数学与经济生活

诸暨市草塔中学选修课程教材
编写说明
这本是知识拓展类校本教材，教材的编写紧密围绕增强学生主动学习能力和设计思维培养这条主线，以学校为主阵地，创新校本教育的工作形式，丰富校本教育载体；在生活中，充分挖掘教育资源，营造良好的育人氛围，旨在培养学生主动学习的能力，培养学生积极、向上的生活习惯和学习态度，使其在今后的选择中正确把握自己的方向，适应社会的变化。

教材编写思路有系统性，围绕设计这条主线，内容的编排上依循了由浅入深、循序渐进的原则，教材设计上强调学以致用，通过不同形式的参与，使课堂和社会紧密结合、知识和生活紧密结合、兴趣和能力紧密结合，在生活中不断增长见识。

本教材主要面向高一和高二学生编写，由于编写经验缺乏，难免有疏漏之处，敬请广大师生在使用过程中提出宝贵的意见和建议，以便进一步的修订和完善。

本教材未经允许，不得翻印。

主编朱宗芳
作者声明
1、本教材著作权归教材作者所有，未经作者授权，任何组织或个人不得以任何形式对本教材进行出版、发行。

2、本教材由作者授权在浙江教育资源网独家发布，其他组织和个人不得进行转载、发布。

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4、本教材存在的疏漏、错误之处敬请批评指正，欢迎相关专家老师与作者联系，共同参与本教材的研究和完善工作。

前言
数学是研究空间形式和数量关系的科学,是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。

数学科学是自然科学、科学技术等科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥越来越大的作用。

数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生活的方方面面，推动这社会生产力的发展。

数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。

数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民必须具备的一种基本素质。

数学与经济教育使学生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。

目录
第一章数学在经济学中的作用 (5)
第二章最优化问题 (8)
2．1 简单的线性规划 (8)
2．2 线性规划问题及其数学模型 (11)
第三章数列与分期付款 (13)
3.1 等差数列的前n项和 (13)
3.2 等比数列的前n项和 (18)
3.3 利息的计算 (21)
3.4 揭密分期付款 (24)
第四章博弈论 (28)
4.1 囚徒困境 (28)
4.2 概率与生活 (33)
4.3 小概率事件的应用 (37)
4.4 期望与方差 (46)
第一章数学在经济中的应用
一、数学与经济
随着社会的发展，数学与经济学相互促进共同发展已被越来越多的人认识和接受。

早在一百多年前，马克思就在用微积分来研究经济学。

近年来，数学在经济学中的应用日益广泛，大多数经济理论都是建立在数学理论和方法之上，全球经济一体化向数学提出了更高的要求，也为其提供了更广阔的发展空间。

1969—2001年间，共有49位学者获得诺贝尔经济学奖，其中，16位(占32．65％)拥有数学学位；27项成果(占55.1％)的数学运用达到特强；85.71％的奖项成果运用了数学方法。

