定轴动区间

二次函数在闭区间上的
最值问题（1）
武屯中学数学组 丁改焕
请同学们完成导学案知识链接部分
教学目标
1、会求二次函数在实数集上的最大值或最小值。 2、会求二次函数在给定闭区间上的最大值或最小 值。
能力目标
1、培养学生利用函数图象解决问题的能力 2、培养学生分类讨论的归纳能力
情感目标
激发学生学习函数的兴趣
k (k 2) 当 1 k 2时， 2
15 10 5
x=1
2
k
k+2
5
即 -1 k 0时,
f ( x)min f (1) 4
2
2
4
6
8
f ( x)max f (k 2) k 2k 3
10
10
10
8
函数y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]时的最值
f ( x)max f (k ) k 2k 3
2
5 10 15
k
2
f ( x)min f (k 2) k 2k 3
2
4
6
8
10
8
6
当k 1时，
4
2
x=1 k k+2
5
f ( x)max f (k 2) k 2 2k 3
10 15
2
4
f ( x)min f (k ) k 2k 3
2
2
x=1 2
10
5
15
1 2
10
0
5
10
15
5
Biblioteka Baidu
3 2
10
15
5
10
-2
2
10
55
4
5
15
10
2
2
2
4
4
4
4
6
6
6
6
思考：通过以上几题，你发现二次函数在区间[m，n] 上的最值通常在哪里取到？
8
8
8
8
10
10
10
10
总结：求二次函数f(x)=ax2+bx+c（a>0）在[m，n] 上的最值或值域的一般方法是： （1）判断对称轴与给定区间的位置关系.
b 检查x0= 2a 是否属于 [ m，n]；
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0） 中的较大者是最大值,较小者是最小值； （3）当x0 [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大 者是最大值，较小者是最小值.
思考1：如何 求函数y=x2-2x-3在 x∈[0, k] 时的最值?
解：函数在定义域内的图像如图 开口向上，对称轴为直线x=1, 由图知，
y
5 5 7 x= 时有最大值 f ( ) 4 2 2
x=1时有最小值 f (1) 4
-1
O 1
2
5 2
1
3
x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
1 3 （4）若x∈[ , ]，求函数f(x)的最值； 2 2
2
10
10
10
2、当k 1时，f ( x)max f (k 2) k 2 2k 3，f ( x) min f (k ) k 2 2k 3 3、当k 0时,f ( x)max f (k ) f (k 2) 3，f ( x) min f (1) 4 4、当 0 k 1时，f ( x)max f (k ) k 2 2k 3，f ( x) min f (1) 4 5、当-1 k 0时,f ( x)max f (k 2) k 2 2k 3，f ( x) min f (1) 4
y=x
8
8
2∙x 2∙x
3 3
10
y = x2
8
6
求函数y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]时的最值
6
6
8
6
4
4
4
x=1
2
x=1 k+2
5
2
2
x=1 k
10
4
2
k
5
15
k+2
10
k+2
15
5
5
x=1 k
10
k
2
5
15
5
15
10
10
k+2
2
5
2
2
4
4
4
4
6
6
6
6
评注：例1属于“轴定区间动”的问题，看作动区 间沿x轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区 间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注 意开口方向及端点情况。
解：画出函数在定义域内的图像
y
如图: 开口向上，对称轴为直线x=1 由图知，y=f(x)在[ 2，4 ]上为
2 3 4
-1
O 1
x
增函数
故：x=4时函数有最大值f(4)=5
x=2时函数有最小值f(2)=-3
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
1 5 （3）若x∈[ , ],求函数f(x)的最值； 2 2
的最值。
10
8
8
8
6
6
6
6
4
4
4
4
x=1
2
2
x=1 k
5
2
x=1 k+2
15
5
5
2
x=1 k 10
