第七章 同步发电机的基本方程
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派克变换就是将a、b、c三相电流、电压及磁链经过某种 变换（变换的方法不唯一）转换成另外三组量，即d轴、 q轴、零轴分量，完成了从a、b、c坐标系到d、q、0坐 标系的变换。 采用abc坐标系统或dq0坐标系统表示的电量是交直流 互换的，因此为分析发电机运行带来了方便。
7.2.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程
电力系统在运行时常常受到各种扰动，如果扰动后电力系 统出现了异常，如停电等就是电力系统事故，最常见的有短 路故障、负荷投切，系统内的元件上发生不同相之间的或相 与地之间的短路故障（如绝缘破坏引起的匝间短路等）。 短路故障引起的短路电流比正常值要大得多，其冲击电流 和热效应损坏电气设备，同时短路故障改变了网络结构，因 而改变了发电机的输出功率，造成了发电机输出和输入的不 平衡，严重时可造成发电机组之间的失步，造成系统失去稳 定，因此必须对电力系统的各种暂态情况进行分析研究。
maD 0 id i 0 maQ q 0 0 i0 mr 0 if LD 0 iD 0 LQ iQ
电压方程的派克变换形式
d q u d rs i d q d u q rS i q o u o rS io f u f rf i f D 0 u D rD i D Q 0 u Q rQ iQ
转子绕组的 自感
定转子绕组间的互感
转子绕组间的互感
各绕组的磁链方程：
绕组的自感系数以及绕组间的互感系数，大部分是随角度的 变化而周期性变化，求解发电机的运行状态十分不便。
绕组的自感、互感系数
a相绕组磁路磁阻（磁导）的变化与转子d轴与a相绕组轴线的夹 角 有关 —— a 相轴线与直轴 d 轴的夹角 1）定子绕组的自感系数
0 = 270 或 时，自感为最小值； 90 0 =00 或 =180 时，自感为最大值；
0
Laa l0 l2 cos2
Lbb l0 l2 cos2( 1200 )
Lcc l0 l2 cos2( 1200 )
凸极机时定子绕组自感系数随转子旋转以二倍频周期性变化，
4）转子各绕组间的互感系数 同上述原因，它们也都是常数，而且纵轴绕组于横轴绕组相互垂直， 它们的互感为零，即：
L ff L f
LDD LD
LQQ LQ
M fD M Df mr
M fQ M Qf 0
M DQ M QD 0
转子各绕组的自感系数和互感系数均为常数
5）定子与转子间的互感系数
暂态过程的分类
波过程：与运行操作（如开关动作）及雷击时的过电压有 关，涉及电流和电压波的传播，过程最短暂（微秒-毫秒级）高电压技术 电磁暂态过程：与短路（断线）等故障有关，涉及工频电 流、电压幅值随时间的变化，持续时间较波过程长（毫秒-秒 ）-故障分析。 机电暂态过程：与系统振荡、稳定性破坏、异步运行等有 关，涉及发电机组功率角、转速、系统频率、电压等随时间 的变化，过程持续时间较长（秒-分钟）-稳定分析。
经过派克变换后，在d、q、0坐标系统中，发 电机的磁链方程组转化为线性代数方程组； 电压方程变为线性微分方程组，求解将大为简 化。
7.2.3 同步电机派克方程式的标么制 定子侧基准值
发电机原始方程是针对三相电压、电流、磁链的瞬 时值列写的。 通常分别选取定子额定相电压、定子额定相电流的 幅值作为电压与电流瞬时值的基准值
0 rD 0
0 i f 0 i D iQ rQ
为交链到转子绕组的磁链
u D 0 , uQ 0 阻尼绕组为短路回路，
各绕组的磁链方程：
a Laa M b ba c M ca f M fa D M Da Q M Qa
2）定子绕组间的互感系数
300 或 1500 时， 互感为最大值； =600 或 ＝2400 时， 互感为最小值；
M ab [m0 m2 cos2( 300 )]
凸极机时定子绕组间的互感系数随转子旋 转以二倍频周期性变化
3）转子绕组的自感系数
