7(9)偏导数在几何上的应用

2. 曲面方程形为 z f ( x, y)的情形
令 F(x, y,z) f (x, y) z,
显式方程
Fx f x , Fy f y , Fz 1. n { fx , f y , 1}
曲面在M处的切平面方程为
f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) (z z0 ) 0,
2
偏导数在几何上的应用
说明几何意义
x x(t)
设空间曲线的方程
y
y(t )
(1)
z z(t )
(1)式中的三个函数均可导. 设 M ( x0 , y0 , z0 ), 对应于 t t0; M( x0 x, y0 y, z0 z) 对应于 t t0 t.
x
z
• M
•M
O
y
3
偏导数在几何上的应用
解 当t 0时, x 0, y 1, z 2
x et cos t, y 2cos t sin t, z 3e3t
x(0) 1, y(0) 2, z(0) 3
切线方程 x 0 y 1 z 2
1
2
3
法平面方程 x 2( y 1) 3(z 2) 0
即
x 2y 3z 8 0
x
点M 对应于参数 t t0 ,且x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ) 不全为零.
18
偏导数在几何上的应用
z
由于曲线Γ在曲面Σ上, 所以
n F ( x, y, z) 0 T
F[ x(t), y(t), z(t)] 0, 在恒等式两端对t 求全导数,
•
M ( x0 , y0 , z0 )
法平面方程为
1 ( x x0 ) y( x0 )( y y0 ) z( x0 )(z z0 ) 0.
6
偏导数在几何上的应用
例1 求曲线
:
x y
t eu cos udu
0
2sin t cos t
x x0 x(t0 )
y y0 y(t0 )
z z0 z(t0 )
x(在t0 )t(x 0处x0的)切y线z(t与0 )1(法y平e3t面 y0 )方程z(.t0 )(z z0 ) 0
曲线Γ在点M处切线的方向向量记为
T
则※式可改写成
{x(t0 nT
),
y0,(t即0 ),向z(量t0 )}n,与T
垂直.
19
偏导数在几何上的应用
因为曲线Γ是曲面Σ上过点M的任意一条曲
线, 所有这些曲线在点M的切线都与同一向量
n
垂直,
因此这些切线必共面,
由切线形成的这一
平面, 称为曲面Σ在点M的
切平面, 过点M且垂直于切
7
偏导数在几何上的应用
例2 在抛物柱面 y 6x2 与z 12x2 的交线上,
1
求对应 x 2 的点处的切向量.
xx
解
取 x为参数,
交线的参数方程为
y 6x2
z 12x2
于是 x 1, y 12x, z 24x
所以交线上与 x 1 对应点的切向量为: 2
T {1, 6,12}.
隐式方程
1. 设曲面Σ的方程为 F ( x, y, z) 0 的情形
M ( x0, y0, z0 ) , 函数F ( x, y, z) z
的偏导数在该点连续且不同
F(x, y,z) 0
时为零. 今在曲面Σ上任取一条
过点M 的曲线Γ, 设其参数
•
M ( x0 , y0 , z0 )
方程为
O
y
x x(t), y y(t), z z(t),
0 ,
0
两边分别对
x求全导数:
9
偏导数在几何上的应用
Fx
Fy
dy dx
Fz
dz dx
0
Gx
Gy
dy dx
Gz
dz dx
0
Fz Fx
F ( x, G( x,
y( x),z( x)) y( x),z( x))
0 ,
0
两边分别对 x求全导数
x x0 y y0 z z0
Fx 1Fy y( x0 ) z( x0 )
所以曲面Σ上在点M的 切平面方程为 Fx ( x0 , y0 , z0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )(z z0 ) 0
法线方程为
x x0 y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
e x0
y0
z0 ]
0
(1
y0
)e
y0 x0
x0
x0
y0
e x0
y0 0z
0,
0
所以这些平面都过 原点.
25
偏导数在几何上的应用
曲面z x2 y2与平面2x 4 y z 0 平行的切平面的方程是( 2x 4 y z 5 ).
26
偏导数在几何上的应用
例6 证明曲面z ax f (by cz). ( f (u)可微a 0,
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz 0 Gz Gx 0 Gx Gy 0
法平面方程
Fy Gy
Fz Gz
(
0
x
x0
)
Fz Gz
0.
Fx Gx
(
0
y
y0 )
Fx Gx
源自文库
Fy Gy
0
(z
z0
)
13
偏导数在几何上的应用
求曲线
x
2 x2
y
2 y2
z2
z2
8在点P0
(1,
3,2)的
切线方程和法平面方程.
法二 将所给方程的两边对x求导
e x0
(y
y0 )
(z
z0 )
0
24
偏导数在几何上的应用
y
证明曲面z xe x上所有点处的切平面都 过
y
z xe x
一定点.
(1
y0
)e
y0 x0
x0
(x
x0 )
y0
e x0
(y
y0 )
(z
z0 )
0
(1
y0
)e
y0 x0
x0
x
y0
e x0
y
z
[(1
y0
)e
y0 x0
x0
x0
y0
并令 t t0 , 则得
O
y
Fx ( x0 , y0 , z0 )x(t0 )
x
Fy ( x0 , y0 , z0 ) y(t0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )z(t0 ) 0. ※
若记向量
n {Fx(x0, y0, z0), Fy (x0, y0, z0), Fz (x0, y0, z0)},
21
偏导数在几何上的应用
例4. 证明曲面 f (x az, y bz) 0
上任意一点处的切平面都与直线
x y z 平行,其中f具有连续偏导数, ab 且 a, b 为常数.
