第二章 命题逻辑
离散数学第2讲命题逻辑2.ppt
21
等价式的判定
❖ 1.真值表法
❖ 2.公式推演（等价变换）
❖ 例3.1：试证 P→Q ～Q→～P
❖ 证：P→Q ～P∨Q 蕴涵 E2
❖
～P∨～～Q 双重否定 E19
❖
～～Q∨～P 交换律 E5
❖
～Q→～P
E2
2024年11月24日
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等价式的判定
2024年11月24日
❖ 例3.2 ❖ 试用较少的开关设计一个与下图有相同功能的电路。
P QS PSR
23
等价式的判定
2024年11月24日
❖ 解：可将上图所示之开关电路用下述命题公式表示：
❖ (P∧Q∧S)∨(P∧R∧S)
❖ 利用基本等价公式，将上述公式转化为： (P∧Q∧S)∨(P∧R∧S)
❖
((P∧S)∧Q)∨((P∧S)∧R)(结合律)
❖
(P∧S)∧(Q∨R)（分配律）
❖ 所以其开关设计图可简化为：
31
等价式的判定
2024年11月24日
❖ 世界冰球赛在激烈地进行，看台上三位观众正在热烈地议 论着这场比赛的名次。
❖ 甲：中国第一，匈牙利第三； ❖ 乙：奥地利第一，中国第三； ❖ 丙：匈牙利第一，中国第二。 ❖ 比赛结束后，发现三位观众每人恰好都猜对了一个。问：
❖ 而一个任意的没有赋予具体内容的原子命题是一个变量命 题，常称它为命题变量(或命题变元)，该命题变量无具体 的真值，它的值域是集合{T，F}(或{0，1})。
❖ 当原子命题是命题变元时，其复合命题也即为命题变元的 “函数”，且该“函数”的值仍为“真”或“假”值，这 样的函数可形象地称为“真值函数”,或称为命题公式, 此 命题公式没有确切真值。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结总结离散数学知识点第二章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；，相同为真，别同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的确信为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能浮现一次，求极小项时变元别够合取真，求极大项时变元别够析取假；5.求范式时，为保证编码别错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的办法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算办法：P规则，T规则①真值表法；②直截了当证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑1.一元谓词：谓词惟独一具个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，别包括0；2.基：集合A中别同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一具分划基本上由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应浮现且仅浮现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都浮现，没有要求只浮现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基2种别同的关系；数为mn，A到B上能够定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个别同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满脚自反性，对称性和传递性，则R 称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满脚自反性，反对称性和传递性，则称R 是A上的一具偏序关系；8.covA={|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在也许别唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在也许别唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称那个元素是B的上界(若存在，也许别唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称那个元素是B的下界(若存在，也许别唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种别同的关系，有m n种别同的函1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn 数；2.在一具有n个元素的集合上，能够有22n种别同的关系，有n n种别同的函数，有n!