积分的分部积分法
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secxd( tan x)
sec x tan x sec x tan2 xdx
sec x tan x sec x(sec2 x 1)dx
sec x tan x sec3 xdx sec xdx
sec x tan x ln | sec x tan x | sec3 xdx.
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 arctan x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
例3.52 计算 arccos xdx.
解 设 u arccos x,dv dx,那么
arccos xdx xarccos x xd arccos x
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式
e
x
sin
xdx
ex 2
(sin
x
cos
x)
C.
应用分部积分公式求积分时，有时多次使用公 式，使所求积分再次出现，得到一个关于所求 积分的方程，解此方程便得所求积分.
例3.54 计算 sec3 xdx.
解 sec3 xdx secx sec2 xdx
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C.
例3.49 计算 x2exdx.
解 设 u x2, dv exdx, 那么du 2xdx, v ex.于是
x2exdx x2d( e x )
x2ex 2 xexdx
sec3
xdx
1 2
(sec
x
tan
x
ln
|
sec
x
tan
x
|)
C
.
3.5.2 定积分的分部积分法
设函数u( x)、v( x) 在区间a,b上具有连续
导数，则有abudv
uv b a
b
a vdu
.
定积分的分部积分公式
推导
uv uv uv,
b
a (uv
)dx
b
uv a
,
uv
b a
b
a
uvdx
ຫໍສະໝຸດ Baidu
b
a
例3.48 计算 x cos xdx .
解（一）
令 u cos x,
xdx dv d(
x2
)
x cos xdx
x2 cos x 2
x2 d cos x
2
2
x2 cos x x2 sin xdx
2
2
显然，u,v 选择不当，积分更难进行.
解（二） 令 u x, cos xdx d sin x dv
32
0
3 ln 2
3
例3.56 计算
1
e
x dx
0
解 令 x t 则 x t 2, dx 2tdt.
1
e
x dx 2
1 et tdt
0
0
2 1tdet 2[tet ] 1 2 1et dt
0
0
0
2e 2[et ] 1 2 0
x2 2
)
x2 ln x x2d ln x
2
2
x2 2
ln
x
1 2
xdx
x2 ln x x2 C.
2
4
例3.51 计算 x arctan xdx.
解 令 u arctan x ,
x2
arctan xd
x2 arctan x
x2 d(arctan x)
22
2
x2 arctan x
x arccos x
x dx 1 x2
x arccos x 1 2
1 1 d(1 x2 ) (1 x2 )2
x arccos x 1 x2 C .
通过以上例子，发现应用分部积分公式时，u和dv 的选取有一定的规律性，现小结如下：
1. 被积函数为幂函数与三角（指数）函数相乘， 设幂函数为u；
2.被积函数为幂函数与反三角（对数）函数相乘， 设反三角（对数）函数为u.
例3.53 计算 e x sin xdx.
解 e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x) e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x e x sin x (e x cos x e xd cos x)
对 xexdx 再次应用分部积分公式 u x, e xdx dv
xexdx xex exdx xex ex C
所以 x2exdx (x2 2x 2)ex C
例3.50 计算 x ln xdx.
解 设u ln x,dv xdx,那么
x ln xdx ln xd(
uvdx,
b
udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
例3.55 计算
3
arctanxdx
0
解
3
arctanxdx
[x arctanx] 3
3
xd arctanx
0
0
0
3 arctan 3 3 x dx 0 1 x2
3 1
32
0
31 1 x2
d (1
x2)
3 1 [ln(1 x2 )] 3
sec x tan x sec x tan2 xdx
sec x tan x sec x(sec2 x 1)dx
sec x tan x sec3 xdx sec xdx
sec x tan x ln | sec x tan x | sec3 xdx.
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 arctan x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
例3.52 计算 arccos xdx.
解 设 u arccos x,dv dx,那么
arccos xdx xarccos x xd arccos x
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式
e
x
sin
xdx
ex 2
(sin
x
cos
x)
C.
应用分部积分公式求积分时，有时多次使用公 式，使所求积分再次出现，得到一个关于所求 积分的方程，解此方程便得所求积分.
例3.54 计算 sec3 xdx.
解 sec3 xdx secx sec2 xdx
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C.
例3.49 计算 x2exdx.
解 设 u x2, dv exdx, 那么du 2xdx, v ex.于是
x2exdx x2d( e x )
x2ex 2 xexdx
sec3
xdx
1 2
(sec
x
tan
x
ln
|
sec
x
tan
x
|)
C
.
3.5.2 定积分的分部积分法
设函数u( x)、v( x) 在区间a,b上具有连续
导数，则有abudv
uv b a
b
a vdu
.
定积分的分部积分公式
推导
uv uv uv,
b
a (uv
)dx
b
uv a
,
uv
b a
b
a
uvdx
ຫໍສະໝຸດ Baidu
b
a
例3.48 计算 x cos xdx .
解（一）
令 u cos x,
xdx dv d(
x2
)
x cos xdx
x2 cos x 2
x2 d cos x
2
2
x2 cos x x2 sin xdx
2
2
显然，u,v 选择不当，积分更难进行.
解（二） 令 u x, cos xdx d sin x dv
32
0
3 ln 2
3
例3.56 计算
1
e
x dx
0
解 令 x t 则 x t 2, dx 2tdt.
1
e
x dx 2
1 et tdt
0
0
2 1tdet 2[tet ] 1 2 1et dt
0
0
0
2e 2[et ] 1 2 0
x2 2
)
x2 ln x x2d ln x
2
2
x2 2
ln
x
1 2
xdx
x2 ln x x2 C.
2
4
例3.51 计算 x arctan xdx.
解 令 u arctan x ,
x2
arctan xd
x2 arctan x
x2 d(arctan x)
22
2
x2 arctan x
x arccos x
x dx 1 x2
x arccos x 1 2
1 1 d(1 x2 ) (1 x2 )2
x arccos x 1 x2 C .
通过以上例子，发现应用分部积分公式时，u和dv 的选取有一定的规律性，现小结如下：
1. 被积函数为幂函数与三角（指数）函数相乘， 设幂函数为u；
2.被积函数为幂函数与反三角（对数）函数相乘， 设反三角（对数）函数为u.
例3.53 计算 e x sin xdx.
解 e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x) e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x e x sin x (e x cos x e xd cos x)
对 xexdx 再次应用分部积分公式 u x, e xdx dv
xexdx xex exdx xex ex C
所以 x2exdx (x2 2x 2)ex C
例3.50 计算 x ln xdx.
解 设u ln x,dv xdx,那么
x ln xdx ln xd(
uvdx,
b
udv
b
uv
b
vdu.
a
aa
例3.55 计算
3
arctanxdx
0
解
3
arctanxdx
[x arctanx] 3
3
xd arctanx
0
0
0
3 arctan 3 3 x dx 0 1 x2
3 1
32
0
31 1 x2
d (1
x2)
3 1 [ln(1 x2 )] 3