转子上各绕组是随着转子一起转动的，无论是凸极 机还是隠极机，转子绕组的磁路中总是不变的，即 转子各绕组的自感系数为常数，令他们表示为：
M aD M bD M cD M fD LDD M QD
M aQ M bQ M cQ M fQ M DQ LQQ
ia i b ic if iD iQ
对磁链方程的分析：
定子绕组的 自感
标么值形式的磁链方程为：
7.3 同步电机的稳态运行
稳定运行时，定子三相电量均为正弦量
令 q轴为虚轴、d轴为实轴，并忽略定子绕组电阻，
jI x U d q q U q E q jI d x d
式中： 对角元素L为各绕组的自感系数， 非对角元素M为两绕组间的互感系数， M ab M ba , M af M fa 有等可逆关系。
M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb
M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc
M af M bf M cf L ff M Df M Qf
时间的正弦函数。
假设定子与转子具用光滑的表面，其槽与通风沟等不影响定子及转子 的电感。
a相磁链轴线
发电机励磁绕组中通入直流电流if，建立了磁场，在原动机的
作用下，发电机的空气隙中产生了旋转磁场，在其作用下钉子绕 组中感应出三相电势（即空载电动势）。
定子绕组在空间是静止的，而转子绕组是旋转的，定子abc三
磁链方程的派克变换形式
d Ld 0 q 0 0 3 f 2 maf D 3 2 maD Q 0
0 Lq 0 0 0 3 2 maQ
0 0 L0 0 0 0
maf 0 0 Lf mr 0
d dt
ra rb rc r
交链到每相绕组的磁链，由定子 电流和转子电流的合成磁势产生
励磁绕组及直轴和交轴阻尼绕组电压平衡方程：
f r f u f D 0 u D u Q 0 Q
M af M bf M cf L ff M Df M Qf
M aD M aD M cD M fD LDD M QD
M aQ ia M bQ ib M cQ ic M fQ i f M DQ iD LQQ iQ
课程简介
电力系统暂态分析主要内容： 电力系统短路的基本概念；(第8章） 电力系统三相短路电流分析计算；（第9章） 电力系统不对称短路电流分析计算；（第10、11章） 简单电力系统的静态稳定；（第13章） 简单电力系统的暂态稳定；（第14章）
课程特点
本课程主要研究电力系统发生故障后的电磁暂态过程和机 电暂态过程。要分析研究电力系统在暂态过程中各元件的模 型，尤其是发电机的暂态过程中和数学描述方法及不对称故
定子与励磁绕组、直轴阻尼绕组间
900 或＝2700时，互感为零； 00时，互感为正最大 ＝ 1800 时，互感为负最大
定字与交轴阻尼绕组间 转子q轴超前d轴90º
凸极机和隐极机时定子绕组与转子绕组互感系数随转 子旋转以同步频率周期性变化
7.1.2 电压方程及磁链方程
abc三相数学模型分析的困难
的转换，得到发电机的基本方程及其标么制形式；
结合相量图，对同步发电机的稳态运行进行了分析。
7.1 同步发电机的原始方程
• 7.1.1 前提条件 • 7.1.2 电压方程及磁链方程
7.1.1
前提条件
理想同步发电机的假定
电机铁芯部分的导磁系数为常数。 对直轴和交轴而言，电机转子的结构完全对称。 定子三相绕组结构完全相同，彼此互差 120度电角度，在气隙中产生 正弦分布的磁动势。 电机空载，转子恒旋转时，其磁通势在定子绕组中感应的空载电势是
U B 2U N I B 2I N
三相功率基准值为
S B 3U N I N 3 UB IB 3 UBIB 2 2 2
定子侧基准值
发电机阻抗、角速度、自感与互感、磁f N N LB M B Z B B B LB I B U B B tB 1 B
第二篇
电力系统两种运行方式 电力系统的稳态：电力系统正常的、三相对称运行状态的 分析和计算（如潮流计算），其运行变量变化很小，一般认
为运行参量均为常量。
