第二章 命题逻辑

第二章命题逻辑

2.2.1 证明命题公式恒真或恒假

方法一.真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。

真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。

例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。

解：该公式的真值表如下：

P→R G P Q R P∧Q→R P→Q (P∧Q→R)

∧(P→Q)

0 0 0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1 1

1 0 1 1 0 0 1 1

1 1 0 0 1 0 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

表2.2.1

由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故G恒真。

方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。

例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨⌝ R)→ (⌝ (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。

解：由(P→R) ∨⌝ R=⌝P∨ R∨⌝ R=1，以及

⌝ (Q→P) ∧ P= ⌝（⌝Q∨ P）∧ P = Q∧⌝ P∧ P=0

知，((P→R) ∨⌝ R)→ (⌝ (Q→P) ∧ P)=0，故G恒假。

2.2.2 公式蕴涵的证明方法

主要有如下方法：给出两个公式A，B，证明A蕴涵B，我们有如下几种方法：

方法一.真值表法。将公式A和公式B同列在一张真值表中，扫描公式A所对应的列，验证该列真值为1的每一项，它所在行上相应公式B所对应列上的每一项必为1（真），则公式A蕴涵B。

例2.2.4 设A= (P∧Q→R)∧(P→Q)，B=(P→R)，证明：A⇒B。

证明：

P Q R P∧Q→R P→Q A B

0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 0 1

1 0 1 1 0 0 1

1 1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1 1

由蕴含关系的定义知，给定一个解释使A为真，也使B为真，则由表2.2.2可以看出，使A为真的解释均使B亦为真，因此，A⇒B。

方法二.证明A→B是恒真公式。

由例2.2.1知，(P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)恒真，因此，立即可得到例2.2.4中的结论：(P∧Q→R)∧(P→Q)⇒ (P→R)，即A⇒B。

例2.2.5 设A、B和C为命题公式，且A⇒B。请分别阐述（肯定或否定）下列关系式的正确性。

（1）(A∧C) ⇒ (B∧C)；

（2）(A→C) ⇒( B→C)。

解：由A⇒B知，A→B是恒真公式，故A=1时，B不可能为0。

真值表如下：

A B C A→B (A∧C) →

(B∧C) (A→C) →( B→C)

0 0 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0

0 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1

1 1 1 1 1 1

表2.2.3

从真值表可以看出，(A∧C) → (B∧C)是恒真公式，所以，(A→C) ⇒( B→C) (A∧C) ⇒ (B∧C)正确；(A→C) → ( B→C)不是恒真公式，所以，(A→C) ⇒( B→C)不正确。

例2.2.6 设A=(R→ P) → Q，B= P→ Q，证明A蕴涵B。

证明：我们来证明A→B恒真。

((R→ P) → Q) →( P→ Q)= ⌝ (⌝ ( ⌝R∨P) ∨Q) ∨(⌝P∨Q)

=((⌝R∨P) ∧⌝ Q) ∨(⌝P∨Q)=(⌝R∧⌝ Q) ∨( P ∧⌝ Q) ∨⌝( P∧⌝ Q)=1

方法三.利用一些基本等价式及蕴涵式进行推导。

对于例2.2.6，由基本等价式可得：

A=(R→ P) → Q=⌝ ( ⌝R∨P) ∨Q= (R∧⌝ P) ∨Q=( R∨Q) ∧(⌝ P∨Q)=( R∨Q) ∧( P→ Q)

