高数(第二章第3节)剖析讲解

—— 显函数
F( x, y) 0 y f ( x), —— 隐函数
如果在方程 F(x, y) = 0 中, 当 x 在某区间内取 任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的 y 值存 在,那么就说方程F(x, y) = 0在这区间内确定了一个
隐函数。 即由 F ( x, y) 0， y f ( x),
使得 F ( x, f ( x)) 0 .
y f (x)
(4
1 x
)n1
(
x
1 2)n1
]
.
7.
求
解: 设 u e 2x , v x 2,则
u(k ) 2k e 2x ( k 1 , 2 , , 20 )
v 2x ,v 2 ,
v (k ) 0 (k 3 , , 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y (20)
e 220 2x
x2
20
e 219 2x
y(n) (1)(2)(n)( x a)n1
(
x
1
)(n) a
(1)n
(x
n! a)n1
.
4. y ln( x a).
解： y 1 , y ( 1 ) ,
xa
xa
y ( 1 ) , y(n) ( 1 )(n1) ,
xa
xa
[ln( x a)](n) (1)n1
(n 1) ! ( x a)n
2
若 u(x), v(x) 在点 x 处都具有 n 阶导数，
则有：
(1) (u v)(n) u(n) v(n) ,
C nk
n! k!(n
k )!
(2) (u v)(n) u(n)v Cn1 u(n1)v Cn2u(n2)v
C
k n
u(
nk
)v
(k
)
uv (n) .
n
C
k n
u(
nk
)v
(
k
)
k0
其中 u(0) u, v(0) v.
—— 莱布尼兹公式
6.
y
1
.
8 2x x 2
解： y
1
1( 1 1 )
(4 x)(2 x) 6 4 x x 2
(
4
1
x
)( n )
(1)n
(4
n! x)n1
,
(
1 x2
)(n)
(1)n
n! ( x 2)n1
,
y (n) (1)n n ![ 6
2x
e 2 20 19 18 2x 2!
2
内容小结
高阶导数的求法
(1) 逐阶求导法
(2) 利用归纳法
(3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式
如,
1 a
x
(n)
(1)n
n! (a x)n1
a
1
x
(n)
(a
n! x)n1
(4) 利用莱布尼兹公式
习题
设
解:
求
其中 f 二阶可导.
课外作业
n 次多项式的一切高于 n 阶的导数均为 0 .
一般： y x ( 为一切实数 ) y(n) ( 1)( 2)( n 1) x n .
当 n 时， y(n) n!
2. y a x (a 0 且 a 1, 为常数) .
解： y ax ln a ax ( ln a) y ax ( ln a)( ln a) ax ( ln a)2
.
5. y sin x .
解： y cos x sin( x ),
2
y cos( x ) sin( x 2 ),
2
2
y cos( x 2 ) sin( x 3 ),
……
2
2
(sin x)(n) sin( x n ).
2
同理， (cos x)(n) cos( x n ).
已知位置函数 s = s(t)，则时刻 t 的速度
v ds s(t) 仍是 tBiblioteka Baidu的函数， dt
a = v(t) dv s(t) 称为运动的加速度， dt
a
v(t )
dv dt
s(t
)
d d
2s t2
.
二阶导数的导数称为三阶导数，…
一般，n –1 阶导数的导数称为 n 阶导数,
记作
y,
y(4), ,
§3 . 高阶导数
一、高阶导数的概念 二、高阶导数的运算法则
函数 f (x) 的导数 f '(x) 又称为 f (x)
的一阶导数(导函数), 若 f ( x)仍可导，
即 lim f ( x x) f ( x) 存在，
x0
x
则称其为 y = f (x) 的二阶导数，记为
y, f ( x) , 或 d 2 y d ( d y ) . d x2 dx d x
1. y a0 x n a1 x n1 an1 x an .
解：y a0nxn1 a1(n 1) xn2 2an2 x an1.
y a0n(n 1)xn2 a1(n 1)(n 2)xn3 2an2 .
y(n1) a0n(n 1)(n 2) 3 2x a1(n 1)! y(n) a0 n ! 显然 y(n+1) = 0 .
习题 2 — 3(A) 1(3, 7, 8), 5, 6 习题 2 — 3(B)
1(5), 2(3), 3(3), 7
§4. 隐函数的导数 、由 参数方程所确定的函数的 导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率
一、隐函数的导数
x y3 1 , e y xy sin x 0, F( x, y) 0 .
y
f (ln x) ( 1 )2 x
f
(ln
x)
1 x2
例3：
试从
dx dy
1 y
导出
d2x dy2
(
y y)3
证：
d2x dy2
d dy
( dx ) dy
d dx
(
1 ) y
dx dy
y ( y)2
1 y
(
y y)3
求 n 阶导数方法： 多次接连地求导数，直至找到规律。
例：求下列函数的 n 阶导数：
y(n);
或
d3y d x3
,
d4 dx
y
4
,,
d d
ny xn
.
二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。
例题
例1： y ln sin x, 求 y.
解： y 1 cos x cot x , sin x
y (cot x) csc 2 x .
例2： y f (ln x), 求 y.
解： y f (ln x) 1 x
y(n) a x ( ln a)n .
当 1 时，(a x )(n) a x (ln a)n .
特别，当 a = e 时， (e x)(n) e x .
3. y 1 . y ( x a)1 xa
解： y ( x a)2
y (1)(2)( x a)3
y (1)(2)(3)( x a)4