二次函数的基本解析式与图像变换进阶篇(上)

题型一：二次函数的解析式

【引例】

如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于C 点，若OB ＝OC ＝3OA ，则抛物线的解析式为__________。

【例1】

⑴抛物线y ＝ax 2－2ax ＋a 2－1的顶点在直线y ＝x 上，则抛物线的解析式为________。

⑵如图，抛物线22y ax ax =-ABC 的三个顶点，已知BC ∥x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC ＝BC 。则抛物线的解析式为___________。

⑶设抛物线y＝-x2＋(m＋4)x－4m，其中0＜m＜4，与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，若点D的坐标为(0，-2)，且AD·BD＝10，求抛物线的解析式。

【例2】

对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线。(例如：y＝x2＋2x＋2)。

⑴请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式__________。(不必证明)

⑵请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于1

2

的整点抛物线？若存在，请写出其中一条

抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

题型二：二次函数的图象变换

【引例】

在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，-4)，且过点B(3，0)。

⑴求该二次函数的解析式；

⑵将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标。