高中数学柯西不等式
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柯西不等式的二维形式的应用
关键点：
理解柯西不等式的二维形式的结构特点
一、说教材
（三）、教材处理
向量的数量积的性质
பைடு நூலகம்
正是柯西不等式的向量
形式，是这节课内容最佳的“知识生长点”。
根据“最近发展区”的教学理论，我将课本中通过让学生
类比不等式a2 b2 2ab 猜想关于(a2 b2 )(c2 d 2 ) 的不等关 系等得式出柯西不 等式，的通二过维对形该式不的等处式理作方进法一改步为探先究让,发学现生了证柯明西不
本节课是柯西不等式的第一课时， 主要内容是柯西不等式的二维形式的推 导和应用。
一、说教材
（二）、教学重点、难点
教学重点： 教学难点：
1、柯西不等式的二维形式的推导和应用；
2、通过运用柯西不等式的二维形式来解决一些简单问题， 体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典 不等式之间的联系，经过适当变形，以经典不等式为依据 得出具体问题的不等关系。
五、说学法
教是为了不教。在教学过程中我注意指导学生学 会学习，通过启发教给学生获取知识的途径，思考问 题的方法。在教学活动中，我通过肯定学生的正确， 指出学生的错误，引导学生揭示知识内涵，帮助学生 养成独立思考，积极探索的习惯。培养学生主动探究 的学习方式。
六、说教学过程
设置悬念
归纳小结
理解深化 初步运用
不等式的二维形式，并由此顺着学生思路层层深入地设计问题
来展开教学，使学生在探究活动中掌握了柯西不等式二维形式
的推导和应用。
二、说学情
该班学生基础比较扎实，求知欲较强，具备一定的
观察、分析、逻辑推理能力。在学习本课前已掌握证明
不等式的基本方法，以及向量的数量积的性
质
。这个性质正是柯西不等式的向量形式，
极限定义，实质上都是柯西给出的。他的临终名
言是“人总是要死的，但是，他们的业绩永存．”
（二）、实施探究
设计意图
问题4：能否用不同的方法 证明柯西不等式的二维形式？
(要求学生写出完整的证明过程，巡堂，将 学生中出现的各种典型证法用投影仪投影 出来，让学生比较、分析、评价)
因为不同的学生 在认知方式和思维策 略上存在着差异。学 生间的交流是学生完 善认知建构的催化剂。 所以我这样设计来激 发学生参与数学思维 活动。
师问：题2在：运取消用已这知些中方的法“非解零题”时，需不要等式注意哪些
方还面成？立吗？ （问要题注3：意设每＝种（方x1, y法1）,的＝（特x点2, y2）、,则适上述用不范等式围、及
解题格的式坐）标表示为 _______________
激发学生的探究欲望。
2、 向量的数量积的这 个性质正是柯西不等式的 向量形式，是这节课内容 最佳的“知识生长点”，是 学生思维的 “最近发展区”
是这节课内容最佳的“知识生长点”。
三、说目标
1、知识目标： 2、能力目标：
（1）理解柯西不等式的二维形式和 向量形式； （2）能运用柯西不等式的二维形式 解决一些简单问题； （3）让学生了解柯西的主要贡献， 贯穿数学史教育。
通过创设情境，提出问题，然后探索解决问题的办法， 培养学生独立思考、积极探索的习惯和逻辑推理能力。
x12 y12 x22 y22 x1x2 y1 y2
(当且仅当x1 y2－x2 y1＝0时取等号)
（二）、实施探究
设计意图
柯西（Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857 ）是法国数学家、力学 家。1811及1812年向法国科学院 提交了 两篇关于多面体的论文，在
数学界造成了极大的影响。1816年 （27岁）成为巴黎 综合工科学校教授，并当选为 法国科学院 院士.柯西对高等数学的大量贡献包 用数学家成才的故事， 括分：方无程穷，级行数列的式敛，散概性率，和实数变理和方复程变等函方数面论的研,微究．鼓服提励困高学难学生的生要决学习有心数敢和学于勇克气， 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定 的能动性。 义，以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的
