，故D 对；因为()f x 是奇函数，所以()f x 在[]2,1--上递增，故C 对，综上，()()110f f -=-=，则()max 13()2sin 2sin 122f x f ⎛⎫==-=≠ ⎪⎝⎭，故B 错；故选：B8.木桶效应，也可称为短板效应，是说一只水桶能装多少水取决于它最短的那块木板.如果一只桶的木板中有一块不齐或者某块木板有破洞，这只桶就无法盛满水，此时我们可以倾斜木桶，设法让桶装水更多.如图，棱长为2的正方体容器，在顶点1C 和棱1AA 的中点M 处各有一个小洞（小洞面积忽略不计），为了保持平衡，以BD 为轴转动正方体，则用此容器装水，最多能装水的体积V =（）A.4B.163C.6D.203【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到1PMQC 为菱形，从而得到多能装入的体积为长方体MTRX ABCD -的体积加上长方体1111MTRX A B C D -的体积的一半，结合正方体的体积求出答案.【详解】棱长为2的正方体的体积为328=，在11,BB DD 上分别取,P Q ，使得1112B P D Q ==，又M 为棱1AA 的中点，故由勾股定理得112C P MQ MP C Q =====，故四边形1PMQC 为菱形，故1,,,P M Q C 四点共面，取111,,BB CC DD 的中点,,T R X ，连接,,,MT TR RX XM ，则平面1PMQC 将长方体1111MTRX A B C D -的体积平分，故以BD 为轴转动正方体，则用此容器装水，则最多能装入的体积为长方体MTRX ABCD -的体积加上长方体1111MTRX A B C D -的体积的一半，故最多能装水的体积1111633844ABCD A B C D V V -==⨯=.故选：C二､多项选择题：共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知空间中两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，则下列说法正确的是（）A.若m,n m α⊂，则n αB.若α ,m βα⊂，则m βC.若,m n ββ⊥⊂，则m n ⊥D.若,n αββ⊥⊂，则n α⊥【答案】BC 【解析】【分析】根据线面平行的判定判断选项A ；根据面面平行的性质以及线面平行的定义判断选项B ；根据线面垂直的定义判断选项C ；根据面面垂直性质判断选项D 【详解】若m,n m α⊂，则n α或n ⊂α，故A 错；若α ,m βα⊂，则m 与平面β无公共点，故m β，故B 对；若,m n ββ⊥⊂，则m 垂直于β内的任一条直线，所以m n ⊥，故C 对；若,n αββ⊥⊂，则n 与α可能平行或相交或在α内，故D 错；故选：BC10.已知圆22:4O x y +=与直线:l x my =+交于,A B 两点，设OAB 的面积为()S m ，则下列说法正确的是（）A.()S m 有最大值2B.()S m 无最小值C.若12m m ≠，则()()12S m S m ≠D.若()()12S m S m ≠，则12m m ≠【答案】ABD 【解析】【分析】设出点线距离，求出面积取值范围判断AB ，利用圆的对称性判断C ，将D 转化为逆否命题再判断即可.【详解】由题意得:l x my =+)P ，如图，取AB 中点为D ，故()12OAB S S m AB OD OD ==⨯⨯== ，设OD 为d ，故OAB S == ，易知OD OP ≤，即0d <≤，故203d <≤，令(]20,3t d =∈，而OAB S =由二次函数性质得当2t =时，OAB S 取得最大值，此时()2OAB S m S == ，故A 正确，由二次函数性质得，()S m 在(]0,2单调递增，在(]2,3单调递减，易知当3t =时，()S m =，当0t →时，()0S m →，故()(]0,2S m ∈，则B 正确对于C ，作A 关于x 轴的对称点A '，B 关于x 轴的对称点B '，连接OA '，OB '，由圆的对称性知OAB OA B S S ''= ，故不论m 取何值，必有()()12S m S m =，故C 错误，易知D 的逆否命题为若12m m =，则()()12S m S m =，故欲判断D 的真假性，判断其逆否命题真假性即可，显然当12m m =时，则()()12S m S m =，故D 正确，故选：ABD11.某环保局对辖区内甲､乙两个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续10天，每天空气质量指数（单位：3μg/m ）不超过100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标.已知甲乙两地区连续10天检查所得数据特征是：甲地区平均数为80，方差为40，乙地区平均数为70，方差为90.则下列推断一定正确的是（）A.甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的平均数是75B.甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的方差是65C.甲地区环境治理达标D.乙地区环境治理达标【答案】ACD 【解析】【分析】根据条件分别求出平均数和方差判断选项A 、B ；根据条件判断甲乙地区的每天空气质量指数判断选项C 、D【详解】甲地区平均数为80，乙地区平均数为70，则甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的平均数是801070107520⨯+⨯=，故A 对；设甲乙两地区连续10天检查所得数据分别为,1,2,3,,10i x i = 和,1,2,3,,10i y i = ，所以()102211804010i i S x ==-=∑甲，得()102180400ii x =-=∑，()102211709010i i S x ==-=∑乙，得()102170900i i x =-=∑，由()1010111111180,10801010800108001080002020202020i i i i x x x ===∴-=⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯=⎡⎤⎣⎦∑∑，由()1010111111170,10701010700107001070002020202020i i i i y y y ===∴-=⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯=⎡⎤⎣⎦∑∑，甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的方差是()()102211758020i i i S x y =⎡⎤=-+-⎣⎦∑()()101022111175752020i i i i x y ===-+-∑∑()()10102211118057052020i i i i x y ===-++--∑∑()()()()101022111180108025701070252020i i i i i i x x y y ==⎡⎤⎡⎤=-+-++---+⎣⎦⎣⎦∑∑()()()()1010101022111111111180108010257010701025202020202020i i i i i i i i x x y y =====-+-+⨯⨯+---+⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑1140090025902020=⨯+⨯+=，甲地区平均数为80，方差为40，如果这10天中有一天空气质量指数大于100，那么它的方差就一定大于()21100804010⨯-=，所以能确定甲地区连续10天，每天空气质量指数不超过100，所以甲地区环境治理达标，故C 对；乙地区平均数为70，方差为90，如果这10天中有一天空气质量指数大于100，那么它的方差就一定大于()21100709010⨯-=，所以能确定乙地区连续10天，每天空气质量指数不超过100，所以乙地区环境治理达标，故选：ACD12.已知直线1l 是曲线()ln f x x =上任一点()11,A x y 处的切线，直线2l 是曲线()e xg x =上点()11,B y x 处的切线，则下列结论中正确的是（）A.当111+=x y 时，1l 2lB.存在1x ，使得12l l ⊥C.若1l 与2l 交于点C 时，且三角形ABC 为等边三角形，则123x =+D.若1l 与曲线()g x 相切，切点为()22,C x y ，则121x y =【答案】ACD 【解析】【分析】根据导数求出两直线斜率可判断选项A 、B ；根据斜率与倾斜角的关系及和差角公式求出123x =+，判断选项C ；利用导数的几何意义求出斜率判断选项D 【详解】由题意得11ln y x =，由111+=x y ，得11ln 1x x +=，如图，可知ln y x x =+与1y =交点是()1,1可得11x =，11ln ln10y x ===，由()ln f x x =，得()1f x x'=，所以直线1l 的斜率为()()111f x f =='，由()e xg x =，得()e xg x '=，所以直线2l 的斜率为()()()0110e 1g y g f x '==='=，即直线1l 的斜率等于直线2l 的斜率，所以12l l ∥，故A 对；因为()()1112ln 111111111e e 11y x l l k kf xg y x x x x ''⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=≠-，所以不存在1x ，使得12l l ⊥，故B错；如图，设21,l l 的倾斜角分别为,αβ，因为三角形ABC 为等边三角形，所以π3βα=+，又()()11ln 11111tan ,tan e e y x f x g y x x αβ======''，所以1111πtan 3tan tan 131tan 1x x x αβαα++⎛⎫=+=== ⎪-⎝⎭-，整理得21110x --=，所以12x =±，因为()11,A x y 在曲线()ln f x x =上，所以1>0x，所以12x =+，故C 对；若1l 与曲线()g x 相切，切点为()22,C x y ，则()()211211e x l kf xg x x '==='=，即211e x x =，又()22,C x y 在()e x g x =上，所以22e x y =，所以211y x =，即121x y =，故D 对；故选：ACD【点睛】关键点点睛:根据导数的几何意义求出直线斜率，结合两直线平行和垂直的斜率关系进行判断各项.三､填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b满足(2,1,a b == ，且1a b ⋅=- ，则向量,a b 夹角的余弦值为__________.【答案】16-【解析】【分析】由向量的夹角和模长公式求解即可.【详解】因为(1,b = ，所以3b == ，所以向量,a b 夹角的余弦值为：11cos 236a b a b a b ⋅-⋅===-⨯⋅ .故答案为：16-.14.()6(2)1x y x --的展开式中43x y 的系数是__________.【答案】160【解析】【分析】根据二项式展开6(2)x y -，然后在与()1x -相乘，找到43x y 这一项即可.【详解】由于题目要求43x y 的系数，所以对于6(2)x y -的展开项中，没有43x y 这一项.所以只需要求出6(2)x y -的33x y 项在与()1x -相乘即可.()()333436C 2160x y x x y -⋅-=，故系数为160.故答案为:160.15.“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲乙两人相差10分钟坐上摩天轮，那么在摩天轮上，他们离地面高度差的绝对值的取值范围是__________.【答案】⎡⎣【解析】【分析】由已知设甲乙两人坐上摩天轮的时间分别为t ，10t +，得到甲乙两人坐上摩天轮转过的角度，分别列出甲乙离地面的高度1π8080cos 15h t =-，2π2π8080cos 153h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，然后得到12ππ153h h t ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，由t 的取值范围即可求解.【详解】设甲乙两人坐上摩天轮的时间分别为t ，10t +，则甲乙两人坐上摩天轮转过的角度分别为2ππ3015t t =，()2ππ2π1030153t t +=+，则甲距离地面的高度为1π8080cos15h t =-，乙距离地面的高度为2π2π8080cos 153h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则12ππ2π8080cos 8080cos 15153h h t t ⎛⎫-=--++ ⎪⎝⎭π2πππ2ππ2ππ80cos 80cos 80cos cos sin sin cos 1531515315315t t t t ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭3π3ππ1πππ80cos sin sin 21521515215153t t t t t ⎛⎫=--=+=+ ⎪⎝⎭因为030t ≤≤，所以ππ7π01533t ≤+≤，所以ππ0sin 1153t ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即12h h ⎡-∈⎣.故答案为：⎡⎣.16.用平面截圆锥面，可以截出椭圆､双曲线､抛物线，那它们是不是符合圆锥曲线的定义呢？比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1，在一个圆锥中放入两个球，使得它们都与圆锥面相切，一个平面过圆锥母线上的点P 且与两个球都相切，切点分别记为12,F F .这个平面截圆锥面得到交线,C M 是C 上任意一点，过点M 的母线与两个球分别相切于点,G H ，因此有12MF MF MG MH GH +=+=，而GH 是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线C 是一个椭圆.如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为43，球的半径为4，平面α与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于,A B 两点，记平面α与圆锥侧面相交所得曲线为C ，则曲线C 的离心率为__________.【答案】53##213【解析】【分析】根据矩形的性质求出1212O O F F =，由题意求出2110O O =，根据旦德林双球模型和双曲线定义可得126PF PF -=，求出a 、c 即可【详解】如图，,M N 是圆锥与球的切点，12,O O 是球心，P 是截口上任一点，连接12O O ，12,,O A O B 则12,O A AB O B AB ⊥⊥，所以124O A O B ==，12O A O B ，所以12O ABO 是矩形，12O O AB=连接112,O M O N ，则12,O M MN O N MN ⊥⊥，因为圆锥的母线与轴夹角的正切值为43，即14tan 3MOO ∠=，所以1144tan 33O MAOO OM OM OM ∠===⇒=，根据对称性得3ON =,所以6MN =，故两圆的公切线长为6连接PB ，PA ，OP ，设OP 与球1O 的切线交于K ，与球2O 的切线交于H ，则,PH PB PK PA ==，所以26PA PB HK MN a -====，得3a =，在1OO A △中，22119165OO O A OA =+=+=，所以1212210O O F F c ===，得5c =曲线C 的离心率为53c a =故答案为：53四､解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数()()2ln2ln f x x x x =+-.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）求()f x 的最大值.【答案】（1）()2e,∞+；（2）2e .【解析】【分析】（1）求导得()2e ln f x x='，令()0f x '<可求()f x 的单调递减区间；（2）由（1）易判断()f x 在()0,2e x ∈时单增，()f x 在()2e,x ∞∈+时单减，进而求出()max f x .【小问1详解】()2e 1ln2ln ln f x x x =+-='，令()0f x '<，得2e 01x<<，即2e x >，所以()f x 的单调递减区间为()2e,∞+；【小问2详解】当()0,2e x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增；当()2e,x ∞∈+时，()()0,f x f x '<单调递减，所以()()()2e 2ln22e 2eln2e 2e f x f ≤=+-=，即()f x 的最大值为2e .18.对于各项均不为零的数列{}n c ，我们定义：数列n k n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为数列{}n c 的“k -比分数列”.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，且{}n a 的“1-比分数列”与{}n b 的“2-比分数列”是同一个数列.（1）若{}n b 是公比为2的等比数列，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）若{}n b 是公差为2的等差数列，求n a .【答案】（1）()1413n n S =⨯-；（2）()21413n a n =⨯-.