数值分析第六章 插值法

拉格朗日插值多项式
两个插值点可求出一次插值多项式,而三 个插值点可求出二次插值多项式。插值点增加到n+1 个时,也就是通过n+1个不同的已知点 ( xi , yi )(i 0,1,, n) ,来构造一个次数为n的代数多项式P(x)。与推导线性插 值的基函数类似,先构造一个特殊n次多项式 li ( x) 的插 值问题,使其在各节点 x i 上满足
(7–4)(7–9) p 2( 7 ) = (1–4)(1–9) (7–1)(7–4) + (9–1)(9–4) = 2.7
y0=1, y1=2, y2=3
*1 + *3 (7–1)(7–9) (4–1)(4–9)
*2
例6.4 已知f (x)的观测数据
x f (x) 0 1 1 9 2 23 4 3
a0 , a1 ,, an 的n+1阶线性方 这是一个关于待定参数 惟一性说明，不论用何种方法来构造，也不论用何种 程组 形式来表示插值多项式 ,其系数矩阵行列式为 ,只要满足插值条件(6.1)其结 果都是相互恒等的。
V
1 x0 1 x1 1 xn
2 x0 x12
n x0 x1n
( xi ) f ( xi )
(i 1, 2,
, n)
(6.1)
则称 ( x) 为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插函数, 点
xi为插值节点, 称(6.1)式为插值条件, 而误差函数
R(x)= f ( x) ( x) 称为插值余项, 区间[a, b]称为插值 区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插
都是n次 l k ( x) 的零点,故可设
lk ( x) Ak ( x x0 )(x x1 )( x xk 1 )(x xk 1 )( x xn )
其中 Ak 为待定常数。由条件 lk ( xk ) 1 ,可求得 Ak
Ak ( xk x j ) 1
j 0 j k n
于是
Ak
1
(x
j 0 j k
n
k
xj)
代入上式,得
(x x )
lk ( x)
n
(x
j 0 j k
j 0 j k n
j
k
xj )

j 0 j k
n
x xj xk x j
称
l k ( x) 为关于基点
x i 的n次插值基函数(i=0,1,…,n)
为了构造满足插值条件 p( xi ) f ( xi ) (i=0,1,2,…,n ) 的便于使用的插值多项式P(x),先考察几种简单情形, 然后再推广到一般形式。（ 线性插值与抛物插值） （1）线性插值
线性插值是代数插值的最简单形式。假设给定了函数
f(x)在两个互异的点的值，x0
x1
y0 f ( x0 ), y1 f ( x1 )
以n+1个n次基本插值多项式
l k ( x)(k 0,1,, n)
为基础,就能直接写出满足插值条件
P( xi ) f ( xi ) (i 0,1,2,, n) 的n次代数插值多项式。
P( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 ln ( x) yn
事实上，由于每个插值基函数 l k ( x)(k 0,1,, n)
a1 x a0
满足
P( xi ) f ( xi )
(i 0,1,2,, n)
则称P(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称
为代数插值法。其几何意义如下图所示
y y=P(x) y=f(x)
y1 x0 x1
yn xn x
定理6.1 n次代数插值问题的解是存在且惟一的
( x 0)(x 1)(x 4) 1 3 5 2 l 2 ( x) x x x (2 0)(2 1)(2 4) 4 4
( x 0)(x 1)(x 2) 1 3 1 2 1 l 3 ( x) x x x (4 0)(4 1)(4 2) 24 8 12
x
2 n
n xn
( xi x j )
i 1 j 0
n
i 1
称为Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj （当i≠j），故V≠0。根据解线性方程组的克莱姆 （Gramer）法则，方程组的解 a0 , a1 ,, an
存在惟一，从而P(x)被惟一确定。
§6.3 拉格朗日（Lagrange）插值
n