种别同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m,满脚f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由到的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元别能是生成元；5.任何一具循环群必然是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶avb≥aA^b≤b 对偶avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶 av(bvc)=(avb)vc7) 等幂律a^a=a 对偶 ava=a8) 汲取律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a9) a≤b a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配别等式av(b^c)≤(avb)^(avc) 对偶a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模别等式a≤c av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满脚a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必然是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，假如a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一具补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一具有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平庸图：惟独一具孤立点构成的图；4.简单图：别含平行边和环的图；5.无向彻底图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向彻底图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向彻底图有n(n-1)/2条边，有向彻底图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必然是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必然包含一条回路；12.可达：关于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称iv与j v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v i的路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一具方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必然是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图别连通了，假如删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：假如一具点构成点割集，即删去图中的一具点后所得子图是别连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为ij列；17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为i列；19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只拜访每个节点一次，通过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种办法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②挑选一具与v邻接且未被拜访过的节点1v；③从v动身按邻接方向接着拜访，当遇到一具节点所有邻接1点均已被拜访时，回到该节点的前一具点，再寻求未被拜访过的邻接点，直到所有节点都被拜访过一次；广度优先：①选定起始点v；②拜访与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一具节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被拜访过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种办法：克鲁斯卡尔办法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔办法①将所有权值按从小到大罗列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，挑选时要满脚别能浮现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被拜访过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被拜访过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，假如最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直截了当连接，否则退回1。