电力系统的暂态：从一种稳定运行状态向另一种稳定运行 状态的过渡过程；暂态分析过渡过程中电压、电流、功率等 随时间的变化（如故障分析）
暂态过程产生的原因
变系数微分方程 分析困难
7.2
d、q、0坐标系统的发电机 基本方程
• 7.2.1 派克变换及d、q、0坐标系统
• 7.2.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程
• 7.2.3 同步电机派克方程式的标么制
7.2.1 派克变换及d、q、0坐标系统
美国工程师派克（park）于1929年提出了一种坐标变 换的方法。
定子绕组间的互感
a Laa b M ba c M ca f M fa M D Da Q M Qa
M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb
M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc
转子侧基准值
标么值形式的同步发电机的电压方程：
d q u d rS i d q d u q rS i q 0 u 0 rS io u f rf i f f D 0 rD i D Q 0 rQ iQ
障时各元件的序参数、序网图都是有一定难度的，在学习中
应特别注意掌握暂态过程的物理本质，也要熟悉掌握工程计 算的基本方法和相应的假设。
第7章 同步发电机的基本方程
7.1 同步发电机的原始方程 7.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程 7.3 同步电机的稳态运行 小结
本章提示
在一定前提条件下，提出同步发电机的原始方程； 通过派克变换，实现从a、b、c系统到 d、q、0坐标系统
相绕组电流产生的磁通通过空气隙和转子铁芯形成回路，与转子 发生电磁耦合，由于转子铁芯构造的不对称，所以定子绕组的自 感系数、绕组间的互感系数、以及定转子绕组的自感系数、绕组 间的互感系数都是时间的函数，随着转子位置不同而不同。 这使得发电机暂态过程的分析复杂得多。要严格的分析发电 机的暂态过程将是十分复杂的。
正方向的选取：
定子电流的正方向取为由发电机侧指向负荷侧
同步发电机各绕组电路图
7.1.2
电压方程及磁链方程
三相定子绕组电压平衡方程
a r 0 0 ia u a u 0 r 0 i b b b c u c 0 0 r i c
7.2.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程
电力系统在运行时常常受到各种扰动，如果扰动后电力系 统出现了异常，如停电等就是电力系统事故，最常见的有短 路故障、负荷投切，系统内的元件上发生不同相之间的或相 与地之间的短路故障（如绝缘破坏引起的匝间短路等）。 短路故障引起的短路电流比正常值要大得多，其冲击电流 和热效应损坏电气设备，同时短路故障改变了网络结构，因 而改变了发电机的输出功率，造成了发电机输出和输入的不 平衡，严重时可造成发电机组之间的失步，造成系统失去稳 定，因此必须对电力系统的各种暂态情况进行分析研究。
maD 0 id i 0 maQ q 0 0 i0 mr 0 if LD 0 iD 0 LQ iQ
电压方程的派克变换形式
d q u d rs i d q d u q rS i q o u o rS io f u f rf i f D 0 u D rD i D Q 0 u Q rQ iQ
转子绕组的 自感
定转子绕组间的互感
转子绕组间的互感
各绕组的磁链方程：
绕组的自感系数以及绕组间的互感系数，大部分是随角度的 变化而周期性变化，求解发电机的运行状态十分不便。
绕组的自感、互感系数
a相绕组磁路磁阻（磁导）的变化与转子d轴与a相绕组轴线的夹 角 有关 —— a 相轴线与直轴 d 轴的夹角 1）定子绕组的自感系数
0 = 270 或 时，自感为最小值； 90 0 =00 或 =180 时，自感为最大值；
0
Laa l0 l2 cos2
Lbb l0 l2 cos2( 1200 )
Lcc l0 l2 cos2( 1200 )