在现代信息社会，数学与经济的结合日益密切，无数经济问题需要数学来解决，经济的发展又不断向数学提出新的挑战。

博弈论大师、著名数学教授约翰·纳什提出的“纳什均衡”及其后续理论不仅影响了数学界，而且改变着整个经济学乃至整个社会科学的面貌。

1994年，约翰·纳什教授因为对“非合作博弈均衡分析以及对博弈论的贡献，荣获诺贝尔经济学奖。

世界经济体制在信息社会中正处于深刻的变革时期，数学已经迎来了无限光明的前途。

二、数学在我国经济发展中的应用
1．应用于经济预测管理与决策优化
在经济和管理中，预测非常重要。

是管理资金投放、商品产销、人员组织等方面的决策依据。

经济的发展需要各种资源的优化组合，需要抉择目标和抉择经营管理方式，在多种策略中选取其一以获得最大利益。

这要求数学的目标函数达到极大，目标函数也可代表损失，于是要求它达到极小。

这类问题往往化为求目标函数的条件极值或者化为变分问题。

优选法、线性规划、非线性规划、最优控制等都致力于发展优化问题。

2．应用于资源开发与环境保护
通过数学理论和万法，可以分析人工地震的数据，以推断地质的构造，为探寻我国石油、天然气的储藏位置提供依据。

运用数理统计、Fourier分析、时间序列分析等数学方法，我国成功地开发了具有先进水平的地震数据处理系统。

近年来还用波动方程解的偏移叠加、逆散射等方法处理地震数据等。

另外，建立了一套地下水资源评价的理论和方法，取得了实际效益，并在农田灌溉及理论发展上得到许多成果。

数学工作者对江、湖、河口的污染扩散、土壤洗盐等问题成功地进行了分析和模拟；对于城市的交通、管理自然条件和社会的容纳力进行深入的发展预测和评价。

3．应用于信息处理和质量控制
电子商务已经成为经济发展的重要平台，在信息通讯中运用数学由来已久，如传统的编译码、滤波、呼唤排队等。

近年来，长途电话网络系统、移动通讯系统、国际互联网系统中出现的数学问题更为可观。

目前，我国应用数学原理，发展了计算机指纹自动识别，发展成功了新一代图像数据压缩技术，发展成功了计算机视觉，创造了从单幅图像定量恢复三维形态的代数方法、应用模式识别和信息论，在时间序列和信号分析的发展中取得新的进展。

应用代数编码，使计算机本身具有误差检测能力，提高了计算机的可靠性。

提高产品质量是国民经济中的一个关键问题，针对工业系统性能可靠性要求，产生了可靠性抽样检查、质量控制等新的数学方法，收到了良好的效果。

4．应用于设计与制造和大型工程
数学在制造业中的应用进入了新阶段。

数学设计技术和计算机技术密不可分，数学设计技术成果可应用于飞机、汽车、船体、机械模具、服装、首饰等设计。

可以运用数学原理，对各项工程设计以周密的计算来提供精确的数据，大型工程尤其如此。

我国数学家设计了一批工程计算专用程序，在国家重点工程建设中发挥了作用，如三峡水利工程是举世关注的超大型工程，其中一个严重的施工问题是大体积混凝土在凝结过程中化学反应产生的热，它使得坝体产生不均匀应力甚至形成裂缝，危害大坝安全。

以往的办法是花大量财力进行事后修补。

现在我国已研制成可以动态模拟混凝土施工过程中温度、应力和徐变的计算机软件。

人们可用计算方法分析、比较各种施工方案以实现工程最优化，还可用它来对大型工程建成后的运行进行监控和测算以保障安全。

5．应用于农业经济
我国数学工作者在分析了我国传统的生态农业思想与人类开发关系等问题之后，提出了一个生态农业经济发展及整治的理论框架与行动措施，建立了许多数学模型。

其中包括：一般水环境整治与扩建水电能源的投入产出与经济系统的优化、林业开发与土地资源开发等优化模型。

同时，我国运用数学、生物、化学与经济发展交叉的发展成果，建立了平原农业资源配置的数学模型和资源配置规划。

运用线性规划、对策论参数规划等数学工具，建立了多地区的种植业和畜牧业，制定最优的结构布局方案，采用模糊聚类分析方法，建立了水产业最优结构的模型，为农村剩余劳力提出了合理转移方案。

