锐角三角函数优秀课件

c
a
b
a
A
b
C
cb
2、当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比， ∠A 的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？交流并 说出理由。
方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；
方法二：根据相似三角形的性质来说明。
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35m，求AB的长.
B
根据“在直角三角形中，
30°角所对的直角边等于斜
边的一半”，即
A
C
A斜 的边 对边 A BB C12.
可得 AB=2BC=70m，即需要准备70m长的 水管。
在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？
注意
▪ sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦， 记号里习惯省去角的符号“∠”；
▪ sinA没有单位，它表示一个比值，即直角 三角形中∠A的对边与斜边的比；
▪ sinA不表示“sin”乘以“A”。
例题示范
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 sinA和sinB的值．
B
B 试着完成图（2）
锐角A的正弦、余弦、 正切都叫做∠A的锐角三 角函数.
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
BC=6，sin A 3 ，求cosA和tanB的值． B
5
6
解： sin A BC ， AB
A
C
AB BC 6 5 10 . sin A 3
又 AC AB 2 BC 2 10 2 6 2 8,
90°，∠A＝∠A‘＝ ，那么 BC 与 B ' C ' 有什么关
AB
A'B '
系．你能解释一下吗？
B'
B
A
C A'
C'
由于∠C＝∠C’＝90°， ∠A＝∠A’＝
所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’
BC AB, B'C' A'B'
即BC B'C'. AB A'B'
探究
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数 一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与 斜边的比都是一个固定值．
cos A AC 4 ，tan B AC 4 .
AB 5
BC 3
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，
AB=3，求∠A，∠B的正弦、余弦、正切值． B
解：R在t ABC中，
3
2
AC AB2 BC2 32 22 5,
A
C
sinABC2， cosAAC 5， tanABC 2 2 5.
B' B
50m 30m
A
C C'
结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比 值都等于 1 。
2
如图，任意画一个Rt△ABC， A
使∠C＝90°，∠A＝45°，计
算∠A的对边与斜边的比 BC ，
你能得出什么结论？ AB
C
B
即在直角三角形中，当一个锐角等于45° 时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角 的对边与斜边的比都等于 2 。
2
综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，
当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 1 ， 2
是一个固定值；
当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2 ，
2
也是一个固定值.
一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的
对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝
正弦
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的
对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，
即
sinAA斜 的边 对边ac
c 斜边
B
a 对边
A
bC
例如，当∠A＝30°时，我们有
sinAsin30 1 2
当∠A＝45°时，我们有
sinAsin45 2 2
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
coAsA斜 的边 邻边 bc
斜边c
B 对边a
A 邻边b C
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的
正切（tangent），记作tanA， 即
tanA A A的 的邻 对边 边 ba
注意
▪ cosA，tanA是一个完整的符号，它表示 ∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符 号“∠”；
▪ cosA，tanA没有单位，它表示一个比值， 即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对 边与邻边的比；
3
13
5
A
4
C
(1)
C
A
(2)
解：如图1）（，在 RtABC中，
AB AC2 BC2 42 32 5.
因此sinA BC3， sinB AC4.
AB 5
AB 5
B
练习
3
1、如图，求sinA和sinB的值．
A
5
C
2、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0) 和B(0，-4)，则sin∠OAB等于__54 __.
锐角三角函数优秀课件
情
问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机 井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，
境 对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成
探
角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需 要准备多长的水管？
究
B
C A
思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？
这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.
▪ cosA不表示“cos”乘以“A”， tanA不表 示“tan”乘以“A”
sinAA斜 的边 对边ac coAsA斜 的边 邻边 bc tanA A A的 的邻 对边 边 ba
对于锐角A的每一 个确定的值，sinA有 唯一确定的值与它对 应，所以sinA是A的函 数。
同样地， cosA， tanA也是A的函数。
——正弦 正切
复习与探究：
在 RtABC中， C90
B 1.锐角来自百度文库弦的定义
c
A
b
a
∠A的正弦：
s
i
n AA 的 对 B边 C a 斜 边A Bc
C
2、当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之 确定。此时，其他边之间的比是否也随之确定？为 什么？
新知探索: 1、你能将“其他边之比”用比例的 B 式子表示出来吗？这样的比有多少？
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边
2
上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___2 .
4、在Rt△ABC中, ∠C=90°, a 3 ,
则sin∠A=___.
b3
5、如图，在△ABC中， AB=CB=5，sinA= 4 ，
求△ABC 的面积。
5
B
5
5
A
C
28.1锐角三角函数（2）