【解析】【分析】（1）利用已知求出通项公式，再求前n 项和即可.（2）利用累乘法求通项公式即可.【小问1详解】由题意知12n n n na b a b ++=，因为11b =，且{}n b 是公比为2的等比数列，所以14n na a +=，因为11a =，所以数列{}n a 首项为1，公比为4的等比数列，所以()()114141143n n n S ⨯-==⨯--；【小问2详解】因为11b =，且{}n b 是公差为2的等差数列，所以21n b n =-，所以122321n n n n a b n a b n +++==-，所以1212121215,,,23251n n n n a a a n n a n a n a ---+-===-- ，所以()()1212131n n n a a +-=⨯，因为11a =，所以()21413n a n =⨯-.19.如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边10AC =，ππ,34BAC DAC ∠∠==，BD 交AC 于点E.（1）求2BD ；（2）求AE .【答案】（1）50+；（2）5.【解析】【分析】（1）由锐角三角函数求出AB 、AD ，又ππ34BAD ∠=+，利用两角和的余弦公式求出cos BAD ∠，最后由余弦定理计算可得；（2）解法1：首先求出sin BAD ∠，再由ABD ABE ADE S S S =+ ，利用面积公式计算可得；解法2：首先得到33ABD BCD S AE EC S == ，再由10AE EC +=计算可得.【小问1详解】由已知，1cos 1052AB AC BAC ∠=⋅=⨯=，2cos 102AD AC DAC ∠=⋅=⨯=因为ππ34BAD BAC DAC BAC ∠=∠+∠=∠=+，所以ππππππcos cos cos cos sin sin 343434BAD ∠⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭122224=⨯-=，所以在ABD △中由余弦定理可得2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅⋅∠2550254=+-⨯⨯50=+.【小问2详解】解法1：因为ππππππ62sin sin sin cos cos sin 3434344BAD ∠+⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，又因为ABD ABE ADE S S S =+ ，所以111sin sin sin 222AB AD BAD AB AE BAE AE AD EAD ∠∠∠⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅，即162131255242222AE AE ⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯，解得5AE =.解法2：因为πBAD BCD ∠+∠=，所以()sin sin πsin BAD BCD BCD ∠=-∠=∠，又AD CD ==BC =所以11sin 5322113sin 22ABD BCD AB AD BAD BAD S AE EC S BC CD BCD BCD ∠∠∠∠⨯⋅⋅⨯⨯====⨯⋅⋅⨯ ，又因为10AC =，所以10AE EC +=，则10AE +=，所以5AE =.20.甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势，若投资期间经济形势好，投资有25%的收益率，若投资期间经济形势不好，投资有10%的损益率；如果不执行该投资计划，损失为1万元.现有两个方案，方案一：执行投资计划；方案二：聘请投资咨询公司乙分析投资期间的经济形势，聘请费用为5000元，若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好，则执行投资计划；若投资咨询公司乙预测投资期间经济形势不好，则不执行该计划.根据以往的资料表明，投资咨询公司乙预测不一定正确，投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势好的概率是0.8；投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势不好的概率是0.7.假设根据权威资料可以确定，投资期间经济形势好的概率是40%，经济形势不好的概率是60%.（1）求投资咨询公司乙预测投资期间经济形势好的概率；（2）根据获得利润的期望值的大小，甲公司应该执行哪个方案？说明理由.【答案】（1）0.5；（2）甲公司应该选择方案二，理由见解析【解析】【分析】（1）由全概率公式即可得解；（2）方案一服从两点分布，由此求出对应的概率可得期望；方案二有三种情况，分别算出相应的概率，结合期望公式算出期望，比较两个期望的大小即可得解.【小问1详解】记投资期间经济形势好为事件1B ，投资期间经济形势不好为事件2B ，投资咨询公司预测投资期间经济形势好为事件A ，则()()120.4,0.6P B P B ==，因此()()120.40.80.60.30.5P A P B A B A =+=⨯+⨯=；【小问2详解】若采取方案一，则该公司获得的利润值X 万元的分布列是X5020-P 0.40.6()500.4200.68E X =⨯-⨯=万元；若采取方案二：设该公司获得的利润值为Y 万元，有以下情况，投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势为好，49.5Y =，其发生的概率为：()10.40.80.32P B A =⨯=，投资期间经济形势好，咨询公司乙预测经济形势为不好， 1.5Y =-，其发生的概率为：()10.40.20.08P B A =⨯=，投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势为好，20.5Y =-，其发生的概率为：()20.60.30.18P B A =⨯=，投资期间经济形势不好，咨询公司乙预测经济形势为不好， 1.5Y =-，其发生的概率为：()20.60.70.42P B A =⨯=，因此，随机变量Y 的分布列为：Y20.5- 1.5-49.5P 0.180.50.32因此，()20.50.18 1.50.549.50.32 3.690.7515.8411.4E Y =-⨯-⨯+⨯=--+=万元，因为()()E X E Y <，所以甲公司应该选择方案二.21.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，π3ABC ∠=，已知E 为棱AD 的中点，P 在底面的投影H 为线段EC 的中点，M 是棱PC 上一点.（1）若2CM MP =，求证：//PE 平面MBD ；（2）若,PB EM PC EC ⊥=，确定点M 的位置，并求二面角B EM C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）M 为PC 中点，19.【解析】【分析】（1）根据角平分线性质定理得2CD CN DE NE==，由平行线分线段成比例定理得MN PE ，再由线面平行的判定可证；（2）利用线面垂直可得PH BC ⊥，进而得BC ⊥平面PEC ，由线面垂直得EM PC ⊥，然后根据等边三角形三线重合即得M 为PC 中点，以C 为原点，分别以,CB CE 为,x y 轴，以过C 点且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用公式cos ,n CB n CB n CB⋅=⋅ 求解即可【小问1详解】设BD CE N ⋂=，因为底面ABCD 是边长为2的菱形，所以CD AB =，对角线BD 平分ADC ∠，又E 为棱AD 的中点，所以2CD AB DE ==,在ADC △中，根据角平分线性质定理得2CN CD NE DE==，又2CM MP =，所以2CM MP =，所以2CN CM NE MP==，//MN ∴PE ，PE ⊄平面MBD ，且MN ⊂平面,//MBD PE ∴平面MBD .【小问2详解】PH ⊥Q 平面ABCD ，且BC ⊂平面ABCD ，PH BC ∴⊥，因为π3ABC ∠=，所以2π3BCD ∠=，在ACD 中，CD AB =，π3ABC ∠=，所以ACD 是等边三角形，又E 为棱AD 的中点，所以BC CE ⊥，PH ⊥Q 平面ABCD ，PH ⊂平面PCE ，所以平面PCE ⊥平面ABCD ，又平面PCE ⋂平面ABCD =CE ，BC ⊂平面ABCD ，BC ∴⊥平面PEC ，又EM ⊂平面PEC ，BC EM ∴⊥，又PB EM ⊥ ，,,PB BC B PB BC ⋂=⊂平面PBC ，EM ∴⊥平面PBC ，且PC ⊂平面PBC ，EM PC ∴⊥.因为P 在底面的投影H 为线段EC 的中点，所以PC PE =，又PC CE =所以PCE 为等边三角形，故M 为PC 中点，所以M 在底面ABCD 上的投影为CH 的中点.在CDE 中，CE ===3,22CE AD PH CE ⊥== ，以C 为原点，分别以,CB CE 为,x y 轴，以过C 点且与平面ABCD 垂直的直线为z 轴建立空间直角坐标系，所以()()()30,0,0,2,0,0,,0,,44C B E M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()3332,,0,44EB ME ⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设(),,n x y z = 是平面EBM的一个法向量，则02030044n EB x n ME y z ⎧⋅=⇒-=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩，令2y =，则x z ==，即2,n = ，BC ⊥ 平面PEC ，()2,0,0CB ∴= 是平面PEC的一个法向量，57cos ,19n CB n CB n CB ⋅∴==⋅ ，因为二面角B EM C --是一个锐角，所以二面角B EM C --的余弦值为19.【点睛】方法点睛：向量法求二面角的方法：首先设两个平面的法向量坐标，利用线面垂直得到线线垂直即向量的数量积为零列出方程组求出法向量坐标，把二面角转化为向量的夹角，利用公式cos ,n CB n CB n CB⋅=⋅ ，结合图形写出夹角或补角.22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，左右两顶点分别为12,A A ，过点()1,0C 作斜率为()110k k ≠的动直线与椭圆E 相交于,M N 两点.当11k =时，点1A 到直线MN 的距离为322.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点M 关于原点的对称点为P ，设直线1A P 与直线2A N 相交于点Q ，设直线OQ 的斜率为2k ，试探究21k k 是否为定值，若为定值，求出定值并说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）是定值32，理由见解析【解析】【分析】（1）由题意可得32c a =322=，解方程求出,a c ，再结合b =，即可得出答案.（2）设()()()112211,,,,,M x y N x y P x y --，直线AB 的方程为1x my =+，联立直线和椭圆方程，利用根与系数的关系、斜率公式即可求得21k k 为定值.【小问1详解】依题意可知32c e a ==，由于11k =，则直线MN 的方程为10x y --=，因为点1A 到直线MN 的距离为322.322=，解得2a =，所以c =1b ==，所以椭圆E 的标准方程2214x y +=.【小问2详解】设()()()112211,,,,,M x y N x y P x y --，直线AB 的方程为1x my =+.此时11k m =.联立直线与椭圆方程22144x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得()224230m y my ++-=，则有12122223,44m y y y y m m --+==++不妨设()00,Q x y ，因为2,,A N Q 三点共线，则22A N A Q k k =，所以则有020222y y x x =--，因为1,,A P Q 三点共线，则11A P A Q k k =则有010122y y x x =+-，所以0022110222011122212111,x x x my x my m m y y y y y y y y -+----===-===-20012222114422334mx m m m m y y y m -⎛⎫+=-+=-= ⎪-⎝⎭+，所以0032y x m =，所以232k m=，所以2132k k =，所以2132k k =.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．24。
广西柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题(柳州一模)(含答案)
广西柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题（柳州一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z =1+i ，则1z 的虚部为( )．A. −12B. 12C. −i2D. 12−i22.对于非零向量a ，b ，“a +b =0”是“a //b ”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知双曲线C:y 24−x 2m =1的一条渐近线方程为y =−2x ，则m =( )．A. 1B. 2C. 8D. 164.若过点(23,0)与圆x 2+y 2=4相切的两条直线的夹角为α，则cos α=( )．A.55B. 255C. 13D. 235.在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(−5,0)，(5,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49，则点M 的轨迹方程为( )．A. x 225−9y 2100=1(x ≠±5)B. x 225−3y 2100=1(x ≠±5)C. y 225−3x 2100=1(x ≠±5) D. y 225−9x 2100=1(x ≠±5)6.设函数f(x)=cos (ωx +π6)(ω>0)，已知f(x 1)=−1，f(x 2)=1，且|x 1−x 2|的最小值为π4，则ω=( )．A. 1B. 2C. 3D. 47.已知正四棱台ABCD−A 1B 1C 1D 1的体积为763，AB =2，A 1B 1=1，则AA 1与底面ABCD 所成角的正切值为( )．A.32B.3 C. 23 D. 48.设函数f(x)=x ln x−(a +b)ln x ，若f(x)≥0，则5a +5b 的最小值为( )．A. 1B. 2C.5D. 25二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
广西壮族自治区柳州市2025届高三第一次模拟考试数学试题
