风险套利和资产定价第一基本定理

;<*=,&他们的消费空间取成 >?@A*("-,*设它是可分的,"它们上面的拓扑定义成范数拓扑"记成 B9
消费者在他们的消费集 C 上有偏好关系"满足连续性:严格增性和凸性条件9
DE’F.表示可交易的原始 资 产 集"它 们 在 无 摩 擦 的 竞 争 市 场 中 进 行 交 易9单 一 分 出 一 个 资 产 F用 来
[\]^_‘a^$ OTPM5Q@L@J@PLAb 6@A<846I@J64K5PccP6JNL@J84LM7PM5AJ6@A<846I@J64K5 PccP6JNL@J8465@LJ6PMN25M@LJ3@Ac4c56-O3565?4J@PLAI5JT55LJ357 4LM5d@AJ5L25PQ 5eN@X4?5LJ746J@LK4?5754AN65465AJNM@5M,754LT3@?5J35A565?4J@PLA4655dc?4@L5MI8 754LAPQ1234235674856,;42<4LM>?@A<4fA5d47c?5Aghijk_l]$ 6@A<846I@J64K5PccP6JNL@J8/5eN@X4?5LJ746J@LK4?5754AN65/X@4I?5/4AA5J c6@2@LK
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!! 原始资产有限和交易时点有限时"风险套利与原始的套利等价#讨论了引入这种$风险套利%在经济均
衡研究中的合理性"得出了$无风险套 利 %蕴 含 等 价 鞅 测 度 的 存 在 性&并 证 明 了 等 价 鞅 测 度 的 存 在 性 可 导 出
给 定 的 金 融 市 场 无 适 度 风 险 套 利 机 会 # 同 时 说 明 了 上 述 两 个 反 例 中 $适 度 风 险 套 利 机 会 %的 存 在 性 #
中 图 分 类 号 $ C#’.-#D/E"#9-#
文献标识码$ F
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J1 D 之 外 "OJL 39
上 述 表 述 的 经 济 学 意 义GN表 示 的 是 这 一 交 易 策 略 的 初 始 货 币 帐 户 "在 时 期 3"交 易 者 仅 持 有 货 币 帐
户&在时期 3以后的任一交易时 点"交 易 者 可 以 根 据 此 时 的 资 产 价 格 信 息 选 择 风 险 资 产 持 有 量 !! 仅 可 以
-’]^ 3.^ 39
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系统工程理论与实践
6))/年 //月
接下来我们引入本文的一个主要概念 !! 风险套利机会"
风 险 套 利 机 会 的 定 义#给 定 的 金 融 市 场 的 一 个 风 险 套 利 机 会 是 指 $%&’() 中 满 足 下 列 条 件 的 序 列
*+,-./ #/(存 在 0)1 )23&+,(4 0)56(89:<+=, < > )2这 里 <?< 表 示 随 机 变 量 ?的 @6范 数 &指 的 是 一 类 特
中没有资金的注入和提取 !! 在任一交易 时 点 风 险 资 产 的 买 入 由 自 有 的 货 币 帐 户 和 其 它 的 风 险 资 产 的 卖
出提供资金9把可行的交易策略记成 M"则G
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’ P . M6 *N"*OJ,J1D, N1 >"OJ+6
RJ<S T 4 *+<S 4"+<5*+,
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定交易的风险度量 !! 初始投资 为 )2终 期 收 益 可 能 需 要 承 担 债 务 的 机 会 与 程 度 的 复 合 量 度"(2+=) >:AB
&)2= +,(" 适度风险套利机会#若上述的序列*+,-./ 同时满足#存在 +C@6&D2E(2+,F+2GHI5J," 容 易 证 明 2有 传 统 套 利 的 金 融 市 场 一 定 有 K风 险 套 利 机 会 L"反 之 未 必 "即 使 是 适 度 风 险 套 利 机 会 也 未
摘 要 $ 引入了风险 套 利 机 会 和 适 度 风 险 套 利 机 会 的 定 义/研 究 了 它 们 与 等 价 鞅 测 度 存 在 的 关 系/同