22
偏导数在几何上的应用 n {Fx (x0, y0, z0), Fy (x0, y0, z0), Fz (x0, y0, z0)}
或 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) z z0 ,
曲面在M处的法线方程为
x x0 y y0 z z0 . f x ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) 1
23
偏导数在几何上的应用
z f (x, y),
y
n { fx, fy , 1}
例5 证明曲面z xe x上所有点处的切平面都 过
一定点.
y0
证 设( x0 , y0 , z0 )是曲面上任一点 , z0 x0e x0
则法向量为
{ }
n
(1
y0
y0
)e x0
,
y0
e x0
,
1
x0
切平面方程为
(1
y0
)e
y0 x0
x0
(x
x0 )
y0
表示一个平面
进一步考察曲面 z f (x, y)
与平面 z f (x0, y0) fx (x0, y0) x x0 fy (x0, y0) y y0
的关系.
16
偏导数在几何上的应用
介绍用距离来定义曲线的切线的概念. 从而引出用距离来定义的切平面的概念.
自己看书.
17
偏导数在几何上的应用
割线 MM 的方程为
z
• M
x x0 y y0 z z0
x
y z
•M
O
y
x
考察割线趋近于极限位置—— 切线的过程
上式分母同除以 t,
x x0 y y0 z z0 , x y z
t
t t
4
偏导数在几何上的应用
当M M ,即t 0时 ,
z
• M
曲线在M处的切线方程
x x0 y y0 z z0 x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
z
平面的直线称为曲面Σ在
点M的
法线,向量
n
称为曲
面Σ在点M的 法向量.
n 又是法线的方向向量.
O
x
n
F(x, y,z) 0
•
M ( x0 , y0 , z0 )
y
20
偏导数在几何上的应用
曲面在M(x0, y0 , z0)处的法向量:
n {Fx (x0, y0, z0), Fy (x0, y0, z0), Fz (x0, y0, z0)}
•M
O
y
x
切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量.
T {x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )}
法平面 过M点且与切线垂直的平面.
x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
5
偏导数在几何上的应用
2. 空间曲线的方程为两个柱面 的交线
Fy Fz
Fz Fx
Fx Fy
Gy Gz 0 Gz Gx 0 Gx Gy 0
法平面方程为
Fy Gy
Fz Gz
(x
0
x0 )
Fz Gz
0.
Fx Gx
(y
0
y0 )
Fx Gx
Fy Gy
0
(z
z0
)
11
偏导数在几何上的应用
例3
求曲线
x
2 x2
y
2 y2
z2 z2
8在点P0
(1,
3,2)的
切线方程和法平面方程.
dy Gz Gx dx Fy Fz
dz Gx G y dx Fy Fz
Gy Gz
Gy Gz
利用2.结果,
x x0 y y0 z z0
1
y( x0 ) z( x0 )
10
偏导数在几何上的应用
F(x, y, z) 0
G(
x,
y,
z)
, 0
在点
M(x0,
y0,
z0)处的
切线方程为 x x0 y y0 z z0 ,
第九节 偏导数在几何上的 应用
空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 小结 思考题 作业
第八章 多元函数微分法及其应用
1
偏导数在几何上的应用
一、空间曲线的切线与法平面
1. 空间曲线的方程为参数方程
设空间曲线的方程
r r(t) (t)i (t) j (t)k, t
物理意义: r(t) 表示物体的即时速度. 几何意义: r(t) 表示曲线的切向量.
8
偏导数在几何上的应用
3.空间曲线的方程为两个曲面 的交线
设空间曲线方程为
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 ,
0
确定了隐函数
y z
y( x) .
z( x)
xx
(此曲线方程仍可用方程组
y
y( x)
表示.)
z z( x)
F ( x, G( x,
y( x),z( x)) y( x),z( x))
设x 曲x线0 直角y 坐y标0 方z程为z0 y y( x), z z( x)
x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
xx
令
x为参数,
曲线的参数方程是
y
y( x)
z z( x)
由前面得到的结果,在M(x0, y0, z0)处,
切线方程为 x x0 y y0 z z0 ,
1
y( x0 ) z( x0 )
2x 2 y dy 2z dz 0 dy 3
dx dx
2x
2
y
dy dx
2z
dz dx
dx P0
dz
3
0
dx P0
切线方程
x
1
1
y
3
3
z
0
2
3 法平面方程 1 ( x 1)
3(y
3) 0 (z 2) 0
3
3x 3y 6 0.
14
偏导数在几何上的应用
设曲线 x x(t), y y(t), z z(t)在任一点 的法平面都过原点, 证明此曲线必在以原点为
x中(t心0 )的( x某 球x0面) 上y.(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0 证 任取曲线上一点( x(t ), y(t ), z(t )),
曲线过该点的法平面方程为
x(t)[X x(t)] y(t)[Y y(t)] z(t)[Z z(t)] 0
因原点 (0,0,0) 在法平面上, 故有 x(t)x(t) y(t) y(t) z(t)z(t) 0
解 法一 直接用公式;
令 F(x, y, z) x2 y2 z2 8
G(x, y, z) x2 y2 z2
Fx 2 x, Fy 2 y, Fz 2z; Gx 2x, Gy 2 y, Gz 2z.
12
偏导数在几何上的应用
切线方程
x x0 y y0 z z0 ,
Fy Fz
即 [ x2(t ) y2(t ) z2(t ) ] 0
于是 x2(t) y2(t) z2(t) C
15
偏导数在几何上的应用
二、曲面的切平面与法线
回忆二元函数的局部线性化:
设函数 f (x, y)在(x0, y0 )点可微,
则, f (x, y) f (x0, y0) fx (x0, y0) x x0 fy (x0, y0) y y0