柳州市2025届高三第一次模拟考试数学（考试时间120分钟满分150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数1i z =+，则1z 的虚部为（）．A.12-B.12C.i2-D.1i 22-2.对于非零向量a ，b ，“0a b += ”是“//a b ”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知双曲线22:14y x C m-=的一条渐近线方程为y =，则m =（）A.1B.2C.8D.164.若过点()与圆224x y +=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A.5B.5C.13D.235.在平面直角坐标系中，点,A B 的坐标分别是()5,0-，()5,0，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49，则点M 的轨迹方程为（）．A.()2291525100x y x -=≠± B.()2231525100x y x -=≠±C.()2231525100y x x -=≠± D.()2291525100y x x -=≠±6.设函数()()πcos 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()11f x =-，()21f x =，且12x x -的最小值为π4，则ω=（）A.1B.2C.3D.47.已知正四棱台1111ABCD A B C D -的体积为3，2AB =，111A B =，则1AA 与底面ABCD 所成角的正切值为（）A.2B.C. D.48.设函数()()ln ln f x x x a b x =-+，若()0f x ≥，则55a b +的最小值为（）A.1B.2C.D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知随机变量X 服从正态分布，即()~3,9X N ，则（）．A.()27E X = B.()9D X =C.()()81P X P X ≥>≤- D.()()151P X P X ≤+≤=10.过抛物线E ：2=2p >0的焦点F 作倾斜角为θ的直线交E 于A ，B 两点，经过点A 和原点O 的直线交抛物线的准线于点D ，则下列说法正确的是（）．A.//BD OFB.OA OB⊥C.以AF 为直径的圆与y 轴相切D.22sin p AF BF θ=11.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()g x ，若函数()11y f x =+-是奇函数，函数()2y g x =+为偶函数，则下列说法错误的是（）A.()11f = B.()11g =C.()21y f x =+-为奇函数D.()202411012i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知2210x x +-=，则221x x +=_________．13.在83333x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为_________．14.如图，在44⨯的格子中，有一只蚂蚁从A 点爬到B 点，每次只能向右或向上移动一格，则从A 点爬到B 点的所有路径总数为_________，若蚂蚁只在下三角形（对角线AB 及以下的部分所围成的三角形）行走，则从A 点到B 点的所有总路径数为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c cos 2A A -=．（1）求A ；（2）若2a =sin sin2C c B =，求ABC V 的周长．16.如图，在圆锥PO 中，AC 为圆锥底面的直径，B 为底面圆周上一点，点D 在线段BC 上，24AC AB ==，2CD DB =．（1）证明：AD ⊥平面BOP ；（2）若圆锥PO 的侧面积为8π，求二面角O BP A --的正弦值．17.已知函数()1ln f x ax x a=--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．18.在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线2y =上一动点，椭圆E ：()222210+=>>x y a b a b的左右顶点分别为()M，)N，上、下顶点分别为()0,1T ，()0,1S -．若直线PT 交E 于另一点A ，直线PS 交E 于另一点B ．（1）求证：直线AB 过定点，并求出定点坐标；（2）求四边形ASBT 面积的最大值．19.某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了A 和B 两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位：千张）的折线图：（1）由折线图可看出，可用回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（2）假设每位顾客选择A 套餐的概率为13，选择B 套餐的概率为23，其中A 包含一张优惠券，B 套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n 张优惠券，设其概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()*n P n ∈N ，求数列{}n P 的最值．参考数据：7116.17i i y ==∑，7168.35i i i t y ==∑0.72= 2.646=参考公式：相关系数()()nii tty y r --=∑。
江苏省镇江市丹阳高级中学2025届高三上学期模拟一考试数学试题
江苏省镇江市丹阳高级中学2025届高三上学期模拟一考试数学试题一、单选题1．过点()2,1A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A ．1x y -=B ．3x y +=C ．20x y -=或3x y +=D ．20x y -=或1x y -=2．设公差0d ≠的等差数列{}n a 中，259,,a a a 成等比数列，则135147a a a a a a ++=++（ ）A ．1011B ．1110 C ．34D ．433．若两平行直线20(0)x y m m ++=>与260x ny --=，则m n +=（ ） A ．12-B ．2C ．0D ．2-4．已知圆C ：()()22349x y -+-=，直线l ：230mx y m +--=．则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（ ） A．BC．D5．已知直线l 的方程为1y kx =-，双曲线C 的方程为22 1.x y -=若直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点，则实数k 的取值范围是（ ） A．()1-B．⎡⎣C．(1)-⋃ D．(6．设数列 a n 的前n 项和为n S，若11n a +=，且11a =，则（ ） A ．55a <B ．510a >C ．1001000S >D ．10010000S <7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两焦点为12,,F F P 为其渐近线上一点，满足：1212,2PF PF PF PF ⊥=，则此双曲线的渐近线的方程为（ ）A ．32y x =±B ．23y x =±C ．43y x =±D ．34y x =?8．抛物线C ：2(0)y mx m =>的焦点为()40F ，，直线 l 经过点F ，交C 于A B ，两点，交y 轴于点P ，若2PB BF =u u u r u u u r，则错误的是（ ）A ．16m =B ．弦AB 的中点到y 轴的距离为133C ．503AB =D ．点B的坐标为83⎛ ⎝⎭二、多选题9．已知数列{}n a 是等比数列，则（ ） A ．数列{}2n a 是等比数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列C ．数列{}1n n a a ++是等比数列D ．数列{}2lg n a 是等比数列10．（多选）已知椭圆22:1259x y C +=，12,F F 分别为它的左右焦点，点,A B 分别为它的左右顶点，已知定点()4,2Q ，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）A ．存在点P ，使得12120F PF ∠=︒B ．直线PA 与直线PB 斜率乘积为定值C ．12125PF PF +有最小值185D ．1PQ PF +的范围为⎡⎤⎣⎦11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的两条互相垂直的直线12,l l 分别与抛物线C 交于点A ，B 和点D ，E ，其中点A ，D 在第一象限，过抛物线C 上一点()0,3P x 分别作12,l l 的垂线，垂足分别为M ，N ，O 为坐标原点，若274OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，则（ ） A ．抛物线C 的准线方程为32x =- B ．若3AF FB =u u u r u u u r ，则直线1l 的倾斜角为π3C ．四边形ADBE 的面积的最小值为64D ．四边形PMFN的周长的最大值为三、填空题12．设等差数列 a n 的前n 项和为n S ，若10331035,7S S a a -=+=，则 a n 的公差． 13．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的上顶点为B ，两个焦点为1F ，2F ，线段2BF 的垂直平分线过点1F ，则椭圆的离心率为．14．已知椭圆22221y x a b +=（0a b >>）的长轴长为4.若A ，B 分别是椭圆的上、下顶点，1F ，2F 分别为椭圆的上、下焦点，P 为椭圆上任意一点，且12PA PB ⋅=-u u u r u u u r ，则12PF F V 的面积为.四、解答题15．已知数列{}n a 满足11a =，1,4,n n n a n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，写出1b ，2b ，证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； (2)求{}n a 的前20项和． 16．已知圆O ：22 4.x y +=(1)过圆外一点()21P ，引圆的切线，求切线方程； (2)设点P 是直线1:40l x y -+=上的一点，过点P 作圆的切线，切点是M ，求OPM ∆的面积最小值以及此时点P 的坐标．17．已知双曲线22:14x C y -=，(),2M m ，斜率为k 的直线l 过点M .(1)若0m =，且直线l 与双曲线C 只有一个公共点，求k 的值；(2)双曲线C 上有一点P ，12F PF ∠的夹角为120︒，求三角形12PF F 的面积.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y a bC a b =>>+的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，连接BF 并延长交椭圆C 于点椭圆P ． (1)若85,P ⎛ ⎝⎭，16||5BP =，求椭圆C 的方程; (2)若直线AB 与直线AP 的斜率之比是-2，证明：BO FAPFS S V V 为定值，并求出定值． 19．已知抛物线Γ：24y x =，在Γ上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为(0)a a >． (1)若A 到抛物线Γ准线的距离为3，求a 的值；(2)当4a =时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线Γ上，求O 到直线AB 的距离； (3)直线l ：3x =-，抛物线上有一异于点A 的动点P ，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交点为.Q 若在P 的位置变化过程中，4HQ >恒成立，求a 的取值范围．。
2024届湖南省长沙市长郡中学高三一模数学试题及答案
长郡中学2024届高三模拟考试（一）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知双曲线22124x y -=，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.y x =± B.2y x=±C.y x =D.y =2.为了了解学生们的身体状况，某学校决定采用分层抽样的方法，从高一､高二､高三三个年级共抽取100人进行各项指标测试.人，高二年级有700人，高一年级有800人，则高三年级抽取的人数为（）A.30 B.25 C.20 D.153.若()3sin π4cos 0αα--=，则1cos2α-=（）A.725 B.1825 C.2725 D.32254.古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（）A.413B.427C.308D.1335.621(1)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 项的系数为（ ）A.20 B.-20 C.30 D.-306.“会圆术”是我国古代计算圆弧长度的方法，它是我国古代科技史上的杰作，如图所示 AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥，则 AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA=+.利用上述公式解决如下问题：现有一自动伞在空中受人的体重影响，自然缓慢下降，伞面与人体恰好可以抽象成伞面的曲线在以人体为圆心的圆上的一段圆弧，若伞打开后绳长为6米，该圆弧所对的圆心角为60 ，则伞的弧长大约为（ ）)1.7≈A.5.3米B.6.3米C.8.3米D.11.3米7.函数()()32,f x ax ax bx a b =-+∈R 有3个零点的充分不必要条件是（）A.0a ≠，且4a b > B.0a >，且4a b<C.0a <，且4,0a b b >≠D.0a <，且4,0a b b <≠8.已知实数,a b 分别满足()e 1.02,ln 10.02a b =+=，且151c =，则（ ）A.a b c <<B.b a c <<C.b c a <<D.c a b <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知i 为虚数单位，复数z = ）A.z =B.复数z 在复平面内对应的点位于第四象限C.3i 05z -<D.15z +为纯虚数10.已知函数()()tan (0,0π)f x A x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则（ ）A.π6A ωϕ⋅⋅=B.()f x 的图象过点11π6⎛ ⎝C.函数()y f x =的图象关于直线5π3x =对称D.若函数()()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则实数λ的取值范围是[]1,1-11.小郡玩一种跳棋游戏，一个箱子中装有大小质地均相同的且标有110~的10个小球，每次随机抽取一个小球并放回，规定：若每次抽取号码小于或等于5的小球，则前进1步，若每次抽取号码大于5的小球，则前进2步.每次抽取小球互不影响，记小郡一共前进n 步的概率为n p ，则下列说法正确的是（ ）A.214p =B.()1211322n n n p p p n --=+…C.()11122n n p p n -=-…D.小华一共前进3步的概率最大三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){}{}2N log 1,2,1,1,2,3,4A x y x B =∈=-=--∣，则A B ⋂的真子集的个数为__________.13.已知O 为坐标原点，()()()121,0,1,0,0,3F F Q -，向量()1,2m =- ，动点P 满足PQ ∥m，写出一个a ，使得有且只有一个点P 同时满足122(01)PF PF a a -=<<，则a =__________.14.如图是一个球形围墙灯，该灯的底座可以近似看作正四棱台.球形灯与底座刚好相切，切点为正四棱台上底面中心，且球形灯内切于底座四棱台的外接球.若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为2，侧棱长为，则球形灯半径r 与正四棱台外接球半径R 的比值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2,,AB E H =分别是棱1111,A B A D 的中点，1AE CD ⊥.（1）求正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积；（2）求平面AEH 与平面11CB D 所成锐二面角的余弦值.16.（本小题满分15分）机器人一般是指自动控制机器（Robot ）的俗称，自动控制机器包括一切模拟人类行为或思想与模拟其他生物的机械，用以取代或协助人类工作.机器人一般由执行机构､驱动装置检测装置､控制系统和复杂机械等组成.某大学机器人研究小组研发了A 型､B 型两款火场救人的机器人，为检验其效能做下列试验：如图，一正方形复杂房间有三个同样形状､大小的出口123､､，其中只有一个是打开的，另外两个是关闭的，房间的中心O 为机器人的出发点，A 型､B 型两个机器人别从出发点出发沿路线123､､任选一条寻找打开的出口，找到后沿打开的出口离开房间；如果找到的出口是关闭的，则按原路线返回到出发点，继续重新寻找.A 型机器人是没有记忆的，它在出发点选择各个出口是等可能的，B 型机器人是有记忆的，它在出发点选择各个出口的尝试不多于一次，且每次选哪个出口是等可能的.以X 表示A 型机器人为了离开房间尝试的次数，以Y 表示B 型机器人为了离开房间尝试的次数.（1）试求离散型随机变量Y 的分布列和期望；（2）求X Y <的概率.17.（本小题满分15分）对于数列{}n a ，如果存在正整数T ，使得对任意()*n n ∈N ，都有n T n a a +=，那么数列{}n a 就叫做周期数列，T 叫做这个数列的周期.若周期数列{}{},n n b c 满足：存在正整数k ，对每一个()*,i i k i ∈N …，都有i i b c =，我们称数列{}n b 和{}n c 为“同根数列”.（1）判断数列121,1sin π3,2,3n n n n n a n b n b b n --=⎧⎪===⎨⎪-≥⎩､是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；（2）若{}n a 和{}n b 是“同根数列”，且周期的最小值分别是2m +和()*4m m +∈N，求k 的最大值.18.（本小题满分17分）已知抛物线2:2C y x =的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点P ，过点P 的直线与C 交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧）.（1）若点A 是线段PB 的中点，求点A 的坐标；（2）若直线AF 与C 交于点D ，记BDP 内切的半径为r ，求r 的取值范围.19.（本小题满分17分）黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一.它与函数()1(0,1,1s x x f x x s s e -=>>-为常数）密切相关，请解决下列问题：（1）当12s <…时，讨论()f x 的单调性；（2）当2s >时，①证明：()f x 有唯一极值点；②记()f x 的唯一极值点为()g s ，讨论()g s 的单调性，并证明你的结论.