时使用 0-1234235674856)#99!*和 :-;42<= 1->?@A<4)#99#*所给出的例子说明了这些关系B
关 键 词 $ 风险套利机会/等价鞅测度/能行的/资产定价
为 了 避 免 复 杂 的 随 机 积 分 概 念 的 引 入 "我 们 使 用 自 融 资 的 简 单 交 易 策 略 9即 任 一 交 易 策 略 仅 可 以 在 有
限个交易时点进行交易&交易者在任一 交 易 时 点 仅 可 以 持 有 货 币 市 场 帐 户 和 有 限 个 风 险 资 产&交 易 的 过 程
鞅表示定理可以让我们很好地刻 划 那 些 能 由 基 本 资 产 生 成 的 资 产 组 合/这 使 我 们 看 到,鞅 论 和 随 机 过 程一般理论是专为金融理论的发展而定制的数学工具,)v466@APL= >?@A<4,#9(#*B
对 于 只 涉 及 有 限 个 资 产 的 有 限 期 经 济,无 套 利 确 实 等 价 于 鞅 测 度 的 存 在 性 ww 这 便 是 资 产 定 价 第 一 基 本 定 理 的 内 容 )n4?4LK,RP6JPL= 0@??@LK56,#99"/n5?I45L,#99!/x4<56,#99D*B但 当 资 产 个 数 无 限 或 可 能 的 交 易 时 点 无 限 时,资 产 定 价 第 一 基 本 定 理 不 再 成 立/0-1234235674856)#99!*对 无 限 个 原 始 资 产 单 期 情形给出了反例/:-;42<= 1->?@A<4)#99#*给出了一个单风险资产,而可能的交易时点无限的反例B
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这 里 3V+3V+4V W+Q6 4表 示 对 应 于 这 一 交 易 策 略 的 交 易 时 点 9Q 是 随 交 易 策 略 而 变 化 的 9这 里 4*+<S4"+<5*+,
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+1 *+<S4"+<5"并 且 +X *+<S4"+<5
RJ<1@Y *)++S4"-,"除 了 有 限 个
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系统工程理论与实践
第 ##期
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风险套利和资产定价第一基本定理
毛 二 万 #,宋 逢 明 !
)#-清华大学台湾研究所,北京 #"""(./!-清华大学经济管理学院,北京 #"""(.*
资 产 组 合 仅 包 含 有 限 个 风 险 资 产 "且 满 足 自 融 资 条 件 9这 便 解 释 了 RJ<1@Y *)+<S4"-,9
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P 一 个 可 行 交 易 策 略 *N"*OJ,J1D"N1 >"OJ+6
RJ<S 4 4 *+<S4"+<5*+,的 4期 收 益 为
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P P =*N"*OJ,J1D,6 NZ
模 型 用 滤 波 概 率 空 间 ’(")"*)+,"-.表 示 信 息 流 关 于 时 间 的 变 动"信 息 结 构 通 过 增 的 子 /0代 数 族
’)+"+123"45.表示&设 )36’7"(.是平凡 /0代数")46)&其中 )+由下列的 子 集 8生 成"解 释 为 在 +时 所
有的交易者可以判明世界的一个态是否属于 89换句话说")+表示 +时可能获得的所有信息9后面我们会
m 引言
数 理 金 融 中 的 一 个 基 本 结 果,常 被 称 为 资 产 定 价 第 一 基 本 定 理 )n8IX@K,#9(’*,说 的 是 资 产 价 格 的 随 机过程 )op*pqr ,存在等价鞅测度 本 质 上 等 价 于 金 融 市 场 无 套 利 机 会s无 套 利 与 概 率 鞅 测 度 存 在 的 等 价 性 是套利定价理论的基础s从资产构 成 的 金 融 市 场 无 套 利 利 润 这 一 经 济 假 设 出 发,基 本 定 理 断 言$基 础 概 率 空 间 上 的 概 率 t,可 以 由 等 价 的 测 度 u代 替,使 得 价 格 过 程 在 新 的 测 度 u下 成 为 鞅/此 时 未 定 债 权 的 公 平 价格可以取成关于新测度 u的期望值)v466@APL= :65cA,#9’9*B
