离散数学图论2路与连通
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第七章 图论-1
1
引言
7.1 图的基本概念 7.2 路与连通 7.3 图的矩阵表示 7.4 最短路径问题 7.5 图的匹配 8.1 Euler图和Hamilton图 8.2 树 8.3 生成树 8.4 平面图
返回 结束
7.2 路与连通
2
内容：图的通路，回路，连通性。
重点：
1、通路，回路，简单通路，回路,初级通路，回路的定义 2、图的连通性的概念 3、短程线，距离的概念。
…………
返回 结束
7.2.1 路
9
例1、(2)
图(2)中过 v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
来自百度文库
初级回路(圈)
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
初级回路(圈)
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 复杂回路
…………
返回 结束
距离d vi , v j 满足： (1) d vi , vj 0 ，vi v j 时，等号成立。 (2) d vi , vj d vj , vk d vi ,vk 若是无向图，还具有对称性，d (vi , v j ) d (v j , vi ) 。
返回 结束
7.2.2 图的连通性
15
3、无向图的连通。
7.2.1 路
10
5、图中最短的回路
无向图中，环构成的回路长为1 ，两平行边构成的回路长为2。 有向图中，环构成的回路长为1，两条方向相反的边构成的回路长 为2。
如图：
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7.2.1 路
11
6、性质
定理：在一个 n 阶图中，若从顶点vi 到 v j存在 路 (vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于 n 1的路。
例1、(1)
图(1)中，从 v1到 v6 的路有： 1 v1e1v2e5v5e7v6 2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
长度3 长度6 长度6
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7.2.1 路
7
例1、(1)
图(1)中，从 v1到 v6 的通路有： 1 v1e1v2e5v5e7v6 2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
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7.2.1 路
8
例1、(2)
图(2)中过 v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
u1
v1
v4
u2 v2
v1
u4
G2v3
uu13
u2
v4
v2
v3
u4
u3
连通图可以看成是只有一个连通分支的图，即 w(G) 1 。
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7.2.2 图的连通性
17
4、有向图的连通
强连通—— G 中任一对顶点都互相可达 (双向)
v5 e3
e6
v4 e4
G
e1 e5 v2
v3
v1e1v2e5v3e4v4e3v5e6v2 v1e2v5e3v4e4v3e5v2
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7.2.1 路
4
2.简单通路、简单回路 边不同
简单通路 (迹)：路中所有的边都不同 简单回路 (闭迹)：回路中所有的边都不同 复杂通路 (回路)：路（回路）中有重复的边出现
证明思路：多于n-1条边的路中必有重复出现的结点，反
复删去夹在两个重复结点之间的边之后，剩余的边数不会
超过n-1条边。
推论： 在一个 n 阶图中，若从顶点vi 到 v j存在
通路(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
n 1的初级通路。
返回 结束
7.2.1 路
6、性质
定理： 在一个 n 阶图中，若vi 到自身存在回路， 则从 vi 到自身存在长度小于等于n 的回路。 推论：在一个 n 阶图中，若vi 到自身存在一个 简单回路，则从vi 到自身存在长度小于等于 n
(注意方向) 2、短程线，距离。
短程线——连通或可达的两点间长度最短的 路。
距离——短程线的长度，
d (vi , v j ) 无向图
记
d vi , v j 有向图
返回 结束
7.2.2 图的连通性
14
2、短程线，距离
若 vi , v j 之间无路(或不可达)，规定
d(vi , vj ) d vi , vj
的初级回路。
由以上定理可知，在 n 阶图中，
任何一条初级通路的长度 n 1 任何一条初级回路的长度 n
12
返回 结束
7.2.2 图的连通性
13
7.2.2 图的连通性
1、连通，可达。
无向图中，从vi 到 v j存在路，称 vi 到 v j 是 连通的(双向)。
有向图中，从vi 到 v j存在路，称 vi 可达 v j。
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7.2.1 路
3.初级通路、初级回路
初级（基本）通路，初级回路：点不同 初级通路 (路径)：路中所有的顶点互不相同 初级回路 (圈)：回路中所有的顶点互不相同
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)，
但反之不真。
4、路，回路 的长度—— 中边的数目。
5
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7.2.1 路
6
例1、(1)
G为连通图—— G 是平凡图，或 G 中任两点都是连通的。
G为非连通图—— G 中至少有两点不连通。
例
u1
v1
u2
v4
v2
G1
u4
G2v3
u3
G3
这里 G1是连通图，G2是非连通图，仅有一个顶点的图 G3 我们 也把它看成是连通图。
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7.2.2 图的连通性
16
3、无向图的连通
结点之间的连通性是结点集V上的等价关系，对应该等价关系， 必可将作出一个划分，把V分成非空子集V1, V2, …, Vm,使得两个结 点vj和vk是连通的，当且仅当它们属于同一个Vi 。把子图G(V1) , G(V2) , …, G(Vm)称为图G的连通分支（connected components）,图 G的连通分支数记为W(G) 。如上例中图 的连通分支个数就是2
返回 结束
7.2.1 路
3
1、路 (回路)
—— G 中顶点和边的交替序列 v0e1v1e2 L elvl
，其中 ei (vi1, vi )(无向图)， 或 ei vi1, vi (有向图)， v0 ——始点，vl ——终点，称 为 v0到 vl 的路。当 v0 vl 时， 为回路。
e2 v1
1
引言
7.1 图的基本概念 7.2 路与连通 7.3 图的矩阵表示 7.4 最短路径问题 7.5 图的匹配 8.1 Euler图和Hamilton图 8.2 树 8.3 生成树 8.4 平面图
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7.2 路与连通
2
内容：图的通路，回路，连通性。
重点：
1、通路，回路，简单通路，回路,初级通路，回路的定义 2、图的连通性的概念 3、短程线，距离的概念。
…………
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7.2.1 路
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例1、(2)