（要注意每种方法的特点、适用范围、及 最佳的“知识生长点”，是
解题格式）
学生思维的 “最近发展区”
（一）、创设情境
设计意图
已知、 是两个非零向量，
师求：证前：面 我 们学 习 了哪几种证明不等式的
方问法题1？：当满足什么条件时，不等式
(比取较等法号？、分析法、综合法、反证法、放缩法)
1、有效的问题能创设出 一个充满张力的情境，能
柯西不等式（一）
柯西不等式（一）
说教材 说学情 说目标 说教法 说学法 说教学过程
一、说教材
（一）、教材的地位和作用：
柯西不等式是人教A版选修4－5不 等式选讲中第三讲的内容，是学生继平 均值不等式后学习的又一个经典不等式， 它在教材中起着承前启后的作用：一方 面可以巩固学生对不等式的基本证明方 法的掌握，另一方面又为后面学习三角 不等式、排序不等式打下了基础。运用 柯西不等式可以解决中学数学中一些比 较典型的数学问题，例如：证明不等式、 求最值等。
四、说教法
因为学生学习数学的过程实际上是学生完善数学认知结构 的过程，教师的职责就是引导学生形成良好的数学认知结构， “教是为了不教”就是这一思想的反映，而探究式学习的本质 就是学生的自主建构，所以我在柯西不等式的发现、证明以及 例题的讲解中均采用问题探究式教学法：通过精心设置问题链， 使教学过程活动化，促使学生积极主动地参与教学活动。在整 个教学过程中我鼓励学生互相讨论，合作交流。另外我采用了 多媒体进行教学，既提高了教学效率，使得课堂各个环节紧凑， 学生思维连贯顺畅；又为师生、生生之间的交流提供了广阔的 平台。
实施探究
创设情境
（一）、创设情境
设计意图
师：前面我们学习了哪几种证明不等式的
方法？
(比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法)
1、有效的问题能创设出 一个充满张力的情境，能
激发学生的探究欲望。
师：在运用这些方法解题时需要注意哪些
方面？
2、 向量的数量积的这 个性质正是柯西不等式的
向量形式，是这节课内容
（二）、实施探究
设计意图
问题5：请仔细观察柯西不等式的 二维形式，想一想，它的结构有
什么特点？
（引导学生通过类比基本不等式的结构特点，
观察、分析，相互探讨，归纳出：“平方的和
的乘积不小于乘积的和的平方”的特点）
关键点：
理解柯西不等式的二维形式的结构特点
一、说教材
（三）、教材处理
向量的数量积的性质
பைடு நூலகம்
正是柯西不等式的向量
形式，是这节课内容最佳的“知识生长点”。
根据“最近发展区”的教学理论，我将课本中通过让学生
类比不等式a2 b2 2ab 猜想关于(a2 b2 )(c2 d 2 ) 的不等关 系等得式出柯西不 等式，的通二过维对形该式不的等处式理作方进法一改步为探先究让,发学现生了证柯明西不
本节课是柯西不等式的第一课时， 主要内容是柯西不等式的二维形式的推 导和应用。
一、说教材
（二）、教学重点、难点
教学重点： 教学难点：
1、柯西不等式的二维形式的推导和应用；
2、通过运用柯西不等式的二维形式来解决一些简单问题， 体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典 不等式之间的联系，经过适当变形，以经典不等式为依据 得出具体问题的不等关系。
五、说学法
教是为了不教。在教学过程中我注意指导学生学 会学习，通过启发教给学生获取知识的途径，思考问 题的方法。在教学活动中，我通过肯定学生的正确， 指出学生的错误，引导学生揭示知识内涵，帮助学生 养成独立思考，积极探索的习惯。培养学生主动探究 的学习方式。
六、说教学过程
设置悬念
归纳小结
理解深化 初步运用
不等式的二维形式，并由此顺着学生思路层层深入地设计问题
来展开教学，使学生在探究活动中掌握了柯西不等式二维形式
的推导和应用。
二、说学情
该班学生基础比较扎实，求知欲较强，具备一定的
观察、分析、逻辑推理能力。在学习本课前已掌握证明
不等式的基本方法，以及向量的数量积的性
质
。这个性质正是柯西不等式的向量形式，
极限定义，实质上都是柯西给出的。他的临终名
言是“人总是要死的，但是，他们的业绩永存．”
（二）、实施探究
设计意图
问题4：能否用不同的方法 证明柯西不等式的二维形式？
(要求学生写出完整的证明过程，巡堂，将 学生中出现的各种典型证法用投影仪投影 出来，让学生比较、分析、评价)
