多元统计分析课后习题解答第四章

第四章判别分析

4.1 简述欧几里得距离与马氏距离的区别和联系。

答：设p维欧几里得空间中的两点X=和Y=

。则欧几里得距离为

。欧几里得距离的局限有①在多元数据分析中，其度量不合理。②会受到实际问题中量纲的影响。

设X,Y是来自均值向量为，协方差为

的总体G中的p维样本。则马氏距离为D(X,Y)=

。当

即单位阵时，D(X,Y)=

=即欧几里得距离。

因此，在一定程度上，欧几里得距离是马氏距离的特殊情况，马氏距离是欧几里得距离的推广。

4.2 试述判别分析的实质。

答：判别分析就是希望利用已经测得的变量数据，找出一种判别函数，使得这一函数具有某种最优性质，能把属于不同类别的样本点尽可能地区别开来。设R1，R2，…，Rk 是p 维空

间R p 的k 个子集，如果它们互不相交，且它们的和集为，则称为的

一个划分。判别分析问题实质上就是在某种意义上，以最优的性质对p 维空间构造一个

“划分”，这个“划分”就构成了一个判别规则。

4.3 简述距离判别法的基本思想和方法。 答：距离判别问题分为①两个总体的距离判别问题和②多个总体的判别问题。其基本思想都是分别计算样本与各个总体的距离（马氏距离），将距离近的判别为一类。 ①两个总体的距离判别问题

设有协方差矩阵∑相等的两个总体G 1和G 2，其均值分别是μ1和μ2，对于一个新的样品X ，要

判断它来自哪个总体。计算新样品X 到两个总体的马氏距离D 2（X ，G 1）和D 2

（X ，G 2），则

X ，D 2

（X ，G 1）

D 2（X ，G 2）

X

，D 2（X ，G 1）> D 2

（X ，G 2，

具体分析，

记则判别规则为

2212(,)(,)

D G D G -X X 111122111111

11122211121112

2()()()()

2(2)2()-----------''=-----''''''=-+--+'''=-+-X μΣX μX μΣX μX ΣX X ΣμμΣμX ΣX X ΣμμΣμX ΣμμμΣμμΣμ11211212112122()()()2()

22()2()

---''=-++-'

+⎛

⎫=--- ⎪⎝⎭

''=--=--X ΣμμμμΣμμμμX ΣμμX μααX μ()()W '=-X αX μ

X ，W(X)

X ，W(X)<0

②多个总体的判别问题。

设有k 个总体k G G G ,,,21Λ，其均值和协方差矩阵分别是和k ΣΣΣ,,,21Λ，且ΣΣΣΣ====k Λ21。计算样本到每个总体的马氏距离，到哪个总体的距离最小就属于哪个总体。

具体分析，

取ααμΣI 1-=，αααμΣμ1

2

1-'-=C ，k ,,2,1Λ=α。

可以取线性判别函数为

，k ,,2,1Λ=α 相应的判别规则为若

4.4 简述贝叶斯判别法的基本思想和方法。

基本思想：设k 个总体，其各自的分布密度函数)(,),(),(21x x x k f f f Λ，假设k 个总体各自出现的概率分别为k q q q ,,,21Λ，0≥i q ，

11

=∑=k

i i

q

。设将本来属于i G 总体的样品

错判到总体j G 时造成的损失为)|(i j C ，。

设k 个总体相应的p 维样本空间为),,,(21k R R R R Λ=。 在规则R 下，将属于的样品错判为j G 的概率为

x x d f R i j P j

R i )(),|(⎰=j i k

j i ≠=,,2,1,Λ

k μμμ,,,21Λ21

(,)()()D G ααα-'=--X X μΣX μ111122()C α

ααα

α----'''=-+''=-+X ΣX μΣX μΣμX ΣX I X ()W C αα

α'=+X I X i G ∈X 1()max()i k

W C α

αα≤≤'=+X I X k G G G ,,,21Λk j i ,,2,1,Λ=k G G G ,,,21Λi G

则这种判别规则下样品错判后所造成的平均损失为

∑==k

j R i j P i j C R i r 1

)],|()|([)|(k i ,,2,1Λ=

则用规则R 来进行判别所造成的总平均损失为

∑==k

i i R i r q R g 1

),()(

∑∑===k i k

j i R i j P i j C q 1

1

),|()|(

贝叶斯判别法则，就是要选择一种划分，使总平均损失)(R g 达到极小。 基本方法：∑∑===

k i k

j i R i j P i j C q R g 1

1),|()|()(

x x d f i j C q k

i k

j R i i j

∑∑⎰===1

1

)()|(

∑⎰∑===k j R k

i i i j

d f i j C q 1

1

))()|((x x

令

，则∑⎰

==k

j R j j

d h R g 1

)()(x x

若有另一划分),,,(**2*1*

k

R R R R Λ=，∑⎰

==k

j R j j

d h R g 1

*

*)()(x x

则在两种划分下的总平均损失之差为

∑∑⎰

==⋂-=-k i k

j R R j i j

i d h h R g R g 11

*

*)]()([)()(x x x

因为在i R 上)()(x x j i h h ≤对一切j 成立，故上式小于或等于零，是贝叶斯判别的解。 从而得到的划分

)

,,,(21k R R R R Λ=为

k i ,,2,1Λ=

4.5 简述费希尔判别法的基本思想和方法。

答：基本思想：从k 个总体中抽取具有p 个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个线性判别函数

k R R R ,,,21Λ1

(|)()()k i

i

j

i q C j i f h ==∑x x 1{|()min ()}

i i j j k

R h h ≤≤==x x x