图(2)中过 v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
来自百度文库
初级回路(圈)
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
初级回路(圈)
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 复杂回路
…………
返回 结束
距离d vi , v j 满足： (1) d vi , vj 0 ，vi v j 时，等号成立。 (2) d vi , vj d vj , vk d vi ,vk 若是无向图，还具有对称性，d (vi , v j ) d (v j , vi ) 。
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7.2.2 图的连通性
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3、无向图的连通。
7.2.1 路
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5、图中最短的回路
无向图中，环构成的回路长为1 ，两平行边构成的回路长为2。 有向图中，环构成的回路长为1，两条方向相反的边构成的回路长 为2。
如图：
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7.2.1 路
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6、性质
定理：在一个 n 阶图中，若从顶点vi 到 v j存在 路 (vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于 n 1的路。
例1、(1)
图(1)中，从 v1到 v6 的路有： 1 v1e1v2e5v5e7v6 2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
长度3 长度6 长度6
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7.2.1 路
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例1、(1)
图(1)中，从 v1到 v6 的通路有： 1 v1e1v2e5v5e7v6 2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
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7.2.1 路
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例1、(2)
图(2)中过 v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
u1
v1
v4
u2 v2
v1
u4
G2v3
uu13
u2
v4
v2
v3
u4
u3
连通图可以看成是只有一个连通分支的图，即 w(G) 1 。
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7.2.2 图的连通性
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4、有向图的连通
强连通—— G 中任一对顶点都互相可达 (双向)
v5 e3
e6
v4 e4
G
e1 e5 v2
v3
v1e1v2e5v3e4v4e3v5e6v2 v1e2v5e3v4e4v3e5v2
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7.2.1 路
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2.简单通路、简单回路 边不同
简单通路 (迹)：路中所有的边都不同 简单回路 (闭迹)：回路中所有的边都不同 复杂通路 (回路)：路（回路）中有重复的边出现
证明思路：多于n-1条边的路中必有重复出现的结点，反
复删去夹在两个重复结点之间的边之后，剩余的边数不会
超过n-1条边。
推论： 在一个 n 阶图中，若从顶点vi 到 v j存在
通路(vi v j ) ，则从 vi 到 v j 存在长度小于等于
n 1的初级通路。
返回 结束
7.2.1 路
6、性质
定理： 在一个 n 阶图中，若vi 到自身存在回路， 则从 vi 到自身存在长度小于等于n 的回路。 推论：在一个 n 阶图中，若vi 到自身存在一个 简单回路，则从vi 到自身存在长度小于等于 n
(注意方向) 2、短程线，距离。
短程线——连通或可达的两点间长度最短的 路。
距离——短程线的长度，
d (vi , v j ) 无向图
记
d vi , v j 有向图
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7.2.2 图的连通性
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2、短程线，距离
若 vi , v j 之间无路(或不可达)，规定
d(vi , vj ) d vi , vj
的初级回路。
由以上定理可知，在 n 阶图中，
任何一条初级通路的长度 n 1 任何一条初级回路的长度 n
12
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7.2.2 图的连通性
13
7.2.2 图的连通性
1、连通，可达。
无向图中，从vi 到 v j存在路，称 vi 到 v j 是 连通的(双向)。
有向图中，从vi 到 v j存在路，称 vi 可达 v j。
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7.2.1 路
3.初级通路、初级回路
初级（基本）通路，初级回路：点不同 初级通路 (路径)：路中所有的顶点互不相同 初级回路 (圈)：回路中所有的顶点互不相同
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)，
但反之不真。
4、路，回路 的长度—— 中边的数目。
5
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7.2.1 路
6
例1、(1)
G为连通图—— G 是平凡图，或 G 中任两点都是连通的。
G为非连通图—— G 中至少有两点不连通。
例
u1
v1
u2
v4
v2
G1
u4
G2v3
u3
G3
这里 G1是连通图，G2是非连通图，仅有一个顶点的图 G3 我们 也把它看成是连通图。
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7.2.2 图的连通性
16
3、无向图的连通
结点之间的连通性是结点集V上的等价关系，对应该等价关系， 必可将作出一个划分，把V分成非空子集V1, V2, …, Vm,使得两个结 点vj和vk是连通的，当且仅当它们属于同一个Vi 。把子图G(V1) , G(V2) , …, G(Vm)称为图G的连通分支（connected components）,图 G的连通分支数记为W(G) 。如上例中图 的连通分支个数就是2
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7.2.1 路
3
1、路 (回路)
—— G 中顶点和边的交替序列 v0e1v1e2 L elvl
，其中 ei (vi1, vi )(无向图)， 或 ei vi1, vi (有向图)， v0 ——始点，vl ——终点，称 为 v0到 vl 的路。当 v0 vl 时， 为回路。
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