《趣味逻辑学》教案全
《趣味逻辑学》教案全第一章：逻辑学概述1.1 逻辑学的定义与意义引导学生理解逻辑学的概念，让学生明白逻辑学在生活中的重要性。
通过实例分析，让学生了解逻辑学的基本作用。
1.2 逻辑学的历史与发展介绍逻辑学的历史背景，让学生了解逻辑学的发展脉络。
介绍逻辑学的重要人物及其贡献，激发学生的学习兴趣。
第二章：命题逻辑2.1 命题与命题联结词让学生了解命题的基本概念，区分简单命题与复合命题。
介绍常见的命题联结词，如“与”、“或”、“非”等，并通过实例让学生理解其含义。
2.2 命题逻辑推理引导学生学习命题逻辑推理的基本方法，如演绎推理、归纳推理等。
通过例题让学生学会运用命题逻辑进行推理，提高学生的逻辑思维能力。
第三章：谓词逻辑3.1 谓词与谓词联结词让学生了解谓词的概念，区分个体谓词与普遍谓词。
介绍常见的谓词联结词，如“是”、“不是”、“属于”等，并通过实例让学生理解其含义。
3.2 谓词逻辑推理引导学生学习谓词逻辑推理的基本方法，如演绎推理、归纳推理等。
通过例题让学生学会运用谓词逻辑进行推理，提高学生的逻辑思维能力。
第四章：演绎推理4.1 演绎推理的基本概念让学生了解演绎推理的定义，理解演绎推理的特点。
介绍演绎推理的基本形式，如三段论等。
4.2 演绎推理的方法与技巧引导学生学习演绎推理的方法与技巧，让学生能灵活运用演绎推理解决问题。
通过例题让学生学会运用演绎推理，提高学生的逻辑思维能力。
第五章：逻辑谬误5.1 逻辑谬误的基本概念让学生了解逻辑谬误的定义，让学生明白逻辑谬误的危害。
介绍常见的逻辑谬误，如偷换概念、以偏概全等。
5.2 识别与避免逻辑谬误引导学生学习如何识别逻辑谬误，让学生能够自觉地避免逻辑谬误。
通过实例分析，让学生学会如何纠正逻辑谬误，提高学生的逻辑思维能力。
第六章：归纳推理6.1 归纳推理的基本概念介绍归纳推理的定义和特点，让学生理解归纳推理与演绎推理的区别。
介绍归纳推理的基本形式，如完全归纳法、不完全归纳法等。
命题逻辑_ls第2章_2.1
2.1.2 命题公式及分类
本节主要讨论：
命题公式的定义 命题公式的层次 命题公式的真值表 命题公式的分类
一、命题公式的概念
命题常项：简单命题。 命题变项：真值可以变化的陈述句。
p∧q 的逻辑关系是 p与q同时为真
p∧q真值表如图所示：
P
Q
P∧ Q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
(2) 合取联结词“∧” －－且
例如，p: 李军聪明 q: 李军用功 则命题 “李军既聪明又用功” 可描述为： p∧q
以下自然语言中的联结词等都可以抽象为“∧” 。 “并且”、“既…又…”、 “与”、“和”、“以及”、
一、命题公式的概念
例: (1) A = p ∨q，
则 A是2层公式。
(2) A = p ∧ q ∧ r ， 则 A是2层公式。
(3) A =(p ∧q) (r ∨s)， 则A为4层公式。
二、公式的赋值或解释
定义2.8 (P.44) －－公式的赋值或解释
设A 为含有命题变项 p1, p2,…, pn的命题公式, 给 p1, p2, …, pn 一组确定的真值, 称作对公式 A
举例：
令：p：天气好。
q：我去公园。
如果天气好，我就去公园。符号化为：pq
只要天气好，我就去公园。
pq
仅当天气好，我才去公园。
qp
只有天气好，我才去公园。
qp
我去公园玩，除非天气好。
qp
例2.5 将下列命题符号化，并求其真值。
第2章 命题逻辑(1)
析取
符号
读作“析取”
定义2.3：设p，q为两命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，
记作p Ú q ，符号 称为析取联结词。并规定p q为假当且仅当p与q
同时为假。
真值表：
PQ 00
P Q
0
例子 小李是学数学或者计算
01
1
10
1
11
1
机科学pq p：小李是学数学 q：小李是学计算机 科学
2.1.1 命题与联结词
例3：判断下列命题是否为复合命题
（1）5能被2整除。
原子命题
（2）2是素数当且仅当三角形有三条边。 复合命题
（3）4是2的倍数或是3的倍数。
复合命题
（4）李明与王华是同学。
原子命题
（5）蓝色和黄色可以调配成绿色。
原子命题
（6）3不是偶数。
复合命题
（7）林芳学过英语或日语。
复合命题
合取
例：将下列命题符号化。
（1）吴颖既用功又聪明。
p q
（2）吴颖不仅用功而且聪明。
p q
（3）吴颖虽然聪明，但不用功。
p q
（4）张辉与王丽都是三好学生。
r s
（5）张辉与王丽是同学。
t
p:吴颖用功。
q:吴颖聪明。
r:张辉是三好学生。
s:王丽是三好学生。
t:张辉与王丽是同学。
注意：若“和”、“与”连接的是主语成分，则该陈述句为简单命题。