凸极机时定子绕组自感系数随转子旋转以二倍频周期性变化，
4）转子各绕组间的互感系数 同上述原因，它们也都是常数，而且纵轴绕组于横轴绕组相互垂直， 它们的互感为零，即：
L ff L f
LDD LD
LQQ LQ
M fD M Df mr
M fQ M Qf 0
M DQ M QD 0
转子各绕组的自感系数和互感系数均为常数
5）定子与转子间的互感系数
暂态过程的分类
波过程：与运行操作（如开关动作）及雷击时的过电压有 关，涉及电流和电压波的传播，过程最短暂（微秒-毫秒级）高电压技术 电磁暂态过程：与短路（断线）等故障有关，涉及工频电 流、电压幅值随时间的变化，持续时间较波过程长（毫秒-秒 ）-故障分析。 机电暂态过程：与系统振荡、稳定性破坏、异步运行等有 关，涉及发电机组功率角、转速、系统频率、电压等随时间 的变化，过程持续时间较长（秒-分钟）-稳定分析。
经过派克变换后，在d、q、0坐标系统中，发 电机的磁链方程组转化为线性代数方程组； 电压方程变为线性微分方程组，求解将大为简 化。
7.2.3 同步电机派克方程式的标么制 定子侧基准值
发电机原始方程是针对三相电压、电流、磁链的瞬 时值列写的。 通常分别选取定子额定相电压、定子额定相电流的 幅值作为电压与电流瞬时值的基准值
0 rD 0
0 i f 0 i D iQ rQ
为交链到转子绕组的磁链
u D 0 , uQ 0 阻尼绕组为短路回路，
各绕组的磁链方程：
a Laa M b ba c M ca f M fa D M Da Q M Qa
2）定子绕组间的互感系数
300 或 1500 时， 互感为最大值； =600 或 ＝2400 时， 互感为最小值；
M ab [m0 m2 cos2( 300 )]
凸极机时定子绕组间的互感系数随转子旋 转以二倍频周期性变化
3）转子绕组的自感系数
转子上各绕组是随着转子一起转动的，无论是凸极 机还是隠极机，转子绕组的磁路中总是不变的，即 转子各绕组的自感系数为常数，令他们表示为：
M aD M bD M cD M fD LDD M QD
M aQ M bQ M cQ M fQ M DQ LQQ
ia i b ic if iD iQ
对磁链方程的分析：
定子绕组的 自感
标么值形式的磁链方程为：
7.3 同步电机的稳态运行
稳定运行时，定子三相电量均为正弦量
令 q轴为虚轴、d轴为实轴，并忽略定子绕组电阻，
jI x U d q q U q E q jI d x d
式中： 对角元素L为各绕组的自感系数， 非对角元素M为两绕组间的互感系数， M ab M ba , M af M fa 有等可逆关系。
M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb
M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc
M af M bf M cf L ff M Df M Qf
时间的正弦函数。
假设定子与转子具用光滑的表面，其槽与通风沟等不影响定子及转子 的电感。
a相磁链轴线
发电机励磁绕组中通入直流电流if，建立了磁场，在原动机的
作用下，发电机的空气隙中产生了旋转磁场，在其作用下钉子绕 组中感应出三相电势（即空载电动势）。
定子绕组在空间是静止的，而转子绕组是旋转的，定子abc三
磁链方程的派克变换形式
d Ld 0 q 0 0 3 f 2 maf D 3 2 maD Q 0
0 Lq 0 0 0 3 2 maQ
0 0 L0 0 0 0
maf 0 0 Lf mr 0
d dt
ra rb rc r
交链到每相绕组的磁链，由定子 电流和转子电流的合成磁势产生
励磁绕组及直轴和交轴阻尼绕组电压平衡方程：
f r f u f D 0 u D u Q 0 Q
M af M bf M cf L ff M Df M Qf
M aD M aD M cD M fD LDD M QD
M aQ ia M bQ ib M cQ ic M fQ i f M DQ iD LQQ iQ
课程简介