第二章 最优化问题
2．1 简单的线性规划
首先，请同学们来看这样一个问题.
设z =2x +y ，式中变量x 、y 满足下列条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x
求z 的最大值和最小值.
分析：从变量x 、y 所满足的条件来看，变量x 、y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域.
从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x =0，y =0时，z =2x +y =0. 点（0，0）在直线l 0：2x +y =0上.
作一组与直线l 0平行的直线（或平行移动直线l 0)l :2x +y =t ,t ∈R .
可知，当t 在l 0的右上方时，直线l 上的点（x ,y )满足2x +y ＞0,
即t ＞0.
而且，直线l 往右平移时，t 随之增大.
在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （5，2）的直线l 2所对应的t 最大，以经过点B （1，1）的直线l 1所对应的t 最小.
所以：z m ax =2×5+2=12,
z m in =2×1+3=3.
诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =2x +y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z =2x +y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.
那么，满足线性约束条件的解（x ,y )叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
请同学们结合课本来掌握图解法解决简单的线性规划问题.
（1）求z =2x +y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧-≥≤+≤.1,1,y y x x y
解：不等式组表示的平面区域如图所示：
当x =0,y =0时，z =2x +y =0
点（0，0）在直线l 0:2x +y =0上.
作一组与直线l 0平行的直线
l :2x +y =t ,t ∈R .
可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点A （2，-1）的直线所对应的t 最大.
所以z m ax =2×2-1=3.
（2）求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x
解：不等式组所表示的平面区域如图所示：
从图示可知，直线3x +5y =t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t 最小，以经过点（8
17,
89）的直线所对应的t 最大. 所以z m in =3×(-2)+５×(-1)=-11. z m ax =3×89+5×817
=14.
2．2 线性规划问题及其数学模型
一、问题的提出资源有限和目标确定
在生产管理和经营活动中，经常会遇到两类问题：一类是（资源有限）如何合理的使用现有的劳动力、设备、资金等资源，以得到最大的效益；另一类是（目标一定）为了达到一定的目标，应如何组织生产，或合理安排工艺流程，或调整产品的成分等，以使所消耗的资源（人力、设备台时、资金、原材料等）为最少。

例：(1)配载问题：某种交通工具（车、船、飞机等）的容积和载重量一定，运输几种物资，这些物资有不同的体积和重量，如何装载可以使这种运输工具所装运的物资最多？
(2)下料问题：某厂使用某种圆钢下料，制造直径相同而长度不等的三种机轴，采用什么样的下料方案可以使余料为最少？
(3)物资调运：某种产品有几个产地和销地，物资部门应太如何合理组织调运，从而既满足销地需要，又不使某个产地物资过分积压，同时还使运输费用最省？
(4)营养问题：各种食品所含营养成分各不相同，价格也不相等，食堂应该如何安排伙食才能既满足人体对各种营养成分得需要，同时又使消费者得经济负担最少？
此外，在地质勘探、环境保护……等方面也都有与上述情况类似的问题。

例1某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生素。

生产每吨药品所需要的维生素量分别为30K g，20K g，所占设备时间分别为5台班，1台班，该厂每周所能得到的维生素量为160k g，每周设备最多能开15个台班。

且根据市场需求，甲种产品每周产量不应超过4t。

已知该厂生产每吨甲、乙两种产品的利润分别为5万元及2万元。

问该厂应如何安排两种产品的产量才能使每周获得的利润最大？
解：设该厂每周安排生产甲、乙两种药品的产量分别为x 1,x 2吨，则有 例2
喜糖问题
设市场上有甲级糖和乙级糖，单价分别为20元/斤，10元/斤。

今要筹办一桩婚事，筹备小组计划怎样花费不超过200元，使糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不少于5斤。

问如何确定采购方案，使糖的总斤数最大。

解：设采购甲、乙两种糖各x 1,x 2斤,则
例3．投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？
分析：这是一个二元线性规划问题，可先将题中数据整理成下表，以方便理解题意：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥≥+≤++=0
50
2001020max 211212121x x x x x x x x x z
然后根据此表数据，设出未知数，列出约束条件和目标函数，最后用图解法求解
二、线性规划问题的数学模型
1.从上述两个例子可以看出，它们有3个共同点
(1)每个问题都有一组变量——称为决策变量
(2)都有一个关于决策变量的函数
(3)每个问题都有一组决策变量需满足的约束条件
2.线性规划问题定义：将约束条件及目标函数都是决策变量的线性函数的规划问题称
为线性规划问题。