FT
T
F
F
补充：翻译语句
因为语言（包括一切人类语言）常有二义性，把 句子译成逻辑表达式可以消除歧义
把语言翻译成由命题变量和逻辑联接词组成的表 达式
离散数学—第2章命题逻辑
第二章命题逻辑---学习指导一、内容提要1.命题逻辑基本概念（1）命题与连接词命题与真值：命题、命题的真值、真命题、假命题、简单命题（或原子命题）复合命题；命题与真值的符号化：用p、q、r等命题，用数字1表示命题真，用0表示假；连接词及其符号化：记S={￢、∧、Ｖ、-→、←→}，称S为常用联结词集。
（2）基本复合命题复合命题：基本复合命题以及多次使用联结词集S中的联结词复合而成的命题。
排斥或可以看成非基本复合命题的复合命题。
（3）命题合成及其赋值：命题常项与命题变项：命题常项是命题，命题变项是取值为0或1的变量，也用p、q、r等表示。
命题公式：由命题变项或常项以及联结词按一定规则形成的公式，也称合成公式或公式。
公式的赋值:给公式中变项指定真值，成真赋值、成假赋值、公式的真值表。
命题公式的类型：重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、可满足式。
2.命题逻辑等值演算（1）等值式与基本等值式等值式：若A←→B为重言式，记为A<=>B，并称A<=>B为等值式。
（2）基本的等值式（教材P49-P50）等值演算：由已知的等值式推演出新的等值式的过程。
置换规则：若A<=>B,则Φ（A）<=>Φ(B)（3）联结词完备集真值函数：n元真值函数F：{0，1}n-→{0,1}.任何含n个命题变项的公式A,都与唯一的一个真值函数等值，若公式A与B与同一个真值函数等值，则A<=>B。
联结词完备集：{￢、∧、Ｖ、-→、←→}，{￢、∧、Ｖ}，{￢、∧}，{￢，-→}，{↓}，{↑}。
（4）真值表：主要用于验证两个公式是否相等。
3.范式（1）主要定义：文字，简单析取式，简单合取式，极小项，极大项，析取范式，公式的析取范式，合取范式，公式的合取范式，主析取范式，公式的主析取范式，主合取范式。
定理2.1：在真命题逻辑中，任何公式都存在着唯一的与之等值的主析取范式与合取范式（2）求公式A的主析取范式的方法与步骤：方法1等值演算法消去A中联结词-→、←→（若存在）；否定号￢内移（德摩根定律）或消去（双重否定律）；使用∧对Ｖ的分配律；将不是极小项的简单合取式等值地化成若干个极小项的析取式；表示，使用冥等律，最后排序。
《离散数学》命题逻辑
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。 说刘老师讲课不好是不正确的。 不下雨我就去买书。
7
命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ） 或 命 题 运 算 符
3
命题与命题联结词
逻辑
如何表示？ 如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。 一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示； 一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
4
命题与命题联结词
32
命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是 命题公式 应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例 判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。 这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。 太阳从西方升起。 如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。 天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。 俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友 俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
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第2章 命题逻辑
p：明天下雨 q: 明天下雪 r：我去上学 明天不是雨夹雪我就去上学 明天不下雨也不下雪我则去上学
¬(pq) → r (¬p ¬q)→r
说数理逻辑没意思或毫无价值，那是不对的 p：数理逻辑有意思 q:数理逻辑有价值 ¬(¬p ¬q)
2.3 命题公式及其赋值
• 【形式系统】 用形式语言描述的系统称为形式系 统（或称符号系统）。形式语言中的语句是由一 些事先选定的符号（主要是数学符号）按严格的 语法规则构成的字符串。
（1）张晓静爱唱歌或爱听音乐。
不可兼或
（2）张晓静只能挑选202房或203房。
（1）令p:张晓静爱唱歌；q:张晓静爱听音乐，
p∨q 则： （2）令r:张晓静住202房；s:张晓静住203房，