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RJ<S4*IJ<S IJ<S4,T*3"*OJ,J1D,1 M
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’PP . 传统的万套方利数定据义为 ]1 [\*=,36
RJ<S4*IJ<S IJ<S4,T*3"*OJ,J1D,1 M 使 得 ]^ 3"即 ]_ 3"
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利 用 此 时 交 易 者 的 货 币 帐 户 对 其 中 的 有 限 个 风 险 资 产 进 行 买 卖 *可 以 卖 空,9这 样 便 决 定 了 此 时 的 资 产 组
合"这 些 资 产 组 合 将 被 持 有 到 时 期 +4"然 后 根 据 时 期 +4 时 的 风 险 资 产 的 价 格 选 择 新 的 资 产 组 合"注 意 新 的
表 示货币市场帐户"假定它在任一交易时点的价格均为一个消费单位9其它的资产均是风险资产9这些资
产 的 价 格 过 程 族 表 示 为 GH6 ’*IJ+,+123"45.J1 DE ’F."*IJ+,+1 是 23"45 适 定 的 :右 连 续 左 极 限 过 程 "且 设 IJ+1
@A*(")+"-,"K +1 23"45"J1 D9 按 前 面 的 假 定 "IF+L 4"K +1 23"459
探 讨 资 产 定 价 第 一 基 本 定 理 在 一 般 情 形 下 是 否 成 立 的 文 章 已 有 很 多,但 大 部 分 涉 及 到 复 杂 的 随 机 过 程 理论和其它高深的数学知识)E-n5?I45L=0-1234235674856,#99./:65cA-n-,#9(#*B所有这些都缺乏 简单的经济意义表述B
必是传统意义下的套利机会"
例 M &NHOPQAPQRS:ATRS2/UU6(令 D>*/262V2,2V-2W)>*X2D-2W/是由 D的所有有限子集生成 的 YZ代数"令 E*[->6=[2J[CD"
货币市场帐户定义为 \)>]/>/2风险资产列*^_,-2_>/262V5,>)2/定义如下#
RJ<S4*IJ<S IJ<S4,
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这一式子的经济学含义是明显的G一个 交 易 策 略 的 最 终 收 益 由 最 初 的 初 始 成 本 和 在 23"45上 风 险 资 产 交 易
的所得或损失两部分构成9
定义G
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RJ<S4*IJ<S IJ<S4,T*N"*OJ,J1D,1 M
谈到交易的资产价格在时间 +适定于 )+"意思是说"价格揭示的所有信息均包含在 )+内9
可行的交易时点取成连 续 的:有 限 的"用 时 间 区 间 23"45表 示9设 仅 有 一 个 不 易 珍 藏 的 消 费 品"它 用 于
币值单位9
设 消 费 者 仅 可 在 时 期 3和 时 期 4处 消 费"同 时 他 们 在 时 期 3和 时 期 4分 别 收 到 初 始 所 有 ;<*3,和
本 文 的 目 的 就 是 要 引 入 一 个 y风 险 套 利 z的 概 念,它 是 传 统 套 利 及 免 费 午 餐 在 我 们 讨 论 框 架 下 的 推 广
G 收稿日期万$!方"""数%"据D%!’
资 助 项 目 $国 家 自 然 科 学 基 金 )’9’9"#D"*/
第 44期
风险套利和资产定价第一基本定理
d/2 ‘^_/&a(> ^_/&a(= ^_) > c= /2
a> _ a> _b /
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风险资产 )期时的价格 ^_)可取成任意一些数值&这些数值并不影响结果2这里为了方便 取 ^_)g /2J_
> /262V ("
定义可行的交易策略集为#h>*i>&i)2i/2V2i[2V (jk *_ji_f )-l . -2其 中 i_代 表 资 产 _的 持 有 量H 上 述 的 交 易 策 略 限 定 个 体 的 交 易 仅 可 以 持 有 有 限 个 风 险 资 产 2则 此 时