长郡中学2024届高三模拟考试（一）数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.B3.D4.A5.C6.B7.D8.D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ABC 10.BCD 11.BC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.7四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）连接1BA ，因为BC ∥1111,D A BC D A =，所以四边形11BCD A 1CD ∥1BA ，因为1AE CD ⊥，所以1AE BA ⊥.因为111190,90AA B A AE A AE A EA ∠∠∠∠+=+=，所以11AA B A EA ∠∠=，所以11BAA AA E ~ ，所以111A E AA AA AB=，所以211122AA A E AB =⋅=⨯=，所以1AA =.所以正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积1V AB AD AA =⨯⨯=.（2）以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()((()(12,0,0,,,0,2,0,2,A E H C B，(1D 设平面AEH 的法向量为(),,m x y z =，()(,AE AH ==- ，则00,00m AE y m AH x ⎧⎧⋅==⎪⎪⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩ ，令1z =，则x y ==则平面AEH的法向量为)m =.设平面11CB D 的法向量为()111,,n x y z =，((11,0,CB CD ==- ，则111111020,020n CB x n CD y ⎧⎧⋅==⎪⎪⎨⎨⋅=-=⎪⎪⎩⎩ ，令11y =，则111z x ==-，则平面11CB D的法向量为(n =-.cos ,m n ∴〈〉 .所以平面AEH 与平面11CB D.16.【解析】（1）Y 的可能取值为123､､，()113P Y ==，()2112323P Y ==⨯=，()21131323P Y ==⨯⨯=，所以Y 的分布列为Y123P 131313()1111232333E Y =⨯+⨯+⨯=.（2）()113P X ==，()2122339P X ==⨯=，则()()()()()()()121323P X Y P X P Y P X P Y P X P Y <==⨯=+=⨯=+=⨯=111121833339327=⨯+⨯+⨯=.17.【解析】（1）{}{}n n a b ､均是周期数列，理由如下：因为()1sin 1π0sin n n a n n a +=+===，所以数列{}n a 是周期数列，其周期为1（或任意正整数）.因为32111n n n n n n n b b b b b b b +++++=-=--=-，所以63n n n b b b ++=-=.所以数列{}n b 是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）.（2）当m 是奇数时，首先证明25k m +…不存在数列满足条件.假设25k m +…，即对于125i m +……，都有i i a b =.因为()54m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24454t t t a b a t m ---==≤≤+，即1352m a a a a +==== ，及2461m a a a a +==== .又5t m =+时，()12511221m m m m a a b b a +++++====，所以1n n a a +=，与1T 的最小值是2m +矛盾.其次证明24k m =+存在数列满足条件.取()()231,211212,212m l i m i k k a l m i k k ++⎧+⎛⎫=-≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=∈⎨+⎛⎫⎪=≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩N 及()()431,211212,21,21,32,4m l i m i k k m i k k l b i m i m ++⎧+⎛⎫=-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪+⎛⎫=≤≤∈=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=+⎪=+⎩N 对于124i m +……，都有i i a b =.当m 是偶数时，首先证明24k m +…时不存在数列满足条件.假设24k m +…，即对于124i m +……，都有i i a b =.因为()53m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24453t t t a b a t m ---==≤≤+，即1351m a a a a +==== ，及246m a a a a ==== .又4t m =+时，2m m m a b a +==，所以2n n a a +=，与1T 的最小值是2m +矛盾.其次证明23k m =+时存在数列满足条件.取()()221,21122,2123,2m l i m i k k m a i k k l i m ++⎧+⎛⎫=-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫==≤≤∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=+⎪⎩N及(4)21,21122,21()23,21,32,4m l i m i k k m i k k b l i m i m i m ++⎧+⎛⎫=-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=≤≤⎪ ⎪=∈⎝⎭⎨⎪=+⎪=+⎪⎪=+⎩N 对于123i m +……，都有i i a b =.综上，当m 是奇数时，k 的最大值为24m +；当m 是偶数时，k 的最大值为23m +.18.【解析】（1）由题意知1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设点()00,A x y ，因为点A 是线段PB 的中点，所以0012,22B x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又点,A B 都在抛物线C 上，所以200200214222y x y x ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得001,4x y ±==，所以点A的坐标为14⎛ ⎝或1,4⎛ ⎝.（2）由题意可知直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为()()11221,0,,,,2y k x k A x y B x y ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，由点A 在点B 的左侧，则120x x <<，设()33,D x y ，直线BD 与x 轴交于点E ，联立2122y k x y x ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()2222204k k x k x +-+=，由()2242Δ2440k k k =--=->，得11,0k k -<<≠，21212221,4k x x x x k -+==，所以12102x x <<<，所以直线AF 的斜率存在，由题可得1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AF 的方程为111122y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，与22y x =联立得，22222111111122024y x y x x x y ⎛⎫-+-++= ⎪⎝⎭，化简得221111122022x x x x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，解得114x x =或1x x =，因为直线AF 的斜率存在，所以32114x x x ==，所以BD x ⊥轴.所以2211222BDP S x y ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，BDP的周长为22y +，所以22211122222BDP S y r x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以r ==令212t x =+，则1r t =>，因为22111,,21y x y y x x x-====-在()1,∞+上均单调递减，所以21121y x x=+-在()1,∞+上单调递减，则1y x=在()1,∞+上单调递减，所以r =()1,∞+上单调递增，所以1r >=-，所以r 的取值范围为)1,∞-+.19.【解析】（1）()()()()()()()()()()2212222111111111s x x s x s xs x x x x x s e xe s x e x e x s x e s f x ee e ----'⎡⎤---⎡⎤-------⎣⎦⎣⎦===---，令()()()11,12x x s x e s s ϕ=----<≤，()()2x x s x e ϕ=--'，当12s <≤时，()()20x x s x e ϕ'=--<()x ϕ在区间()0,∞+上单调递减，又()()0110s s ϕ=---=，所以，当0x >时，()0x ϕ<，即()0f x '<，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.（2）①（1）得：()()()()22111s x x x s x e s f x e -'⎡⎤----⎣⎦=-，令()()()()()11,(2),2x x x s x e s s x s x eϕϕ=------'>=令()0x ϕ'=，可得：2x s =-，依题意：20s ->当02x s <<-时，()0x ϕ'>，当2x s >-时，()0x ϕ'<，所以()x ϕ在()0,2s -上单调递增，在()2,s ∞-+上单调递减；又()00ϕ=，所以()20s ϕ->，又因为()()110s s ϕ-=--<所以，存在唯一()()002,1,0x s s x ϕ∈--=，当00x x <<时，()0f x '>，当0x x >时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x ∞+上单调递减；所以，()f x 存在唯一极大值点0x ，且()02,1x s s ∈--.②结论：()s ξ在()2,∞+上单调递增.证明：由（1）知：当2s >时，()f x 存在唯一极大值点，任意(),2,s t ∞∈+，且s t <，依题意：()11s x x f x e -=-的极大值点为()s ξ，记为1x ；()11t x x f x e -=-的极大值点为()t ξ，记为2x ；则1x 为()()()111xx s x e s ϕ=----的零点，2x 为()()()211x x t x e t ϕ=----的零点，则()()()()()()12111222110110x x x s x e s x t x e t ϕϕ⎧=----=⎪⎨=----=⎪⎩，由①知：()()122,1,2,1x s s x t t ∈--∈--由()()()1111110x x s x e s ϕ=----=得：1111x s e s x -=--()()()()()()()()()112111111111111111t s x s s t t x s x t x t s x s x ϕ-------+--=----=----()()()111111111t x x s t s x s x s x ----==----，由于()12,1,x s s s t ∈--<，所以()()121101t s x x s x ϕ-=>--.根据①的分析可知，()()2221,,0x x x ∞ϕ∈+=，即12x x <，即()()s t ξξ<所以()s ξ在()2,∞+上单调递增.。
浙江省温州市2024届高三第一次模拟考试数学试题含答案
浙江省温州2024届高三第一次模拟考试数学学科（答案在最后）一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则复数1i1i +-的虚部为（）A.i - B.iC.0D.1【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算，得到复数的代数形式，由此求得复数的虚部.【详解】因为()()21i (1i)2ii 1i 1i 1i 2++===-+-，所以虚部为1.故选：D ．2.某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（）A.93B.93.5C.94D.94.5【答案】B 【解析】【分析】利用百分位数的定义即可得解.【详解】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为1080%8⨯=，所以这组数据的80%分位数第8个数与第9个数的平均值，即939493.52+=.故选：B.3.已知直线:2l y x b =+与圆()()22:235C x y ++-=有公共点，则b 的取值范围为（）A.[]2,12 B.(][),212,∞∞-⋃+C.[]4,6- D.(][),46,-∞-+∞ 【答案】A 【解析】【分析】由圆心到直线距离小于等于半径，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得，圆心()2,3-到直线:2l y x b =+的距离≤，解得212b ≤≤，故b 的取值范围是[]2,12.故选：A4.三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，且3AB =，2PA =，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.8πB.16πC.32π3D.12π【答案】B 【解析】【分析】首先作图构造外接球的球心，再根据几何关系求外接球的半径，最后代入三棱锥外接球的表面积公式.【详解】如图，点H 为ABC 外接圆的圆心，过点H 作平面ABC 的垂线，点D 为PA 的中点，过点D 作线段PA 的垂线，所作两条垂线交于点O ，则点O 为三棱锥外接球的球心，因为PA ⊥平面ABC ，且ABC 为等边三角形，2,3PA AB ==，所以四边形AHOD 为矩形，3AH AB ==112OH PA ==，所以2OA ==，即三棱锥外接球的半径2R =，则该三棱锥外接球的表面积为24π16πR =.故选：B5.已知等比数列{}n a 的首项11a >，公比为q ，记12n n T a a a =⋅⋅⋅（*n ∈N ），则“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，结合等差数列的前n 项和公式、充分性和必要性的定义进行判断即可.【详解】由题意，()()1123(1)1121211110n n n nn n n n a a q a q aT qa qa a a a --+++-=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅>= ，(1)12111(1)21n n n nn n n n nT a q a q T a q +++-⋅==⋅⋅，当11,01a q ><<时，11na q ⋅<对于N n *∈不一定恒成立，例如122,3a q ==；当{}n T 为递减数列时，0q >且11na q ⋅<对于N n *∈恒成立，又因为11a >，所以得01q <<，因此“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的必要不充分条件，故选：C.6.已知函数()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中0ω>.若()f x 在区间π3π,34⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B.35,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.(]0,1【答案】A 【解析】【分析】利用余弦函数的单调性求出()π4f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增区间，可得3π2ππ4,3π2π3π4,4k k ωω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解不等式即可得出答案.【详解】由题意得，函数()f x 的增区间为()ππ2π2π4k x k k ω-+≤-≤∈Z ，且0ω>，解得()3ππ2π2π44k k x k ωω-++≤≤∈Z .由题意可知：()3ππ2π2ππ3π44,,34k k k ωω⎛⎫-++ ⎪⎛⎫⊆∈⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭Z .于是3π2ππ43π2π3π44k k ωω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解得()9186433k k k ω-+≤≤+∈Z .又0ω>，于是103ω<≤.故选：A .7.