3.建立线性规划问题的数学模型步骤
(1)确定问题的决策变量
(2)确定问题的目标，并表示为决策变量的线性函数
(3)找出问题的所有约束条件，并表示为决策变量的线性方程或不等式
4.线性规划的数学模型
假定线性规划问题中含n个变量，分别用x j(j=1,…,n)表示，在目标函数中，x j的系数为c j(通常称为价值系数)。

x j的取值受m项资源的限制，用b i(i=1,…,m)表示第i种
资源的拥有量，用a i j 表示变量x j 的取值为一个单位时所消耗或含有的第i 种资源的数量(通常称为技术系数或工艺系数)。

练习：甲乙两地生产某种产品他们可调出的数量分别为300t ,750t ,A ,B ,C 三地需要该产品的数量分别为200t ,450t ,400t .,甲地运往A ,B ,C 三地的费用分别为6元/t ,3元/t ,5元/t ，乙地为5元/t ,9元/t ,6元/t ,问怎样调运才能使总运费最省？
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧⋅⋅⋅=≥≥=≤+
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥=≤+⋅⋅⋅++≥=≤+⋅⋅⋅+
++⋅⋅⋅++=)
,,1(0
)
,(),(),(max(min)221122222121112121112211n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z j m
n mn m m n n n n n n
第三章 数列与分期付款 3.1 等差数列前n 项和
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成，陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

属于世界七大奇迹之一。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成(如右图) ，共有120层，奢靡之程度可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗？
著名的数学家高斯（德国 1777-1855）十岁时计算1+2+3+…+100的故事 归纳： 1．这是求等差数列1，2，3，…，100前100项和 2．高斯的解法是：前100项和2)
1001(100100+⨯=
S 即2
)(1n n a a n S +=
1．证明公式1：2
)
(1n n a a n S +=
证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②
①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=-- ∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ∴)(21n n a a n S += 由此得：2
)
(1n n a a n S += 例1 ：（1）、利用上述公式求1+2+3+…+120=?
（2）、已知：梯子的最高一级宽33cm ，共12级，且各级宽度构成公差为7的等差数列，计算各级宽度的和？
推导公式2
用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1 ，
?1n S d n a 直接求、、能否由
d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2
)1(1d
n n na S n -+= 此公式要求n S 必须具备三个条件：d a n ,,1
总之：两个公式都表明要求n S 必须已知n a d a n ,,,1中三个。

选用公式
根据下列条件，求相应的等差数列｛a n ｝的S n (1)、a 1=5 a n =95 n=10 （2）、a 1＝100 d=-2 n=5 （3）、a 1＝
23 a n ＝3
2
- n=14 （4）、a 1＝14.5 d=0.7 a n ＝32
等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的和为54？
解：设题中的等差数列为｛a n ｝，前n 项和为 S n ，由题意可知：a 1=－10 d=4 S n =54 由等差数列前n 项和公式可得：5442
)
1(10=⨯-+
-n n n 解之得：n=9 ， n=－3（舍去）
故等差数列－10，－6，－2，2，…前9项的和为54。

练习： ⑴
{}120,54,999,.
n n n a a a s n ===在等差数列中，求
⑵某长跑运动员７天里每天的训练量（单位：m）是：
这位长跑运动员７天共跑了多少米？
⑶已知梯子的各级宽度成等差数列，且最上面一级为33cm,公差为7（从上到下）则此梯子的前4级，中4级，后4级的和各是多少？你能发现什么规律吗？
3.2 等比数列的前n 项和
从前，一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比上一天多一万；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是上一天的两倍，30天后互不相欠。