10
15
k
5
15
5 10 15
k+2
5
k+2
10
10
5
10
k
2
k+2
2
2
2
4
4
4
4
综上：
8 10
6
6
6
6
8
8
8
1、 当k 1时, f ( x)max f (k ) k 2k 3，f ( x) min f (k 2) k 2 2k 3
2∙x 2∙x
3 3
10
（1）x∈[–2，0]
y = x2 2∙x 3 y = x2 2∙x 10 3
8
（2）x∈[ 2，4 ] 1 3 （4）x∈[ , ] （5）x∈[ 0,2 ] 2 2
10
8
1 5 （3）x∈[ , 2 2
8 6
]
10
8
6
6
6
4
4
4
4
2
x=1 1 2 5 2
5
x=1
2
x=1
f ( x)max f (k ) f (k 2) 3
4
k (k 2) 当 k 1 时， 2
15 10 5
x=1
2
k
k+2
即 0 k 1时
f ( x)min f (1) 4
2
2
4
6
8
f ( x)max f (k ) k 2k 3
10
4
y
图像如图:
对称轴为直线x=1,由图知，
x 0 或 x 2 函数有最大值 f (0) f (2) 3
x 1 函数有最小值 f (1) 4
-1 0
1
2
3
x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3
y = x2 2∙x 3 y = x2 2∙x 3
y = x2 y=x
2
解：画出函数在定义域内的图像如图:
y
开口向上，对称轴为直线x=1 由图知，y=f(x)在[ –2，0 ]上为
-2
-1
0 1
减函数 。
3
x
故：x=-2时函数有最大值f(-2)=5 x=0时函数有最小值f(0)=-3
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. （2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
例:
8 6 4
求函数y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]时
8
的最值
6 4
8
6
6
4
x=1
2
x=1 k+2
5
2
2
x=1 k
10
4
2
k
5
15
k+2
10
k+2
15
5
5
x=1 k
10
k
2
5
15
5
15
10
10
k+2
2
5
2
2
4
4
4
4
6
6
6
6
8
8
8
8
6
当 k 2 1时，即 k 1时,
4
2
x=1 k+2
2
6
8
10
6
6
4
4
x=1
2
x=1
2
k
k+2
15 10 5
k
5 10 15
k+2
5
2
2
4
4
6
6
当 k 1 k 2时，即 -1 k 1时,
8
8
10
f ( x)min f (1) 4
10
k (k 2) 当 1 时 2
即 k 0时,
f ( x)min f (1) 4
8
8
8
8
10
10
10
10
课堂小结
1.闭区间上的二次函数的最值问题求法 2. 含参数的二次函数最值问题： 轴定区间动 核心 ： 区间与对称轴的相对位置
注意数形结合和分类讨论
变式训练：
已知 f ( x) x 4x 3，当 x [t, t 3], （t R）时，
2
求
f ( x)
教学重点
二次函数的最值求法
教学难点
二次函数在闭区间上的最值求法
例：已知函数f(x)= x2 –2x – 3 求函数在下列区间上的最值。
（1） [–2，0]
1 5 （3 ） [ 2 , 2 ]
（2 ） [ 2 ，4 ]
(4)
1 3 [ 2 , 2 ]
（5） [0，2]
练习：已知函数f(x)= x2–2x –3. （1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值；
y
0
-2
1
2
-1
3
x
思考2：如何 求函数y=x2-2x-3在 x∈[k,k+2]时的最值? 解析: 因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称
轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值,
即要看区间[k,k+2]与对称轴 x=1的位
置,则从以下几个方面解决如图:
8
y = x2 2∙x 3
10
解：画出函数在定义域内的
y
图像如图:
对称轴为直线x=1,由图知，
x 1 1 7 f ( ) 时有最大值 2 2 4
1 2
-1
O 1
3 2
3
x
x 1 时有最小值 f (1) 4
练习：已知函数f(x)= x2 –2x – 3
（5）若x∈[0，2]，求函数f(x)的最值；
解：画出函数在定义域内的