在直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，//DC AB ，1AD DC ==，=2AB ，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，点P 在以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DEM 上变动（如图所示），若AP ED AF λμ=+，其中,R λμ∈，则2λμ-的取值范围是（）A.⎡⎤⎣⎦B.⎡⎣C.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.,22⎡-⎢⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】结合题意建立直角坐标系，得到各点的坐标，再由AP ED AF λμ=+ 得到3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+，从而得到2π4αλμ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由此可求得2λμ-的取值范围.【详解】结合题意建立直角坐标，如图所示：.则()0,0A ，()1,0E ，()0,1D ，()1,1C ，()2,0B ，()ππcos ,sin 22P ααα⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，则31,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()cos ,sin AP αα=，()1,1ED =- ，31,22AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，∵AP ED AF λμ=+ ，∴()()3131cos ,sin 1,1,,2222ααλμλμλμ⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴3cos 2αλμ=-+，1sin 2αλμ=+，∴()13sin cos 4λαα=-，()1cos sin 2μαα=+，∴()()11π23sin cos cos sin sin cos 224λμααααααα⎛⎫-=--+=-=- ⎪⎝⎭，∵ππ22α-≤≤，∴3πππ444α-≤-≤，∴π1sin 42α⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，∴π14α⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，故21λμ≤-≤，即()2λμ⎡⎤⎣⎦-∈.故选：A.8.已知lg4lg5lg610,9,8a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c >>B.a c b>> C.b c a>> D.c b a>>【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得lg lg4lg10,lg lg5lg9,lg lg6lg8a b c =⋅=⋅=⋅，构建函数()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，利用导数分析可知()f x 在[]4,6上单调递增，进而结合对数函数单调性分析判断.【详解】因为lg4lg5lg610,9,8a b c ===，两边取对数得：lg lg4lg10,lg lg5lg9,lg lg6lg8a b c =⋅=⋅=⋅，令()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，则()()()()()()lg 1414lg 14lg lg 1ln1014ln10ln1014x x x x x x f x x x x x ⎡⎤----⋅=-=⎢⎥-⋅-⎢⎥⎣⎦'，令()lg g x x x =⋅，则()()()()1lg lg lg 0,1,ln10g x x x x x x x '=⋅+⋅=+>∈''+∞，可知()g x 在()1,+∞上单调递增，因为46x ≤≤，则81410x ≤-≤，可知14x x ->恒成立，则()()14g x g x ->，即()()140g x g x -->，可得()0f x ¢>，则()()lg lg 14f x x x =⋅-在[]4,6上单调递增，可得()()()456f f f <<，可得lg4lg10lg5lg9lg6lg8⋅<⋅<⋅，即lg lg lg a b c <<，又因为lg y x =在()0,∞+上单调递增，所以a b c <<.故选：D.【点睛】关键点睛：对题中式子整理观察形式，构建函数()()lg lg 14,46f x x x x =⋅-≤≤，利用导数判断其单调性.二、多选题：本大题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.下列选项中，与“11x>”互为充要条件的是（）A.1x <B.20.50.5log log x x >C.233x x< D.()()11x x x x -=-【答案】BC 【解析】【分析】求解各不等式判断即可.【详解】对A ，11x>则110x ->，即10xx ->，()10x x -<，解得01x <<，故A 错误；对B ，20.50.5log log x x >则20x x <<，故()10x x -<，解得01x <<，故B 正确；对C ，233x x <则2x x <，解得01x <<，故C 正确；对D ，()()11x x x x -=-，则()10x x -≤，解得01x ≤≤，故D 错误.故选：BC10.设A ，B 是一次随机试验中的两个事件，且1(3P A =，1()4P B =，7()12P AB AB +=，则（）A.A ，B 相互独立B.5()6P A B +=C.()13P B A =D.()()P A B P B A≠【答案】ABD【解析】【分析】利用独立事件、对立事件、互斥事件的定义与概率公式可判定A 、B ，利用条件概率的定义与公式可判定C 、D .【详解】由题意可知()()()23()1,134P A P A P B P B =-==-=，事件,AB AB 互斥，且()()()()()(),P AB P AB P A P AB P AB P B +=+=，所以()()()()()7()212P AB AB P AB P AB P A P B P AB +=+=+-=，即()()()()2171234126P AB P AB P A P B +-=⇒==，故A 正确；则()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B+=+-=+-⋅1313534346=+-⨯=，故B 正确；由条件概率公式可知：()()()11162433P AB P B A P A ===≠，故C 错误；()()()()()()11146134P AB P B P AB P A B P B P B --====，()()()()()()21336243P BA P A P AB P B A P A P A --====即()()P A B P B A ≠，故D 正确.故选：ABD11.在三棱锥-P ABC 中，ACBC ⊥，4AC BC ==，D 是棱AC 的中点，E 是棱AB 上一点，2PD PE ==，AC ⊥平面PDE ，则（）A.//DE 平面PBCB.平面PAC ⊥平面PDEC.点P 到底面ABC 的距离为2D.二面角D PB E --的正弦值为7【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理可判断A ；根据面面垂直的判定定理可判断B ；取DE 的中点O ，过点O 作OF DE ⊥交BC 于点F ，利用线面垂直的判定定理可得PO ⊥平面ABC ，求出PO 可判断C ；以{},,OE OF OP为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面PBD 、平面PBD 的一个法向量，由线面角的向量求法可判断D ．【详解】对于A ，因为AC ⊥平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，所以AC DE ⊥．因为AC BC ⊥，且直线,,AC BC DE ⊂平面ABC ，所以//DE BC ．因为DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//DE 平面PBC ，A 正确；对于B ，AC ⊥平面PDE ，AC ⊂平面PAC ，所以平面PDE ⊥平面PAC ，B 正确；对于C ，取DE 的中点O ，连接PO ，过点O 作OF DE ⊥交BC 于点F ，因为PD PE =，所以PO DE ⊥．因为AC ⊥平面PDE ，PO ⊂平面PDE ，所以AC PO ⊥，因为DE AC D ⋂=，DE ，AC ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC，PO =，C 错误；对于D ，如图，以{},,OE OF OP为正交基底建立空间直角坐标系，因为D 是AC 的中点，4AC BC ==，所以()()()()0,0,0,3,2,0,1,0,0,1,0,0O B E D -，因为2PD PE ==，所以PO =，即(P ，所以()((()4,2,0,1,0,,1,0,,2,2,0DB DP EP EB ===-=，设平面PBD 的一个法向量()111,,m x y z =，则00m DB m DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11114200x y x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =111y z =-=-，所以平面PBD的一个法向量)1m =--，设平面PBE 的一个法向量()222,,n x y z = ，则0n EB n EP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222200x y x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令2x =，得221y z ==，所以平面PBE的一个法向量)n =，所以1cos ,7m nm n m n-⨯-⋅== ，设二面角D PB E--为[],0,πθθ∈，所以21sin 7θ==，所以二面角D PB E --的正弦值为7，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】方法点睛：二面角的通常求法，1、由定义作出二面角的平面角；2、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角；3、利用向量法求二面角的平面.12.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，直线():2200l x ay b a -+=≠与C 的准线1l ，交于点A ．已知l 与C 相切，切点为B ，直线BF 与C 的一个交点为D ，则（）A.点(),a b 在C 上B.BAF AFB∠<∠C.以BF 为直径的圆与1l 相离 D.直线AD 与C 相切【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，联立直线l 与抛物线方程，根据根的判别式得到点(),b a 在C 上；B 选项，作出辅助线，结合抛物线定义得到相等关系，再由大边对大角作出判断；C 选项，证明出以BF 为直径的圆与y 轴相切，得到C 正确；D 选项，设出直线BD 方程，与抛物线方程联立求出D 点坐标，从而求出直线AD 方程，联立抛物线，根据根的判别式得到答案.【详解】对于A ，联立直线l 与C 的方程，消去x 得2240y ay b -+=，因为l 与C 相切，所以2Δ4160a b =-=，即24a b =，所以点(),b a 在C 上，A 错误．对于B ，过点B 作BM 垂直于C 的准线，垂足为M ，由抛物线定义知BF BM =，因为0a ≠，所以AB BM >，所以在ABF △中，AB BF >，由大边对大角得BAFAFB ∠<∠，B 正确．对于C ，()1,0F ，由A 选项l 与C 相切，切点为B ，可得(),B b a ，其中24a b =，则BF 的中点坐标为1,22b a +⎛⎫⎪⎝⎭，且()221BF b a =-+()()22211412b a b bb -+-++==，由于半径等于以BF 为直径的圆的圆心横坐标，故以BF 为直径的圆与y 轴相切，所以与1l 相离，C 正确；对于D ，设直线BD 方程为11b x y a -=+，与C 联立得()24140b y y a ---=，所以4D a y ⋅=-，解得4D y a=-，则21144111D D b b x y a a a a b --⎛⎫=+=⋅-+== ⎪⎝⎭，因为221,b A a -⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线AD 方程为22b y x a a=--，联立直线AD 与曲线C 的方程得2240by ay ++=，因为2Δ4160a b '=-=，所以直线AD 与C 相切，D 正确．故选：BCD ．【点睛】抛物线的相关结论，22y px =中，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则以,AF BF 为直径的圆与y 轴相切，以AB 为直径的圆与准线相切；22x py =中，过焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，则以,AF BF 为直径的圆与x 轴相切，以AB 为直径的圆与准线相切.三、填空题：本大题共4小题13.已知:31p x -≤≤，:q x a £（a 为实数）．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是________.【答案】[)1,+∞【解析】【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解.【详解】因为q 的一个充分不必要条件是p ，所以[3,1]-是(],a -∞的一个真子集，则1a ≥，即实数a 的取值范围是[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.14.已知正项数列{}n a 满足121n n n a a n +=+，则106a a =_______.【答案】485【解析】【分析】由递推公式可得121n n a n a n +=+，再由累乘法即可求得结果.【详解】由121n n n a a n +=+可得121n na n a n +=+，由累乘可得9101879870662928272648918171615a a a a a a a a a a ⨯⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=++++.故答案为：48515.直三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，AC BC ⊥，6AC =，8BC =，14AA =．若平面α将该直三棱柱111ABC A B C -截成两部分，将两部分几何体组成一个平行六面体，且该平行六面体内接于球，则此外接球表面积的最大值为______．【答案】104π【解析】【分析】α可能是AC 的中垂面，BC 的中垂面，1AA 的中垂面.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体,用公式求出外接球直径进而求解.【详解】平行六面体内接于球，则平行六面体为直四棱柱，如图α有如下三种可能.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体，则222238489R =++=或222264468R =++=或2222682104R =++=，所以2max 4π104πS R ==．故答案为：104π16.对任意(1,)x ∈+∞，函数()ln ln(1)0(1)x f x a a a x a =--≥>恒成立，则a 的取值范围为___________．【答案】1e e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】变形为()()11ln 1ln 1x x aa x x --≥--，构造()ln ,0F t t t t =>，求导得到单调性进而11x a ->恒成立，故()10x F a->，分当(]10,1x -∈和11x ->两种情况，结合()ln u g u u =单调性和最值，得到1e e a ≥，得到答案.【详解】由题意得1ln ln(1)x a a x -≥-，因为(1,)x ∈+∞，所以()()()11ln 1ln 1x x aa x x --≥--，即()()11ln 1ln 1x x a a x x --≥--，令()ln ,0F t t t t =>，则()()11x F aF x -≥-恒成立，因为()1ln F t t ='+，令()0F t '>得，1e t ->，()ln F t t t =单调递增，令()0F t '<得，10e t -<<，()ln F t t t =单调递减，且当01t <≤时，()0F t ≤恒成立，当1t >时，()0F t >恒成立，因为1,1a x >>，所以11x a ->恒成立，故()10x F a ->，当(]10,1x -∈时，()10F x -≤，此时满足()()11x F a F x -≥-恒成立，当11x ->，即2x >时，由于()ln F t t t =在()1e ,t ∞-∈+上单调递增，由()()11x F a F x -≥-得()1ln 11ln 1x x a x a x --≥-⇒≥-，令11u x =->，()ln u g u u =，则()21ln u g u u -'=，当()1,e u ∈时，()0g u '>，()ln u g u u =单调递增，当()e,+u ∞∈时，()0g u '<，()ln u g u u =单调递减，故()ln u g u u =在e u =处取得极大值，也是最大值，()ln e 1e e eg ==，故1ln e a ≥，即1e e a ≥，所以，a 的取值范围是1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：1e e ,∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本题难点是1ln ln(1)x a a x -≥-两边同时乘以1x -，变形得到()()11ln 1ln 1x x a a x x --≥--，从而构造()ln ,0F t t t t =>进行求解.