因为不同的学生 在认知方式和思维策 略上存在着差异。学 生间的交流是学生完 善认知建构的催化剂。 所以我这样设计来激 发学生参与数学思维 活动。
师问：题2在：运取消用已这知些中方的法“非解零题”时，需不要等式注意哪些
方还面成？立吗？ （问要题注3：意设每＝种（方x1, y法1）,的＝（特x点2, y2）、,则适上述用不范等式围、及
解题格的式坐）标表示为 _______________
激发学生的探究欲望。
2、 向量的数量积的这 个性质正是柯西不等式的 向量形式，是这节课内容 最佳的“知识生长点”，是 学生思维的 “最近发展区”
是这节课内容最佳的“知识生长点”。
三、说目标
1、知识目标： 2、能力目标：
（1）理解柯西不等式的二维形式和 向量形式； （2）能运用柯西不等式的二维形式 解决一些简单问题； （3）让学生了解柯西的主要贡献， 贯穿数学史教育。
通过创设情境，提出问题，然后探索解决问题的办法， 培养学生独立思考、积极探索的习惯和逻辑推理能力。
x12 y12 x22 y22 x1x2 y1 y2
(当且仅当x1 y2－x2 y1＝0时取等号)
（二）、实施探究
设计意图
柯西（Cauchy,Augustin-Louis, 1789-1857 ）是法国数学家、力学 家。1811及1812年向法国科学院 提交了 两篇关于多面体的论文，在
数学界造成了极大的影响。1816年 （27岁）成为巴黎 综合工科学校教授，并当选为 法国科学院 院士.柯西对高等数学的大量贡献包 用数学家成才的故事， 括分：方无程穷，级行数列的式敛，散概性率，和实数变理和方复程变等函方数面论的研,微究．鼓服提励困高学难学生的生要决学习有心数敢和学于勇克气， 目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定 的能动性。 义，以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的
（要注意每种方法的特点、适用范围、及 最佳的“知识生长点”，是
解题格式）
学生思维的 “最近发展区”
（一）、创设情境
设计意图
已知、 是两个非零向量，
师求：证前：面 我 们学 习 了哪几种证明不等式的
方问法题1？：当满足什么条件时，不等式
(比取较等法号？、分析法、综合法、反证法、放缩法)
1、有效的问题能创设出 一个充满张力的情境，能
柯西不等式（一）
柯西不等式（一）
说教材 说学情 说目标 说教法 说学法 说教学过程
一、说教材
（一）、教材的地位和作用：
柯西不等式是人教A版选修4－5不 等式选讲中第三讲的内容，是学生继平 均值不等式后学习的又一个经典不等式， 它在教材中起着承前启后的作用：一方 面可以巩固学生对不等式的基本证明方 法的掌握，另一方面又为后面学习三角 不等式、排序不等式打下了基础。运用 柯西不等式可以解决中学数学中一些比 较典型的数学问题，例如：证明不等式、 求最值等。
四、说教法
因为学生学习数学的过程实际上是学生完善数学认知结构 的过程，教师的职责就是引导学生形成良好的数学认知结构， “教是为了不教”就是这一思想的反映，而探究式学习的本质 就是学生的自主建构，所以我在柯西不等式的发现、证明以及 例题的讲解中均采用问题探究式教学法：通过精心设置问题链， 使教学过程活动化，促使学生积极主动地参与教学活动。在整 个教学过程中我鼓励学生互相讨论，合作交流。另外我采用了 多媒体进行教学，既提高了教学效率，使得课堂各个环节紧凑， 学生思维连贯顺畅；又为师生、生生之间的交流提供了广阔的 平台。
实施探究
创设情境
（一）、创设情境
设计意图
师：前面我们学习了哪几种证明不等式的
方法？
(比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法)
1、有效的问题能创设出 一个充满张力的情境，能
激发学生的探究欲望。
师：在运用这些方法解题时需要注意哪些
方面？
2、 向量的数量积的这 个性质正是柯西不等式的
向量形式，是这节课内容
（二）、实施探究
设计意图
问题5：请仔细观察柯西不等式的 二维形式，想一想，它的结构有
什么特点？
（引导学生通过类比基本不等式的结构特点，
观察、分析，相互探讨，归纳出：“平方的和
的乘积不小于乘积的和的平方”的特点）