电力系统暂态分析主要内容： 电力系统短路的基本概念；(第8章） 电力系统三相短路电流分析计算；（第9章） 电力系统不对称短路电流分析计算；（第10、11章） 简单电力系统的静态稳定；（第13章） 简单电力系统的暂态稳定；（第14章）
课程特点
本课程主要研究电力系统发生故障后的电磁暂态过程和机 电暂态过程。要分析研究电力系统在暂态过程中各元件的模 型，尤其是发电机的暂态过程中和数学描述方法及不对称故
定子与励磁绕组、直轴阻尼绕组间
900 或＝2700时，互感为零； 00时，互感为正最大 ＝ 1800 时，互感为负最大
定字与交轴阻尼绕组间 转子q轴超前d轴90º
凸极机和隐极机时定子绕组与转子绕组互感系数随转 子旋转以同步频率周期性变化
7.1.2 电压方程及磁链方程
abc三相数学模型分析的困难
的转换，得到发电机的基本方程及其标么制形式；
结合相量图，对同步发电机的稳态运行进行了分析。
7.1 同步发电机的原始方程
• 7.1.1 前提条件 • 7.1.2 电压方程及磁链方程
7.1.1
前提条件
理想同步发电机的假定
电机铁芯部分的导磁系数为常数。 对直轴和交轴而言，电机转子的结构完全对称。 定子三相绕组结构完全相同，彼此互差 120度电角度，在气隙中产生 正弦分布的磁动势。 电机空载，转子恒旋转时，其磁通势在定子绕组中感应的空载电势是
U B 2U N I B 2I N
三相功率基准值为
S B 3U N I N 3 UB IB 3 UBIB 2 2 2
定子侧基准值
发电机阻抗、角速度、自感与互感、磁f N N LB M B Z B B B LB I B U B B tB 1 B
第二篇
电力系统两种运行方式 电力系统的稳态：电力系统正常的、三相对称运行状态的 分析和计算（如潮流计算），其运行变量变化很小，一般认
为运行参量均为常量。
电力系统的暂态：从一种稳定运行状态向另一种稳定运行 状态的过渡过程；暂态分析过渡过程中电压、电流、功率等 随时间的变化（如故障分析）
暂态过程产生的原因
变系数微分方程 分析困难
7.2
d、q、0坐标系统的发电机 基本方程
• 7.2.1 派克变换及d、q、0坐标系统
• 7.2.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程
• 7.2.3 同步电机派克方程式的标么制
7.2.1 派克变换及d、q、0坐标系统
美国工程师派克（park）于1929年提出了一种坐标变 换的方法。
定子绕组间的互感
a Laa b M ba c M ca f M fa M D Da Q M Qa
M ab Lbb M cb M fb M Db M Qb
M ac M bc Lcc M fc M Dc M Qc
转子侧基准值
标么值形式的同步发电机的电压方程：
d q u d rS i d q d u q rS i q 0 u 0 rS io u f rf i f f D 0 rD i D Q 0 rQ iQ
障时各元件的序参数、序网图都是有一定难度的，在学习中
应特别注意掌握暂态过程的物理本质，也要熟悉掌握工程计 算的基本方法和相应的假设。
第7章 同步发电机的基本方程
7.1 同步发电机的原始方程 7.2 d、q、0坐标系统的发电机基本方程 7.3 同步电机的稳态运行 小结
本章提示
在一定前提条件下，提出同步发电机的原始方程； 通过派克变换，实现从a、b、c系统到 d、q、0坐标系统
相绕组电流产生的磁通通过空气隙和转子铁芯形成回路，与转子 发生电磁耦合，由于转子铁芯构造的不对称，所以定子绕组的自 感系数、绕组间的互感系数、以及定转子绕组的自感系数、绕组 间的互感系数都是时间的函数，随着转子位置不同而不同。 这使得发电机暂态过程的分析复杂得多。要严格的分析发电 机的暂态过程将是十分复杂的。
正方向的选取：
定子电流的正方向取为由发电机侧指向负荷侧
同步发电机各绕组电路图
7.1.2
电压方程及磁链方程
三相定子绕组电压平衡方程
a r 0 0 ia u a u 0 r 0 i b b b c u c 0 0 r i c