则: (r∧┐s)∨(┐r∧…就…、有…就…、一旦…就…
5 是无理数 。
真值为0 真值为1
简单命题与复合命题
• 定义2.2 一个命题若不能分解为更简单的命题形式， 则称该命题为一个简单命题，或原子命题。 • 命题一般表示为p，q，r……
• 定义2.3 由命题联结词和其他命题组成的命题称为复 合命题。
例如：
猪八戒不是猪
孙悟空和唐僧都是神仙、
如果唐僧从西天取回真经，就会是神仙
• 一个语句的真假常常与情境(时间和地点)、判断 技术、判断能力有关。
2012年1月1日是晴天 火星上有生命 我正在说假话
2012年是世界末日 以上3个都是命题。
悖论
• 每个命题的真假称之为命题的“真值”。
• 真值可以表示为 （真、假）（T、F） （0、1） 例如： （1） 8是素数。 （2）
命题连接词----蕴涵联结词
• 设p，q都是命题，则pq也是一个命题，称为蕴涵 式，读作“如果p，则q”； • p称为前件， q称为后件。 • pq为假当且仅当p为真q为假． p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 pq 1 1 0 1
第二章 命题逻辑[2010](1)
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（二）不相容选言命题
• 不相容选言命题是断定两种事物情况中有且只 有一种情况成立的选言命题。 有一种情况成立的选言命题。 • 或为玉碎，或为瓦全。 或为玉碎，或为瓦全。 • 今天不是星期一，就是星期二。 今天不是星期一，就是星期二。 • 任一个自然数或者是偶数，或者是奇数。 任一个自然数或者是偶数，或者是奇数。
• • • • • • •
并非：并不是，…不成立，…是假的，…不符 并不是， 不成立， 是假的， 并不是 合事实，等等。 合事实，等等。 并且：和；然后；不但，而且；虽然，但是； 和 然后；不但，而且；虽然，但是； 不仅， 等等。 不仅，还；等等。 或者：要么，要么；二者必居其一；等。 要么，要么；二者必居其一； 要么 要么：或者；要么，要么；二者必居其一；等。 或者；要么，要么；二者必居其一； 或者 如果，则：假如，就；倘若，便；只要，就； 假如， 假如 倘若， 只要， 哪怕， 就算， 哪怕，也；就算，也；当…时；等。 只有，才：除非，才；除非，不；不，就不； 除非， 除非 除非， 就不； 仅当， 等等。 仅当，才；等等。 当且仅当：如果…则…并且只有…才…，如 如果… 如果 并且只有… 并且如果非…则非… 等等。 果…则…并且如果非…则非…，等等。
约定： 约定：
• 整个公式外面的括号可以省略； 整个公式外面的括号可以省略； • 各联结词的结合力依下列次序递减： 各联结词的结合力依下列次序递减：
¬；∧；∨；→；↔
• 连续的“→”从后向前结合。 连续的“→”从后向前结合。 从后向前结合
（一）逻辑性质
• 联言命题是判定几种事物同时存在的复合命题 • 只有他的各个联言支都是真的，它本身才是真的 只有他的各个联言支都是真的， 如果由一个支命题为假，则联言命题为假。 ；如果由一个支命题为假，则联言命题为假。 • p∧q
离散数学讲义 第二章命题逻辑PPT课件
解 令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。
于是上述命题可表示为P→Q。
7
5．等值“”
定义2.2.5 设P和Q是两个命题，则它们的等值命
题是一个复合命题，称为等值式复合命题，记作“P Q” （读作“P当且仅当Q”）。
当P和Q的真值相同时,PQ取真,否则取假。
例10
P
Q
P Q
0
0
1
0
1
0
1
0
0
德.摩根定律
E11
PQP∨Q
E12
P Q (P∧Q)∨(P∧Q)
E13
P (QR) (P∧Q) R
E14
P Q (PQ)∧(QP)
E15
PQQP
23
三、等价式的判别
有两种方法：真值表方法，命题演算方法
1、真值表方法
例1 用真值表方法证明 E10： (PQ) PQ
解 令：A= (PQ)，B= PQ，构造A，B
一个复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。
当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则 P→Q为真。
P
Q
P→Q
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
例8 若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；
R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.
例9 将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜
就读完它。”符号化。
对于上述五种联结词，应注意到： 复合命题的真值只取决于构成它的各原子命题的真 值，而与这些原子命题的内容含义无关。
9
命题符号化
利用联结词可以把许多日常语句符号化。基本步骤如下：
人民大2024逻辑学导论(第5版)PPT第二章 命题逻辑
第二章：命题逻辑