穷人听后觉得挺划算，但怕上当受骗，所以很为难。

请同学们思考一下,帮穷人出个主意.
两个和式：
从第二项起每一项比前一项多乘以2. 从而有：
3029432302222222++++++= T
如何求等比数列}{n a 的前n 项和n S ：
112111-++++=n n q a q a q a a S
将112111-++++=n n q a q a q a a S 两边同时乘以公比q 后会得到
n
n q a q a q a q a qS 1312
11++++= ，两个等式相减后，哪些项被消去，还剩下哪些项，剩下项的符号有没有改变？这些都是用错位相减法求等比数列前n 项和的关键所在，让学生先思考，再讨论，最后师用多媒体予以突出强调，加深印象！
两等式作差得到)1()1(1n
n q a S q -=-时，肯定会有学生直接得到
① 30321S 30
++++=②
T 29283230222221++++++=29283230222221++++++= T
q
q a S n n --=
1)
1(1，师不忙揭露错误，等一会用练习反馈这个易错知识点，从而掌握公式的本质！
练习1. 用等比数列求和公式求和：
)
5100(555)23333)11009
329相加个 ++=++++=S S
从而得到：等比数列}{n a 前n 项和n S 公式应为：⎪⎩
⎪
⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n .
练习2.求和： 1)
.}{,192,2,6,}{)21n n n n S n a a q a a 项和前求中等比数列===
注：①练习1）中数列的项数的确定是很容易失误的地方，学生误解为是19项。

从而强调求和公式n S 中的“n ”指的是项数.另外，还要指出等比数列求和公式中的公比q 的指数是“n ”，而等比数列通项公式11-=n n q a a 的公比q 的指数是“1-n ”. ②练习2）的目的在于引出等比数列求和的第二个公式形式：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≠--=--==)1(11)1()
1(111q q q a a q q a q na S n n n ，根据所给条件选择哪个求和公式进行求解。

:
)221(2128++++= 29
28
3230222221++++++= T 2928
3230222221++++++= T 2
1121
1(12
12121120192--
⨯=++++
)2(212930-+=T
123030-=∴T
1
1212111--+++++=n n n q a q a q a q a a S )(2121111-+++++=n q a q a q a a q a )
(111--+=n n q a S q a n
n q a a S q 11)1(-=-∴⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=≠--=∴1
11)
1(1
1q na q q
q a S n n
3.3单利与复利的计算
复利计算和单利计息的差别在于，单利计算方法中期限是在括号中与年利率直接相乘；而在复利计算中，期限是作为指数，在括号之外的。

如果投资的期限相同，而且投资的年利率也一样，那么前者的值要大于后者的值，因此，在复利计息方式下计算出来的到期还本付息额要大于单利方式下计算出来的数值，并且期限越长，这两个值之间的差额越大。

同样是100元的资金，每年的利率都是2.00%，用单利法和复利法分别进行投资，期限越长，差距越大。

原因是在复利法下所得到的利息收入被不断地再投资并且不断地得到新的收益。

那么为什么会有单利法和复利法之间的差别呢？单利法计算简单，操作容易，也便于理解，因此银行存款计息和到期一次还本付息的国债都采取单利计息的方式。

但是对于投资者而言，每一期收到的利息都是会进行再投资的，不会有人把利息收入原封不动地放在钱包里，至少存入银行也是会得到活期存款的收益的。

因此复利法是更为科学的计算投资收益的方法。

特别是复利法的现值计算，这个公式决定了你当前应该付出多少资金来取得未来固定的收入，所有对债券定价的分析，都是围绕着这个问题而展开的。

单利情况:了银行的储蓄存款利率都是按照单利计算的。

所谓单利，就是只计算本金在投资期限内的时间价值（利息），而不计算利息的利息。

这是利息计算最简单的一种方法。

单利利息的计算公式为：I=P0×r×n其中：I为到期时的利息，P0为本金，r 为年利率，n为期限；
例：Peter的投资回报Peter现在有一笔资金1 000元，如果进行银行的定期储蓄存款，期限为3年，年利率为2.00％，那么，根据银行存款利息的计算规则，到期时Peter 所得的本息和为：
没1 000＋1 000×2.00％×3＝1 060（元）。