四、解答题：木大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a c b ac +-=，a =cos 3A =.（1）求角B 及边b 的值；（2）求sin(2)A B -的值.【答案】（1）π3B =，94b =（2【解析】【分析】（1）由余弦定理得到π3B =，求出2sin 3A =，由正弦定理得到94b =；（2）由二倍角公式求出sin 2,cos 2A A ，由差角公式求出答案.【小问1详解】因为222a cb ac +-=，由余弦定理得2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =，因为()0,πA ∈，cos 3A =，所以2sin 3A ==，由正弦定理得sin sin a b A B =，即232=94b =；【小问2详解】由（1）得2sin 22sin cos 2339A A A ==⨯⨯=，2251cos 22cos 12139A A ⎛=-=⨯-= ⎝⎭，8sin(2)sin 2cos cos 2s 11929i 1n 2A B A B A B -=-=⨯-⨯=.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11n n n n a b a a ++=，其前n 项和为n T ，求使得20232024n T >成立的n 的最小值．【答案】（1）21n n a =-；（2）10.【解析】【分析】（1）根据,n n a S 关系及递推式可得112(1)n n a a -+=+，结合等比数列定义写出通项公式，即可得结果；（2）应用裂项相消法求n T ，由不等式能成立及指数函数性质求得10n ≥，即可得结果.【小问1详解】当2n ≥时，111(2)(21)2()1n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=---+=--，所以121n n a a -=+，则112(1)n n a a -+=+，而1111211a S a a ==-⇒=，所以112a +=，故{1}n a +是首项、公比都为2的等比数列，所以12nn a +=⇒21n n a =-.【小问2详解】由1111211(21)(21)2121n n n n n n n n n a b a a ++++===-----，所以111111111111337715212121n n n n T ++=-+-+-++-=---- ，要使1202324112102n n T +>=--，即111202520211422n n ++>-<⇒，由1011220252<<且*N n ∈，则11110n n +≥⇒≥.所以使得20232024n T >成立的n 的最小值为10.19.如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 作平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132OA =．（1）求证：11B C ⊥平面OAH ；（2）求二面角111O A B C --的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理结线面平行的判定可得EF ∥平面OBC ，再由线面平行的性质可得EF ∥11B C ，由等腰三角形的性质可得AH ⊥EF ，从而可得AH ⊥11B C ，再由已知可得OA ⊥平面OBC ，则OA ⊥11B C ，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N ，则由已知条件可证得11A B ⊥平面1OC N ，从而可得1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角，过E 作EM ⊥1OB 于M ，则可得EM ∥OA ，设1OB x =，然后利用平行线分线段成比例定理结合已知条件可求得x ，在11R t OA B 中可求出11A B 的长，从而可求得ON ，进而可直角三角形1OC N 中可求得结果.【详解】（1）证明：因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以EF 是ABC 的中位线，所以EF ∥BC ，因为EF ⊄平面OBC ，BC ⊂平面OBC ，所以EF ∥平面OBC ，因为EF ⊂平面111A B C ，平面111A B C Ç平面11OBC B C =，所以EF ∥11B C ．因为E 、F 分别是AB 、AC 的中点，所以11,22AE AB AF AC ==，因为AB AC =，所以AE AF =，因为H 是EF 的中点，所以AH ⊥EF ，所以AH ⊥11B C ．因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，OB OC O = ，所以OA ⊥平面OBC ，因为11B C ⊂平面OBC ，所以OA ⊥11B C ，因为OA AH A= 因此11B C ⊥面OAH ．（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N ．因为111111,,OC OA OC OB OA OB O ⊥⊥= ，因为1OC ⊥平面11OA B ，因为11A B ⊂平面11OA B ，所以111OC A B ⊥，因为1ON OC O = ，所以11A B ⊥平面1OC N ，因为1C N ⊂平面1OC N ，所以1C N ⊥11A B，所以1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角．过E 作EM ⊥1OB 于M ，则EM ∥OA ，则M 是OB 的中点，则111,122EM OA OM OB ====．设1OB x =，由111OB OA MB EM =得，312x x =-，解得3x =，则13OC =，在11R t OA B中，11A B ==则1111OA OB ON A B ⋅==．所以在1R t ONC中，11tan OC ONC ON ∠==故二面角111O A B C --为20.甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有4个白球，8个黑球，乙盒装有1个白球，5个黑球，丙盒装有3个白球，3个黑球.（1）随机抽取一个盒子，再从该盒子中随机摸出1个球，求摸出的球是黑球的概率；（2）已知（1）中摸出的球是黑球，求此球属于乙箱子的概率.【答案】（1）23（2）512【解析】【分析】（1）设出事件，运用全概率公式求解即可.（2）利用条件概率公式求解即可.【小问1详解】记取到甲盒子为事件1A ，取到乙盒子为事件2A ，取到丙盒子为事件3A ，取到黑球为事件B ：由全概率公式得1122331815132()()(|)()(|)()(|)31236363P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=⨯+⨯+⨯=，故摸出的球是黑球的概率是23.【小问2详解】由条件概率公式得2215()536(|)2()123P A B P A B P B ⨯===，故此球属于乙箱子的概率是51221.设椭圆(222:109x y C b b +=<<，P 是C 上一个动点，点()1,0A ，PA长的最小值为2．（1）求b 的值：（2）设过点A 且斜率不为0的直线l 交C 于,B D 两点，,E F 分别为C 的左、右顶点，直线BE 和直线DF 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k 为定值．【答案】（1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出点P 坐标，并求出PA 长，再结合二次函数探求最小值即得解.（2）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，设出点,B D 的坐标，利用斜率坐标公式，结合韦达定理计算即得.【小问1详解】依题意，椭圆C 的焦点在x 轴上，设焦距为2(0)c c >，设00(,)P x y ，则222000||(1),[3,3]PA x y x =-+∈-，而22200(19x y b =-，则222200||(1)219b PA x x b =--++=222222*********()199c c x x b x b c c -++=-++-，而0b <<，则2(9(3,9))b -∈，即2(3,9)c ∈，因此29(1,3)c∈，由0[3,3]x ∈-，得当029x c =时，222min 295||1(22PA b c =+-==，即229392b b -=-，化简得42221450b b -+=，又0b <<，解得23b =，所以b=【小问2详解】由（1）知，椭圆C 的方程为22193x y +=，点(3,0),(3,0)E F -，设()()1122,,,B x y D x y ，则121212,33y y k k x x ==+-，即12k k =121212213(3)3(3)y x y x x y y x --⋅=++，斜率不为0的直线l 过点(1,0)A ，设方程为1x my =+，则112121221122(13)2(13)4k y my my y y k y my my y y +--==+++，由22139x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 并整理得22(3)280m y my ++-=，显然0∆>，则12122228,33m y y y y m m --+==++，即有2211)4(my y y y =+，因此()()121112112212212212422241444482y y y k my y y y y k my y y y y y y y +--+====++++，所以12k k为定值.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知()3ln (1)f x x k x =--.（1）若过点(2,2)作曲线()y f x =的切线，切线的斜率为2，求k 的值；（2）当[1,3]x ∈时，讨论函数2π()()cos π2g x f x x =-的零点个数.【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求导，设切点坐标为()()000,3ln 1x x k x --，结合导数的几何意义列式求解即可；（2）求导，可得()g x '在[1,3]内单调递减，分类讨论判断()g x 在[1,3]内的单调性，进而结合零点存在性定理分析判断.【小问1详解】由题意可得：3()f x k x'=-，设切点坐标为()()000,3ln 1x x k x --，则切线斜率为003()2k f x k x '==-=，即032k x =-，可得切线方程为()()0003ln 12y x k x x x ---=-⎡⎤⎣⎦，将(2,2)，032k x =-代入可得()()0000323ln 2122x x x x ⎡⎤⎛⎫----=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，整理得001ln 10x x -+=，因为1ln ,y x y x ==-在()0,∞+内单调递增，则1ln 1y x x=-+在定义域()0,∞+内单调递增，且当1x =时，0y =，可知关于0x 的方程001ln 10x x -+=的根为1，即01x =，所以0321k x =-=.【小问2详解】因为2π2π()()cos 3ln (1)cos π2π2g x f x x x k x =-=---，则3π()sin 2g x k x x '=-+，可知3y x=在[1,3]内单调递减，且[1,3]x ∈，则ππ3π,222x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且sin y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，可知πsin 2y x =在[1,3]内单调递减，所以()g x '在[1,3]内单调递减，且(1)4,(3)g k g k ''=-=-，（i ）若0k -≥，即0k ≤时，则()()30g x g ''≥≥在[1,3]内恒成立，可知()g x 在[1,3]内单调递增，则()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时，等号成立，所以()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；（ⅱ）若40k -≤，即4k ≥时，则()()10g x g ''≤≤在[1,3]内恒成立，可知()g x 在[1,3]内单调递减，则()()10g x g ≤=，当且仅当1x =时，等号成立，所以()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；（ⅲ）若400k k ->⎧⎨-<⎩，即04k <<时，则()g x '在()1,3内存在唯一零点()1,3m ∈，可知当1x m ≤<时，()0g x '>；当3m x <≤时，()0g x '<；则()g x 在[)1,m 内单调递增，在(],3m 内单调递减，且()10g =，可知()()10g m g >=，可知()g x 在[)1,m 内有且仅有1个零点，且()33ln 32g k =-，①当()33ln 320g k =-≤，即3ln 342k ≤<时，则()g x 在(],3m 内有且仅有1个零点；②当()33ln 320g k =->，即30ln 32k <<时，则()g x 在(],3m 内没有零点；综上所述：若[)3,ln 34,2k ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()g x 在[1,3]内有且仅有1个零点；若3ln3,42k⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g x在[1,3]内有且仅有2个零点.【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．。
高三数学高考模拟试题及答案
高三数学高考模拟试题及答案第一部分选择题1. 已知函数 $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$，则 $f(x)$ 的极限为（）A. $\dfrac{1}{2}$B. $-2$C. $+\infty$D. $-\infty$2. 如图，对数函数 $y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$ 的图像经过两点 $P(4,3)$，$Q(8,y)$。
则 $y=$（）A. 3B. 5C. 6D. 73. 在 $\triangle ABC$ 中，$AB=3$，$BC=\dfrac{5}{2}$，$\angle C=90^\circ$，$D$ 为 $BC$ 的中点，$E$ 为 $AC$ 上一点，$BE$ 延长线交 $AD$ 于点 $F$。
则 $EF=$（）A. $\dfrac{5}{3}$B. $\dfrac{25}{24}$C. $\dfrac{7}{4}$D. $\dfrac{17}{8}$4. 已知函数 $f(x)=\dfrac{2\sin x+\cos x}{\sin x-2\cos x}$，则$f\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=$（）A. $1+f(x)$B. $1-f(x)$C. $f(x)-1$D. $-1-f(x)$5. 已知 $x>2$，$\log_2{(2x-3)}+\log_2{(x+1)}=4$，则 $x=$（）A. 3B. 5C. 7D. 9答案：1. D2. B3. B4. A5. C第二部分简答题1. 证明 $x+y\geqslant 2\sqrt{xy}$ 为二次函数 $y=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2-\dfrac{y^2}{4}$ 的非负性。
2. 已知 $a^2+b^2=1$，求 $\dfrac{5a+12b}{13}$ 的最大值。
3. 在动态规划中，解决问题的一般步骤是什么？4. 概率统计中，什么是贝叶斯公式？其应用场景有哪些？5. 对于某个事件的先验概率为 $p(A)$，我们观测到了该事件发生，且得到了一个新的条件概率，那么它的后验概率为什么？答案：1. 将二次函数化为顶点式 $y=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2-\dfrac{y^2}{4}$，则$y\geqslant 0$。