• 为了避免结构歧义，二元联结词为主联结词的公式外侧总有括号。但层层叠叠的括号有时
令人困扰，所以这里约定三条省略括号的规则。
• (1)公式最外层的括号总是可以省略。例如：(p∧q)可写作p∧q，(┑((p∧q) (r∨s))∧p)可写
第二章：命题逻辑
• 1.充分条件假言命题及其推理 • 充分条件假言命题是由“如果，则”这类联结词连接两个支命
题而形成的命题，它在自然语言中有多种表述方式，例如： • (1)如果物体摩擦，则物体生热。 • (2)只要你勤奋耕耘，总会有所收获。 • (3)假如这个玻璃杯从我手中滑落，则它会摔得粉碎。
第二章：命题逻辑
题同时为真外，还表示并列关系、承接关系、递进关系、转折关系、对比关 系等等。
第二章：命题逻辑
• 为了与日常联结词相区别，同时也为了书写的方便，逻辑学家们特制了一些
专门的符号去表示真值联结词：
• (1)∧：读作“合取”(conjunction)，相当于日常语言中的“并且”。
• (2)∨：读作“析取”(disjunction)，相当于日常语言中的“或者”。
第二章：命题逻辑
第二节 真值联结词 真值形式
第二章：命题逻辑
一、从日常联结词到真值联结词
• 在命题逻辑中，简单命题究竟是一个什么样的命题，究竟是真是假，实际上 是无关紧要的；真正重要的是复合命题的逻辑性质，以及由这种性质所决定 的复合命题与其支命题之间以及复合命题相互之间的逻辑关系。而这是由命 题联结词决定的。
• 命题形式有两种成分：代表具体内容的位置，由命题变项表示；连接或组合 这些位置的结构成分，即命题联结词，亦称“逻辑常项”。
离散数学第二章命题逻辑等值演算
再如 ┑p ∨ q 既是p →q的析取范式又是它的的合取范式
如果公式的范式不唯一则对于将公式按等值进行分类的利用价值就不高
p q (p → q)∧(q→p) (p∧q)∨(┓p∧┓q)
00
1
1
01
0
0
10
0
0
11
1
1
（0,0）与（1,1）为公式的成真赋值。 （0,1）与（1,0）为公式的成假赋值
命题公式的分类（根据公式在赋值下的真值情况进行分类） 1）若命题公式在它的各种赋值下取值均为真,则称命题公式是重言
式或永真式。 2）若命题公式在它的各种赋值下取值均为假,则称命题公式是矛盾
2
如：┐Q∧（Ｐ→Q） → ┐P
4
分析1：若要得出：当设 A为真，B为
假的情况不会出现，
5
那么A →B 为永真式。
6
可证明：设前件为真
7
分析2： 还可以从设 B为假，推出A
为真的情况不会出现（A为假），
9
证明： 设后件为假
8
那么A →B 为永真式。
1 0
(（Ｐ→Q）∧( Q→R)) →(Ｐ→R)
不同真值表的公式 1）当命题变元确定后，通过五个连接词及其命题变元可以构成 无数个不 同表现形式的命题公式。 问题：这些不同形式的命题公式的真值表是否都不相同？ 先看变元仅有两个p,q 那么关于这两个变元的公式的赋值仅有4组
（┐p ∨ q）∧（┐q∨┐p∨r）∧┐q
是含三个简单析取式的合取范式．
2、性质：
1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式
2)一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式
┐p ∧ P ∨ ┐ q∧ q ⇔ 0 ∨ 0 ⇔ 0
逻辑学第二章
（二）、不相容选言推理
1、定义：不相容选言推理就是前提中有 一个是不相容选言命题，并根据不相容 选言命题的逻辑特征进行的推理。 2、规则：（1）肯定一个选言肢，就要 否定其它的选言肢。 （2）否定一个选言肢以外的选言肢，就 要肯定余下的那个选言肢。
在现代汉语中并列复句、递进复句、 转折复句、连贯复句都表达联言命题。
例1、“我们不但善于破坏一个旧世界， 我们还将善于建设一个新世界”（递进） 2、“虽然我现在放假了,但比上班还要 忙碌。”(转折) 3、前一个星期天，我们班的同学先到山 上采果实，接着又到溪边野炊。（连贯） 联结词有时可以省略。
二、联言命题的逻辑值
1、联言命题的真值表 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p ∧ q 真 假 假 假
2、联言命题的逻辑特征：只有当每一个肢命 题同时为真时，联言命题才真。否则就假。
四、联言推理
联言推理是前提或结论为联言命题的推理。 联言推理的有效式 1、分解式 p并且q 所以，p (p ∧ q) p
四、联言推理
（一）充分条件假言命题
3、充分条件假言命题的公式： 如果p，那么q p → q (“→”是蕴涵符号，表示现代 汉语中的“如果……那么……”) 4、充分条件假言命题的语言表达形式： “如果……那么……”；“只要…… 就……”；“倘若……则……”等等。
（一）充分条件假言命题
5、充分条件假言命题的真值表
一、联言命题
1、定义：联言命题是反映若干事物情况同时 存在的命题。 例如：某商品价廉并且物美 在联言命题中，联言支可以是两个，也可以 是两个以上。 例：张红喜欢唱歌、并且喜欢跳舞，并且喜 欢打球。 2、公式：P并且q p ∧ q（“P”和“q”表示 肢命题，“并且”表示联结词。也可以用 “∧”合取符号表示“并且” ）
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。