按照每年2.00%的单利利率，1 000元本金在3年内的利息为60元。

那么反过来说，如果按照单利计算，3年后的1 060元相当于现在的多少资金呢？这就是所谓的“现值”问题。

现值，是在给定的利率水平下，未来的资金折现到现在时刻的价值，是资金时间价值的逆过程。

按照单利法，从将来值计算现值的方法很简单。

我们以Vp表示现值，Vf表示将来值，则有Vf=Vp×（1+r×n）这里r表示投资的利率，n表示期限，通常以年为单位。

把这个公式反过来，就得到现值的计算公式：例：Peter的投资回报Peter想在3年后收入1 060元，那么他现在应该存多少钱进入银行？银行当前的3
年期存款年利率为2.00％，那么，根据单利现值的计算公式Peter现在就要存入1 000元才能保证3年后有1 060元的收入。

复利情况:所谓复利，是指在每经过一个计息期后，都要将所生利息加入本金，以计算下期的利息。

这样，在每一计息期，上一个计息期的利息都要成为生息的本金，即以利生利，也就是俗称的“利滚利”。

例：Peter的投资回报Peter的一笔资金的数额为1 000元，银行的1年期定期储蓄存款的利率为2.00％。

Peter每年初都将上一年的本金和利息提出，然后再一起作为本金存入1年期的定期存款，一共进行3年。

那么他在第3年末总共可以得到多少本金和利息呢？这项投资的利息计算方法就是复利。

在第一年末，共有本息和为：
1 000+1 000×2.00％＝1 020（元）
随后，在第一年末收到的本息和作为第二年初的投资本金，即利息已被融入到本金中。

因此，在第二年末，共有本息和为：1 020＋1 020×2.00％＝1 040.40（元）依此类推，在第三年末，共有本息和为：1 040.40＋1 040.40×2.00％＝1 061.21（元）复利计息方式下到期的本息和的计算原理就是这样。

这种方法的计算过程表面上太复杂了，但事实并非如此。

上述的Peter资金本息和的计算过程实际上可以表示为：1
000×（1＋2.00％）×（1＋2.00％）×（1＋2.00％）＝1 000×（1＋2.00％）3＝1 061.21（元）
和单利法一样，我们以Vp表示现值，Vf表示将来值，则有Vf=Vp×（1+r）n这里r表示投资的利率，n表示期限，通常以年为单位。

把这个公式反过来，就得到现值的计算公式：
例：Peter的投资回报Peter想在三年后收入1 061.21元，如果按照复利的投资方法，他现在应该存多少钱进入银行？银行当前的1年期存款利率为2.00％，那么，根据复利现值的计算公式：Peter现在就要存入1 000元才能保证3年后有1 061.21元的收入。

当然，Peter必须每年都把本金和利息收入合并起来进行新的投资，才会得到1 061.21元这个结果。

3.4 揭密分期付款
现今，人们生活水平提高了，消费观念也发生了改变，贷款购物、分期付款已深入到我们的生活，不再陌生。

分期付款方式在今天的商业活动中应用日益广泛，你可以贷款买房，买车；助学贷款，旅游贷款，甚至我们还可以贷款买电视，电脑，MP3，MP4…等等。

你知道什么叫分期付款吗？你的身边有分期付款的例子吗？
贷款买电脑有人采用分期付款，贷款买房子叫按揭，也是分期付款的例子。

可见，花明天的钱圆今天的梦，这种想法已经得到认可。

俗话说：有贷有还，再贷不难，贷款不还，法院就会找你麻烦；借了钱，就要准备还，如何借，怎么还呢？平常这些问题是你们父母去考虑，今天这节课我们一起来帮你父母考虑。

从银行了解到有关分期付款的规定：
1．在分期付款中，每月的利息均按复利计算；（月利率是0.4575％）
2．分期付款中规定每期所付款额相同；这些规定简单记为月均等额还本付息；
3．在分期付款中，一般一个月为一期。

4. 分期付款时，每一期所还的款相当于存在银行里，所以每期还给银行的款额如同本金也会随着时间推移而不断增值；
5. 从贷款之日起，到最后一期还款付清时，贷款总额本息与每期所还款本息和是相等的。