浙江省温州市温州中学2024届高三第一次模拟考试数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知函数的部分图象如图所示，下列关于函数的表述正确的是（）A ．函数的图象关于点对称B．函数在上递减C ．函数的图象关于直线对称D．函数的图象上所有点向左平移个单位得到函数的图象2. “田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度分为上中下三等．一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛一局，采取三局两胜制．已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快．若田忌不知道齐王三场比赛分别派哪匹马上场，则田忌获胜的概率为（ ）A．B．C．D．3. 已知函数．给出下列命题：①函数的值域为；②为函数的一条对称轴；③为奇函数；④，对恒成立．其中的真命题有（ ）A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④4. 若集合，，则集合（ ）A．B．C．D．5. 已知命题，，则为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，6. 已知中，若，则的值为A ．2B ．3C ．4D ．57. 已知椭圆和双曲线的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）A．，B．，C．，D．，8. 已知数列为等差数列，前项和为，则“”是“数列为单增数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9.已知函数，则（ ）A ．在上单调递减，在上单调递增B ．有2个不同的零点C ．若a ，，则D ．若且，则浙江省温州市温州中学2024届高三第一次模拟考试数学试题浙江省温州市温州中学2024届高三第一次模拟考试数学试题三、填空题四、解答题10. 某商场前有一块边长为60米的正方形地皮，为了方便消费者停车，拟划出一块矩形区域用于停放电动车等，同时为了美观，建造扇形花坛，现设计两种方案如图所示，方案一：，在线段上且，方案二：在圆弧上且．若花坛区域工程造价0.2万元/平方米，停车区域工程造价为0.1万元/平方米，则下列说法正确的是（）A ．两个方案中矩形停车区域的最大面积为2400平方米B ．两个方案中矩形停车区域的最小面积为1200平方米C ．方案二中整个工程造价最低为万元D ．两个方案中整个工程造价最高为万元11. 已知直四棱柱，底面是菱形，，且，为的中点，动点满足，且，，则下列说法正确（ ）A ．当平面时，B．当时，的最小值为C ．若，则的轨迹长度为D ．当时，若点为三棱锥的外接球的球心，则的取值范围为12.已知函数，则下列结论正确的有（ ）A ．为奇函数B ．是以为周期的函数C．的图象关于直线对称D ．时，的最大值为13. 已知向量，，，若A ，B ，D 三点共线，则_________．14.已知函数则_____.15. 已知函数是奇函数，则______．16.如图，在四棱锥中，底面四边形的边长均为2，且，棱的中点为.(1)求证：平面；(2)若的面积是，求点到平面的距离.17. 已知函数.（1）讨论函数的极值；（2）记关于的方程的两根分别为，求证：.18. 已知等比数列的首项，公比为q，是公差为的等差数列，，，是与的等比中项．(1)求数列的通项公式；(2)设的前n项和为，数列满足，求数列的前n项和．19. 若.(1)当，时，讨论函数的单调性；(2)若，且有两个极值点，，证明：.20. 已知函数．(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)当时，证明：．21. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD BC，PA=AD=CD=2，BC=3，E为PD的中点，点F在PC上，且.(1)求二面角F-AE-P的余弦值；(2)设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.。
2023-2024学年河北省部分学校高三下学期高考演练数学模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年河北省部分学校高三下学期高考演练数学模拟试题（一模）一、单选题1．已知集合{}220|A x x x =-<，集合{}210|2x B x -=-≤，则A B ⋃=（）A ．{}|02x x <<B ．{}2|0x x <≤C ．{}|2x x <D ．{}2|x x ≤【正确答案】D【分析】根据一元二次不等式以及指数不等式化简集合,A B ,由集合的并运算即可求解.【详解】由于22021022202x x x x ---≤⇒≤⇒-≤⇒≤所以{}|02A x x =<<，{}|2B x x =≤，所以{}|2A B x x ⋃=≤.故选：D.2．已知复数1z ，2z ，“21z z >”是“211z z >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解.【详解】若21z z >，可得复数1z ，2z 都为实数，当120z z <<时，211z z <，充分性不成立；反之，若211z z >取复数11i z =+，222i z =+，满足2121z z =>，但此时复数1z ，2z 均为虚数，不能比较大小，必要性不成立，所以“21z z >”是“211z z >”的既不充分也不必要条件；故选：D.3．若函数923log ,14()1,123x x f x x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪++⎩，则523f f ⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎣⎛ ⎝⎦⎭⎥⎫（）A ．517B ．175C ．417D ．174【正确答案】C【分析】根据自变量的取值，即可代入到分段函数中，计算即可.【详解】由于5231>，所以5522935313log 34442f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，故5211431217134f f f ⎡⎤⎛⎫==⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+⎪⎭+⎛⎫ ⎝=，故选C.4．2021年5月22日上午10点40分，祝融号火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为了帮助同学们深入了解祝融号的相关知识，某学校进行了一次航天知识讲座，讲座结束之后，学校进行了一次相关知识测试（满分100分），学生得分都在[]50,100内，其频率分布直方图如下，若各组分数用该组的中间值代替，估计这些学生得分的平均数为（）A ．70.2B ．72.6C ．75.4D ．82.2【正确答案】C【分析】根据题意，由频率之和为1，可得m 的值，然后结合平均数的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由条件可得()0.0040.0540.0120.010101m ++++⨯=，则0.020m =，故得分的平均数为.()0.004550.020650.054750.012850.010951075.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=故选：C5．中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为2222221x y z a b c++=（0,z ≥，,,0a b c >，且a ，b ，c 不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为2(0)m m π>的圆，给出下列结论：①a b =；②c m =；③2ac m =；④若ac m >，则1c >，其中正确命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据已知得a b m ==，结合题设判断各项正误即可.【详解】在2222221x y z a b c ++=中，令0z =可得该建筑室内地面对应的曲线方程为22221x y a b+=，由室内地面是面积为2πm (0)m >的圆，故a b =，①对；且22ππa m =，则a b m ==，又,,a b c 不全相等，故c m ≠，②错；若2ac m =，则2mc m =，可得c m =，与,,a b c 不全相等矛盾，③错；若ac m >，则0mc m >>，故1c >，④对.故选：B.6．已知α是第三象限角，3cos 2sin 2αα+=，则tan α=（）A ．24B 33C 3D ．22【正确答案】A【分析】根据α是第三象限角，3cos 2sin 2αα+=，利用二倍角公式整理得26sin sin 10αα--=，求得sin α，再利用基本关系求解.【详解】∵α是第三象限角，3cos 2sin 2αα+=，∴()2312sin sin 2αα-+=，∴26sin sin 10αα--=，解得1sin 3α=-或1sin 2α=(舍去)，∴22cos 1sin 3αα=--=-，∴2tan 4α=，故选：A.7．直线:40l ax by +-=与圆22:4O x y +=相切，则22(3)(4)a b -+-的最大值为（）A ．16B ．25C ．49D ．81【正确答案】C【分析】利用圆与直线的位置关系得出,a b 的方程，根据方程分析利用22(3)(4)a b -+-表示的几何意义求解即可.【详解】由直线l 与圆O 相切可得：圆心()0,0O 到直线l 的距离等于圆的半径，2=，故224a b +=，即点(,)a b 在圆O 上，22(3)(4)a b -+-的几何意义为圆上的点(,)a b 与点(3,4)之间距离的平方，由224a b +=圆心为()0,0，因为22344+>，所以点(3,4)在圆224a b +=外，所以点(,)a b 到点(3,4)的距离的最大值为圆心到(3,4)的距离与圆半径之和，即27d r +=，所以22(3)(4)a b -+-的最大值为2749=.故选：C.8．为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A ，B ，C 三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（）A ．144种B ．162种C ．216种D ．288种【正确答案】A【分析】利用排列组合公式进行合理分类讨论即可.【详解】分两种情况：第一种情况，先从4本里选其中2本，作为一组，有24C 种，第二组从第一组所选书籍中选1本，再从另外2本中选取1本作为一组，剩余一本作为一组，再分给3名同学，共有211342231C C C A 2方法；第二种情况：从4本里任选2本作为一组，剩余的两本作为一组，有224222C C A 种分法，分给3名同学中的2名同学，有23A 种分法，剩余1名同学，从这4本中任选一本阅读，有14C 种分法，共有2221423422C C A C A ⋅种方法.故这三名同学选取图书的不同情况有222113214242233422C C 1C C C A A C 1442A +⋅=种.故选：A.二、多选题9．已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的最小正周期为π2，若12()()2f x f x =-，则（）A ．()f x 关于直线1x x =对称B ．()f x 关于点2(,0)x 对称C ．12x x +的最大值为π2D ．12x x +的最小值为π8【正确答案】AD【分析】根据辅助角公式化简()f x ，利用周期的公式求解4ω=，进而根据12()()2f x f x =-可判断12,x x x x ==为()f x 的对称轴，即可判断AB,利用对称中心可求解DC.【详解】由π()sin cos cos )4f x x x x ω=+=+的最小正周期为π2可得2ππ2ω=，即4ω=，故π())4f x x =+，由12()()2f x f x =-可得1()f x ，2()f x 分别为()f x 的最大值和最小值，故()f x 关于直线1x x =对称，不关于点2(,0)x 对称，故A 正确，B 错误；由()π4πZ 4x k k +=∈可得()1πZ 416x kx k =-∈，故()f x 的对称中心()1ππ,0Z 416k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则121π1π2ππ,Z 41628x x n n n +=-=-∈，当0n =时，12x x +取得最小值π8，没有最大值，故C 错误，D 正确.故选：AD10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为2，过C 上点P 的直线l 与C 的渐近线分别交于点A ，B ，且点P 为AB 的中点，则下列正确的是（）A ．若(,)P m n 且直线l 的斜率存在，直线l 的方程为21mynx a -=B ．若(2,1)P ，直线l 的斜率为1C．若离心率e =2OAB S=△D ．若直线l 的斜率不存在，2AB =【正确答案】BCD【分析】根据点差法可得直线的斜率，进而可判断A ，利用A 选项的求解可判断B ，利用离心率可得渐近线方程，进而联立直线AB 与渐近线方程得交点坐标，利用三角形面积公式以及双曲线方程可判断C ，根据顶点和渐近线方程可求解D.【详解】由题意1b =，双曲线222:1x C y a-=.对于A ，若(,)P m n ，则2221m n a-=，即2222m a n a -=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则221120x y a -=，222220x y a -=，利用点差法可得121222212122()2ABy y x x m m k x x a y y a n a n-+===-+=，所以直线l 的方程为y n -=2()mx m a n-，即2222a ny a n mx m -=-，所以22222mx a ny m a n a -=-=，即21mxny a -=，故A 错误；对于B ，若(2,1)P ，可得222211a -=,则a =l 的斜率为22121m a n ==⨯，即B 正确；对于C，若离心率222,2c e c a b a==+，可得2a =.则双曲线22:14x C y -=，其渐近线方程为2xy =±，设11(,)2x A x ，22(,2xB x -，直线()()121112:22x x x AB y x x x x +=-+-，令121220,x xy x x x ==+，则121221122212221OAB x x x x x x S x x +=+=△，由A 知AB 方程为14mxny -=，联立方程142mxny x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得142x m n =-，同理可得242x m n =+，所以1211442222OAB S x x m n m n ==⨯-+△2288244m n ===-，故C 正确；对于D ，若直线l 的斜率不存在，则直线l 过双曲线的顶点，所以(,0)P a ±，双曲线的渐近线方程为1y x a=±，当x a =±时，代入渐近线方程易得A ，B 两点的纵坐标为1±，所以2AB =，故D 正确；故选：BCD.11．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，点P ，Q ，M 分别为11A D ，11C D ，BC 的中点，下列结论正确的有（）A ．//AC 平面PQMB ．该四棱柱有外接球，则四边形ABCD 为正方形C ．BC 与平面PQM 不可能垂直D ．BD QM⊥【正确答案】ABC【分析】根据线线平行即可判断A ，利用外接圆的对角互补，则可判断B ，利用反证法，结合线面垂直的性质定理可判断C,D.【详解】对A ，连接11AC ，由点P ，Q ，分别为11A D ，11C D 可得11//ACPQ ，11111////.AA BB CC AA BB CC == ，所以四边形11A ACC 为平行四边形，则11//AC AC ，故//AC PQ ，AC ⊄平面PQM ,PQ ⊂平面PQM ,则//AC 平面PQM ，即A 正确；对B ，若四棱柱有外接球，则四边形ABCD 有外接圆，则ABCD 对角互补，则ABCD 为正方形，即B 正确；对C ，若BC ⊥平面PQM ，PQ ⊂平面PQM ,则BC PQ ⊥，由//PQ AC 可得BC AC ⊥，与条件矛盾，故BC 与平面PQM 不可能垂直，即C 正确；对D ，取CD 的中点N ，连接MN ，QN ，则//MN BD ，1//QN CC ,1CC ⊥ 平面ABCD ，QN ∴⊥平面ABCD ，MN ⊂ 平面ABCD ，QN MN ∴⊥，90QNM ∴∠=︒，则90QMN ∠<︒，故BD 与QM 不垂直，即D 错误.故选：ABC.12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线2x =对称，当[0,2]x ∈时，2()f x x =，若方程()4log (5)(0,1)a f x x a a >=+≠在[]4,6-上恰有5个实数解，则（）A ．()f x 的周期为4B ．()f x 在[]8,10上单调递减C ．()f x 的值域为[]0,2D ．711a <<【正确答案】AD【分析】由对称性与奇偶性得到函数的周期性，即可判断A 、B ，结合所给函数解析式求出函数的值域，即可判断C ，画出函数()y f x =与4log (5)(1)a y x a =+>的图象，数形结合，即可判断D.【详解】由()f x 的图象关于2x =对称可得(4)()f x f x +=-，再由()f x 为偶函数可得()()f x f x -=，故()(4)f x f x =+，即()f x 的周期为4，即A 正确；当[0,2]x ∈时，由2()f x x =，可得()f x 在[0,2]上单调递增，故()f x 在[]8,10上单调递增，即B 错误；又(0)0f =，(2)4f =，故()f x 的值域为[]0,4，即C 错误；在同一坐标系下画出函数()y f x =与4log (5)(1)a y x a =+>的图象如图所示.