例6.2 已知y=f(x)的函数表 X 1 y 1
3 2
求线性插值多项式, 并计算x=1.5 的值 解: 由线性插值多项式公式得 x x0 x x1 p( x) y0 y1 x 0 x1 x1 x 0
xຫໍສະໝຸດ Baidu x 1 1 1 2 ( x 1) 1 3 3 1 2 f (1.5) p (1.5) 1.25
都是n次值多项式,所以他们的线性组合
P( x)
l
k 0
n
k
( x) y k
（6.8）
是次数不超过n次的多项式 , 称形如（6.8）式的插
值多项式为n次拉格朗日插值多项式。并记为 Ln ( x)
引入记号
n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )
( x xn )
(6.10)
例6.1 已知 100 10 , 121 11 , 求 y 115 解: 这里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11, 利用线性插值
x 121 x 100 p( x) 10 11 100 121 121 100
y 115 p(115) 10.714
证明: 设n次多项式
P( x) an x an1 x
n
n1
a1 x a0
是函数 y f ( x) 在区间[a, b]上的n+1个互异的节点 x i (i=0,1,2,…,n )上的插值多项式,则求插值多项式P(x) 的问题就归结为求它的系数 a i(i=0,1,2,…,n )。
为了便于推广，记 这是一次函 数,且有性质
x x0 x x1 l 0 ( x) , l1 ( x) x0 x1 x1 x0
l0 ( x0 ) 1, l0 ( x1 ) 0 l1 ( x0 ) 0 , l1 ( x1 ) 1
l0 ( x) l1 ( x) 1
第六章
§ 6.1 引言 问题的提出
插值法
– 函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 即在 某个区间[a, b]上给出一系列点的函数值 yi= f(xi) – 或者给出函数表
x y
x0 y0
x1 y1
x2 y2
…… ……
xn yn
y=p(x)
y=f(x)
插值法的基本原理
设函数y=f(x)定义在区间[a, b]上, x0 , x1 ,, xn 是 [a, b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值 为已知 f ( x0 ), f ( x1 ),, f ( xn ) f(x)的近似函数 ( x) ,满足 , 即 yi f ( xi ) 若存在一个
y=f(x) p(x)=ax+b A(x.0,f(x.0)) B(x.1,f(x.1))
的直线近似地代替曲线 y=f(x)由解析几何知道, 这条直线用点斜式表示为
y1 y0 p ( x) y 0 ( x x0 ) x1 x0
x x0 x x1 p ( x) y0 y1 x0 x1 x1 x0
n

例6.5
已知f(x)的观测数据 x 1 2 3 4
f(x) 0 -5 -6 3 构造插值多项式
解: 四个点可以构造三次插值多项式, 将数据 代入插值公式，有
p( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 l2 ( x) y2 l3 ( x) y3 x 4x 3
插值函数 ( x) 在n+1个互异插值节点
处与 f ( xi ) 相等,在其它点x就用 ( x) 的值作为f(x) 的近似值。这一过程称为插值，点x称为插值点。换 句话说, 插值就是根据被插函数给出的函数表“插出” 所要点的函数值。用 ( x) 的值作为f(x)的近似值,不仅希
xi
(i=0,1,…,n )
构造Lagrange插值多项式
解 四个点可构造三次Lagrange插值多项式:基函数为 ( x 1)(x 2)(x 4) 1 3 7 2 7 l 0 ( x) x x x 1 (0 1)(0 2)(0 4) 8 8 4
( x 0)(x 2)(x 4) 1 3 8 2 l1 ( x) x 2x x (1 0)(1 2)(1 4) 3 3
由插值条件: p( xi ) f ( xi ) (i=0,1,2,…,n),可得
a n x0 n a n 1 x0 n 1 a1 x0 a 0 f ( x0 ) n n 1 a n x1 a n 1 x1 a1 x1 a 0 f ( x1 ) a x n a x n 1 a x a f ( x ) n 1 n 1 n 0 n n n
l k ( xi ) ki
1 0
k 0,1
(i k ) (i k )
l 0 ( x) 与 l1 ( x) 称为线性插值基函数。且有
l k ( x)
j 0 j k 1
x xj xk x j
,
于是线性插值函数可以表示为与基函数的线性组合
p( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1
,现要求用线性函数 p( x) ax b 近似地代替f(x)。选 择参数a和b, 使 p( xi ) f ( xi )(i 0,1)。称这样的线性函数 P(x)为f(x)的线性插值函数 。
线性插值的几何意义:用
通过点
A( x0 , f ( x0 ))
和 B( x1 , f ( x1 ))
Lagrange插值多项式为
L3 ( x)
y
k 0
3
k k
l ( x)
l0 ( x) 9l1 ( x) 23l2 ( x) 3l3 ( x)
11 3 45 2 1 x x x 1 4 4 2 为便于上机计算,常将拉格朗日插值多项式(6.8)改写成
n x xi Ln ( x) yk i 0 xk xi k 0 ik
lk ( x0 ) 0, , lk ( xk 1 ) 0, lk ( xk ) 1, lk ( xk 1 ) 0, , lk ( xn ) 0
1 (i k ) l k ( xi ) ki 0 (i k )
即
由条件 l k ( xi ) 0 ( i k )知, x0 , x1 ,, xk 1 , xk 1 ,, xn
则得 1 ( xk ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn ) n
于是
n1 ( x) Ln ( x) yk 1 ( xk ) ( x xk )n k 0
n
(6.11)
n x xi Ln ( x) yk i 0 xk xi k 0 ik
例6.3 已知x=1, 4, 9 的平方根值, 用抛物插值公式,
求
7
(x–x1)(x–x2) (x–x0)(x–x2) p2(x) = (x –x )(x –x ) y0 + y1 0 1 0 2 (x1–x0)(x1–x2) (x–x0)(x–x1) + y2 (x2–x0)(x2–x1)
x0=1, x1=4, x2=9
望 ( x) 能较好地逼近f(x),而且还希望它计算简单 。由
于代数多项式具有数值计算和理论分析方便的优点。所
以本章主要介绍代数插值。即求一个次数不超过n次的多
项式。
P( x) an x an1 x
n
n1
a1 x a0
P( x) an x an1 x
n
n1