初中数学求多项式最值问题十法.doc

求多项式最值问题十法

高俊元

多元多项式的最大（小）值是近几年数学竞赛的热点内容。这种题型涉及变量多，条件多，且形式新颖，解法灵活。同学们对这类问题常感到无从下手，本文将解决这类问题常用方法加以汇总，供大家参考。 一、配方法

例1. 已知x ，y ，z 都是实数，且12

2

2

=++z y x ，则xz yz xy m ++=（ ）

A. 只有最大值

B. 只有最小值

C. 既有最大值又有最小值

D. 既无最大值又无最小值

解：xz yz xy z y x z y x 222)(22

2

2

+++++=++

11)()()(22222-≥-++=++-++=∴z y x z y x z y x m

即m 有最小值1-

而xz z x yz z y xy y x 2222

2

2

2

2

2

≥+≥+≥+，， 三式相加

)(2)(2222xz yz xy z y x ++≥++ 1222=++≤∴z y x m

即m 有最大值1 故应选C

二、参数法 例2. 若3

2211-=

+=

-z y x ，则2

22z y x ++可取的最小值为（ ） A. 3 B. 14

59

C. 29

D. 6

解：设k z y x =-=+=-3

2

211

则23121+=-=+=k z k y k x ，，

所以2

22z y x ++

1459

)75(1441014)23()12()1(22222+

+=++=++-++=k k k k k k

∴当75

-=k 时

222z y x ++的值最大为

14

59

，应选B

三、消元法

例 3. 已知x ，y ，z 为3个非负实数且满足：523=++z y x ，2=-+z y x ，设

z y x s -+=2，s 的最大值与最小值的和为_________。

解：由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++s z y x z y x z y x 22523 得⎪

⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧

≥-=≥-=≥-=031

103450

2s z s y s x

则32≤≤s ，所以s 的最大值为3，最小值为2，其和为5。

四、分类讨论法

例4. 设9321x x x x ，，，， 均为正整数，且220921921=+++<<

A. 8

B. 9

C. 10

D. 11

解：由220921=+++x x x ，知

>

<≤++++>

<>++++21101110

5432154321x x x x x x x x x x 或

由<1>得255≥x ，从而292827269876≥≥≥≥x x x x ，，，

得220110110)()(987654321=+>++++++++x x x x x x x x x ，与题设矛盾 由<2>可取242322212054321=====x x x x x ，，，，

使11054321=++++x x x x x 取到最大值，且1x 也可取到最大值，此时取292827269876====x x x x ，，，可全部满足条件，因而19x x -的最小值为

92029=-。

五、枚举法

例5. 设整数a 、b 、c 满足3

3

3

51c b a c b a 、、，≤<<≤的个位数依次为x 、y 、z ，当))()((x z z y y x ---为最小时，求乘积abc 的最大值。

解：依已知需把x 、y 、z 、a 、b 、c 求出

1255644273821133333=====，，，，

∴（x 、y 、z ）有10种可能： （1，8，7），（1，8，4），（1，8，5），（1，7，4），（1，7，5），（1，4，5），（8，7，4），（8，7，5），（8，4，5），（7，4，5）

那么))()((x z z y y x ---的值依次为：

612612124854848442，，，，，，，，，------- 故))()((x z z y y x ---的最小值是84-

此时（x ，y ，z ）＝（1，8，4）或（1，8，5） 相应的8421=⨯⨯=abc 或10521=⨯⨯=abc 故abc 的最大值是10

六、等值代换法

例6. 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足，，，a d c d c b c b a =+=+=+那么d c b a +++的最大值是（ ）

A. 1-

B. 5-

C. 0

D. 1

解：a d c c b a =+=+，

d c d c b a +=+++∴，即0=+d b d b -=∴代入d c b =+ 得d d c a d c 32=+==，

)

1(555≥-≤-==+++∴b b d d c b a

等号成立当且仅当1=b 时，此时 1023-=-=-=d c a ，，

d c b a +++∴的最大值是5-，应选B 。

七、放缩法

例7. 设721x x x ，，， 为自然数，且7621x x x x <<<< ，又159721=+++x x x ，则321x x x ++的最大值为__________。

解：由题设有6543211234567+≥+≥+≥+≥+≥+≥x x x x x x x 同理123451213141516+≥+≥+≥+≥+≥x x x x x x x x x x ，，，，

20

7

138

21

7)621(7159111721<≤∴+=++++≥+++=x x x x x x 1x ∴的最大值为19，取201921==x x ，

则)54321(6120273+++++≥++=x x x ，从而202≤x 取191=x ，则

)4321(51403732++++≥+++=x x x x

从而223≤x ，依次可得符合条件的7个数为19，20，22，23，24，25，26 故知所求最大值为61

八、和差代换法

例8. 实数x 、y 、z 满足35=++=++zx yz xy z y x ，，则z 的最大值是________。

解：设b a y b a x -=+=，，代入已知式可得

>

<=+->

<=+23215

22

2

az b a z a

由<1>得2

5z

a -=代入<2>得：

03)5()2

5(22≥=----b z z z 化简得0131032

≤--z z 即0)1)(133(≤+-z z

解得313

1≤≤-z

故z 的最大值为3

13

九、分析判断法