由图可知，要使()y f x =与()4log (5)b g x x =+在[]4,6-上恰有5个不同交点，只需()()24641g g a ⎧<⎪>⎨⎪>⎩，即log 71log 1111a a a <⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得711a <<，即a 的取值范围为()7,11，故D 正确.故选：AD三、填空题13．已知O 为ABC 的外心，若2OA =，且75BAC ∠=︒，则OB OC ⋅=__________.【正确答案】23-【分析】由平面向量数量积公式进行求解.【详解】由圆的性质可得2150BOC BAC ∠=∠=︒，2OA OB OC ===，故cos 22cos15023OB OC OB OC BAC ⋅=⋅∠=⨯⨯︒= 故23-14．若函数4()ln 42mxf x x-=-的图象关于原点对称，则实数m 的值为__________.【正确答案】2-【分析】根据奇函数的性质根据()()f x f x -=-，即可求解.【详解】依题意，()()f x f x -=-，即44ln ln 4242mx mxx x-+=-+,所以442424mx x x mx +-=+-，解得2m =±，当2m =时，42()ln42xf x x-=-，定义域{}2x x ≠不关于原点对称，故舍去，当2m =-时，42()ln 42xf x x+=-，定义域为{}22x x -<<，符合要求，故2m =-，故2-15．函数33()sincos sin cos 2222x x x xf x =-的最小值为__________.【正确答案】14-/0.25-【分析】根据二倍角公式化简()1sin 24f x x =-，即可求解最值.【详解】因为33()sin cos sin cos 2222x x x x f x =-22sin cos sin cos 2222x x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭1sin cos 2x x -1sin 24x =-，所以当π22π,Z 2x k k =+∈时，sin 21x =，此时()f x 的最小值为14-.故14-四、双空题16．如图，在三棱锥A BCD -中，AB CD ⊥，AD BC ⊥，且3BD AC =，点E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AC 与BD 所成角的大小为__________，AC 与EF 所成角的余弦值为__________.【正确答案】90︒10【分析】根据异面直线夹角的定义作辅助线，构造三角形.【详解】取AB 的中点G ，连接EG ，FG ，则//FG AC ，//EG BD ，故EFG ∠或其补角为异面直线AC 与EF 所成的角，过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接BO ，CO ，DO ，则AO CD ⊥，又AB CD ⊥，且AB AO A = ，故CD ⊥平面AOB ，故BO CD ⊥，同理可得DO BC ⊥，即O 为BCD △的垂心，故BD CO ⊥，又AO BD ⊥，AO CO O = ，AO ⊂平面AOC ，CO ⊂平面AOC ，故BD ⊥平面AOC ，故AC BD ⊥，即AC 与BD 所成角为90︒；所以90EGF ∠=︒，由3BD AC =可得3EG FG =，故cos FG EFG EF ∠==即异面直线AC 与EF故①90︒，②10.五、解答题17．已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，2a 是1a ，4a 的等比中项，1278S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知1213n a n n b a --=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)n a n=(2)(1)31nn T n =-⨯+【分析】（1）根据题意列式求解1,a d ，即可得结果；（2）由（1）可得：1(21)3n n b n -=-⨯，利用错位相减法求和.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为2a 是1a ，4a 的等比中项，则2214a a a =，即2111()(3)a d a a d +=+，且0d ≠，整理得1d a =①，又因为121121211782dS a =+⨯⨯=，整理得163339a d +=②由①②解得，11a =，1d =，所以()11n a n n =+-=.（2）由（1）知，()11213213n n n n b a n ---=⨯=-⨯，则021133353(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，可得12313133353(23)3(21)3n nn T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得0123121323232323(21)3n nn T n --=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯16(13)1(21)313n n n --=+--⨯-(22)32n n =-⨯-，所以(1)31nn T n =-⨯+.18．为了了解大家对养宠物的看法，某单位对本单位450名员工（其中女职工有150人）进行了调查，发现女职工中支持养宠物的职工占13，若从男职工与女职工中各随机选取一名，至少有1名职工支持养宠物的概率为12.(1)求该单位男职工支持养宠物的人数，并填写下列22⨯列联表；支持养宠物不支持养宠物合计男职工女职工合计450(2)依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关？附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.α0.100.050.0100.001x α2.7063.8416.63510.828【正确答案】(1)表格见解析(2)不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关【分析】（1）运用对立事件列方程求出男职工支持养宠物的概率p ，再求出男职工中支持养宠物的人数；（2）根据卡方公式求解.【详解】（1）从男职工中随机选取1人，设支持养宠物的概率为p ，则2人中至少有一名支持养宠物是都不支持养宠物的对立事件，∴111(1)(1)32p ---=，解得14p =，则男职工中支持养宠物的人数为1300745⨯=，22⨯列联表如下：支持养宠物不支持养宠物合计男职工75225300女职工50100150合计125325450（2）零假设为：0H ：性别与态度无关联；由于22450(7510022550) 3.462 3.841125325300150χ<⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∴不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关；综上，男职工中支持养宠物的人数为75；不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关.19．在ABC 中，4AB =，AC =点D 为BC 的中点，连接AD 并延长到点E ，使3AE DE =.(1)若1DE =，求BAC ∠的余弦值；(2)若π4ABC ∠=，求线段BE 的长.【正确答案】(1)4-2【分析】（1）设BD DC x ==，由cos cos 0ADB ADC ∠+∠=结合余弦定理求解即可求出x =ABC 中，由余弦定理即可求出答案.（2）在ABC 中，由余弦定理求出BC =ABD △中，由余弦定理求出AD =，连接BE ，在ABE 中，由余弦定理即可求出线段BE 的长.【详解】（1）因为1DE =，3AE DE =，所以2AD =，因为πADB ADC ∠+∠=，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，设BD DC x ==，则222222022BD AD AB CD AD AC BD AD CD AD+-+-+=⋅⋅，即224164802222x x x x +-+-+=⋅⋅⋅⋅，解得x =2BC BD ==在ABC 中，由余弦定理知，222cos2AB AC BC BAC AB AC +-∠==-⋅（2）在ABC 中，由余弦定理知，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，所以2816242BC BC =+-⋅⋅⋅，化简得280BC -+=，解得BC =因为D 是BC 的中点，所以12BD BC ==在ABD △中，由余弦定理知，2222cos AD AB BD AB BD ABC =+-⋅⋅∠16224102=+-⨯=，所以AD =，因为3AE DE =，所以32AE AD ==在ABD △中，由余弦定理知，222cos2AB AD BD BAE AB AD +-∠=⋅连接BE ，在ABE 中，由余弦定理知，2222cos BE AB AE AB AE BAE =+-⋅⋅∠=351624222⎛⎫+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以BE =20．如图，在三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，若PAC △为等边三角形，ABC 为等腰直角三角形，且AC BC =，点E 为AC 的中点，点D 在线段AB 上，且4AB AD =.(1)证明：AB ⊥平面PDE ；(2)求平面PDE 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析4【分析】（1）作出辅助线，得到DE AB ⊥，由三线合一得到PE AC ⊥，从而得到线面垂直，面面垂直，从而证明出结论；（2）建立空间直角坐标线，利用空间向量求解二面角的余弦值.【详解】（1）如图，取AB 的中点G ，由AC BC =可得CG AB ⊥，由4AB AD =可得D 为AG 的中点，由E 为AC 的中点可得DE 为ACG 的中位线，∴DE CG ∥，∴DE AB ⊥，∵E 为AC 的中点，PA PC =，∴PE AC ⊥，∵平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面ABC AC =，PE 在面PAC 内，∴PE ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，∴PE AB ⊥，又PE DE E = ，且PE DE ⊂，平面PDE ，∴AB ⊥平面PDE .（2）以C 为原点，CA 、CB 为x 、y 轴，过C 垂直于面ABC 的直线为z 轴，设4PA =.则(4,0,0)A ，(0,4,0)B ，(0,0,0)C，P ，则(2,0,PA =- ，()4,4,0AB =-，∴1(1,1,4PD PA AD PA AB =+=+=-，(2,4,PB =--，(2,0,PC =--，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，由24020n PB x y z n PC x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，解得0y =，令x =1z =-，故1)n =-，由（1）可知(4,4,0)AB =-为平面PDE 的一个法向量，∴cos,4ABAB nA nBn=⋅=-⋅，又平面PDE与平面PBC21．已知抛物线2:2(0)C x py p=>的焦点为F，直线:(1)2(0)l y k x k=>--与C交于A，B 两点，当3k=时，28AF BF+=.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线:(1)2m y k x=---与抛物线C交于M，N两点，证明：由直线AM，直线BN及y 轴围成的三角形为等腰三角形.【正确答案】(1)24x y=(2)证明见解析【分析】（1）根据直线抛物线方程的联立以及抛物线的定义即可求解；（2）根据直线与抛物线方程的联立以及坐标关系即可求解.【详解】（1）当3k=时，直线:3(1)235l y x x=--=-，与22x py=联立消去y，整理可得26100x px p-+=，由0∆>得236400p p->，即109p>.设11(,)A x y，22(,)B x y，可得126x x p+=，所以()12123101810y y x x p +=+-=-，由题意可得0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，根据抛物线的定义可得12p AF y =+，22p BF y =+，所以121810191028AF BF y y p p p p +=++=-+=-=，解得2p =，满足0∆>，所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）直线():12(0)l y k x k =-->与24x y =联立可得24480x kx k -++=，由0∆>得21616320k k -->，即2k >或1k <-（舍）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124x x k +=；直线:(1)2m y k x =---与24x y =联立消去y ，整理可得24480x kx k +-+=，由0∆>得21616320k k +->，即1k >或2k <-（舍），故2k >，设33(,)M x y ，44(,)N x y ，则344x x k +=-；因为2231313131314()4AMy y x x x xk x x x x --+===--，同理424BN x x k +=，所以123404AMBN x x x xk k ++++==，所以由直线AM ，直线BN 及y 轴围成的三角形为等腰三角形.22．已知函数()()2ln 2R f x ax x x x a =--∈.(1)若4a =，求()f x '的极值；(2)若函数()2y f x x =+有两个零点1x ，2x ，且21x ex >，求证.12ln ln 3a x x +>【正确答案】(1)极大值为4ln 22-，无极小值(2)证明见解析【分析】（1）对()f x 求导，判断()f x '的单调性，即可求出()f x '的极值；（2）根据极值点的概念整理原不等式可得12211221ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-即112122111ln()ln 1x x xx x x x x +=-，构建新函数1()ln (e)1t t t t t ϕ+=>-，求导，利用导数证明()2t ϕ>即可.【详解】（1）2()ln 2f x ax x x x =--的定义域为(0,)+∞，当4a =时，()4ln 22f x x x '=-+，设()4ln 22g x x x =-+，则442()2xg x x x-'=-=，由()0g x =可得2x =，当02x <<时，()0g x '>，当2x >时，()0g x '<，∴()f x '在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，∴()f x '的极大值为(2)4ln 22f '=-，无极小值；（2）由()20f x x +=可得2 ln 0ax x x -=，即1ln xa x=.设ln ()(0)xh x x x=>，则21ln ()x h x x -'=.由()0h x '=可得e x =，当(0,e)x ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减.∴()h x 有极大值1(e)eh =，当01x <<时，()0h x <，当1x >时，()0h x >.要使()2y f x x =+有两个零点1x ，2x ，需有110ea <<，即e a >.∵1212ln ln 1x x a x x ==，由比例的性质可得12211221ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-，即()21211221ln ln x x x x x x x x =+-，故121212122211111ln()ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ++==--，设21x t x =，由21e 0x x >>可得t e >，设函数1()ln (e)1t t t t t ϕ+=>-，则212ln ()(1)t t t t t ϕ--'=-，设1()2ln s t t t t =--，则22211()110s t t t t ⎛⎫'=-+=-> ⎪⎝⎭，∴()s t 在(e,)+∞上单调递增，故1()(e)e 20es t s >=-->，故()0t ϕ'>，∴()t ϕ在(e,)+∞上单调递增，故e 12()(e)12e 1e 1t ϕϕ+>==+>--，∴212e x x >，故312e ax x >，故312ln()ln e ax x >，即12ln ln 3a x x +>.关键点点睛：本题（2）的关键点在于由题意得出1212ln ln 1x x a x x ==，建立关系112122111ln()ln 1x x xx x x x x +=-，再结合题意化简整理，再利用导数证明不等式.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。