由教材中基本蕴涵式2. P∧Q⇒Q可知，( R∨Q) ∧( P→ Q) ⇒(P→ Q)，即A蕴涵B。

2.2.3 求主合取范式和主析取范式

1. 极小项与极大项的性质

以3个原子为例，则对应极小项和极大项的表为：

P Q R 极小项极大项

0 0 0 m0=⌝ P∧⌝ Q∧⌝R M0=P∨Q∨R

0 0 1 m1=⌝ P∧⌝ Q∧R M1=P∨Q∨⌝R

0 1 0 m2=⌝ P∧ Q∧⌝R M2=P∨⌝Q∨R

0 1 1 m3=⌝ P∧ Q∧R M3=P∨⌝Q∨⌝R

1 0 0 m4= P∧⌝ Q∧⌝R M4=⌝P∨Q∨R

1 0 1 m5=P∧⌝ Q∧R M5=⌝P∨Q∨⌝R

1 1 0 m6= P∧Q∧⌝R M6=⌝P∨⌝Q∨R

1 1 1 m7= P∧ Q∧R M7=⌝P∨⌝Q∨⌝R

由表2.2.4可知，对n 个命题原子P 1，…，P n ，极小项有如下性质：

（1）n 个命题原子P 1，…，P n 有n 2个不同的解释，每个解释对应P 1，…，P n 的一个极小项。 （2）对P 1，…，P n 的任意一个极小项m ，有且只有一个解释使m 取1值，若使极小项取1的解释对应的二进制数为i ，则m 记为m i ，于是关于P 1，…，P n 的全部极小项为m 0，m 1，…，

12-n m 。（3）任意两个不同的极小项的合取式恒假：m i ∧ m j =0，i≠j 。（4）所有极小项的析取

式恒真：

i i m n

∨

-=1

20

=1。

极大项有如下性质：

（1）n 个命题原子P 1，…，P n 有n 2个不同的解释，每个解释对应P 1，…，P n 的一个极大项。 （2）对P 1，…，P n 的任意一个极大项M ，有且只有一个解释使M 取0值，若使极大项取0的解释对应的二进制数为i ，则M 记为M i ，于是关于P 1，…，P n 的全部极大项为M 0，M 1，…，

1

2-n

M

。（3）任意两个不同的极大项的析取式恒真：M i ∨ M j =1，i≠j 。（4）所有极大项的合

取式恒假：

i i M n

∧

-=1

20

=0。

主合取范式与主析取范式之间的关系

由极小项和极大项的定义可知，二者有如下关系：

m i =⌝ M i ，M i =⌝m i 由此可知，若P ∨Q ∨R 为一公式G 的主合取范式，则

G =⌝⌝G=⌝⌝ M 0= ⌝ (M 1∧ M 2∧…∧ M 6)= ⌝M 1∨⌝M 2∨…∨⌝M 6= m 1∨ m 2∨…∨ m 6 为G 的主析取范式。

若（⌝P ∧ Q ）∨（⌝ P ∧⌝ Q ）∨（ P ∧ Q ）为一公式H 的主析取范式，则

H=⌝⌝H=⌝⌝(（⌝P ∧ Q ）∨（⌝ P ∧⌝ Q ）∨（ P ∧ Q ）)=⌝（⌝（m 0∨ m 1∨ m 3））= ⌝ (m 2)=M 2= ⌝P ∨Q 由此可知，从一公式A 的主析取范式求其主合取范式的步骤如下： （1）求出A 的主析取范式中没有包含的所有极小项。

（2）求出与（1）中极小项下标相同的极大项。

（3）将（2）求出的所有极大项合取起来，即得A 的主合取范式。 类似地，从一公式A 的主合取范式求其主析取范式的步骤为： （1）求出A 的主合取范式中没有包含的所有极大项。 （2）求出与（1）中极大项下标相同的极小项。

（3）将（2）求出的所有极小项析取起来，即得A 的主析取范式。 3. 求主合取范式和主析取范式的方法

方法一. 真值表法。主析取范式恰好是使得公式为真的解释所对应的极小项的析取组成，主合取范式恰好是使得公式为假的解释所对应的极大项的合取组成。

方法二. 公式推导法。设命题公式G 中所有不同原子为P 1，…，P n ，则G 的主析取范式的求法如下：(a) 将公式G 化为析取范式。

(b) 删去析取范式中所有恒假的短语。