灰色综合评价
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系统工程理论
灰数的基本概念
灰色系统理论中关于灰数运算与灰代数系统的研 究一直备受瞩目，但迄今尚无满意进展。
灰数常以其“核”作为代表。 一般地，若灰数取值的分布信息已知，数学期望 便是其核。 灰数的运算可转化为其核的运算，核的运算结果 就是运算结果的核。
系统工程理论
灰数的基本概念
有一类灰数在某个基本值附近变动。在系统分析 过程中，常以此基本值替代灰数来进行系统分析，此 。求灰数白化值 基本值被称为灰数的白化值，记为 的过程被称为灰数的白化。将灰数白化有多种方法。
等权均值白化 设有区间灰数
a, a
，则其等权均值白化值
1 a a 2
当区间灰数的分布信息缺乏时，常使用其等权均 值白化值。
系统工程理论
灰色关联分析
关联度 —— 评价对象与标准对象的接近程度。
关联分析 —— 通过计算 比较序列与参考序 列的关联度来定量 分析二者间的接近 程度。
我国城市最低生活保障标准的灰色关联分析的数据
解：
容易求出，三者间的灰色关联度矩阵为
R 0.5903 0.5948
T
我国城市最低生活保障标准的灰色关联分析的MATLAB程序
系统工程理论
灰色关联分析
已知深圳发展银行2006年至2010年的营业收入及 其中所含的利息收入、手续费及佣金收入、投资收益 和汇兑收益相关数据，请分析营业收入与后四者之间 的关联程度。
显然，r0 i 愈大，则第 i 个比较序列在整体上与参 考序列愈接近。
系统工程理论
灰色关联分析
灰色关联分析例题一：
我国2001年～2005年国内生产总值及第一产业、 第二产业和第三产业的相关数据(单位:千亿元)见下 表，请以国内生产总值为特征序列计算灰色关联度。
2001 国内生产总值 109.7 2002 120.3 2003 135.8 2004 159.9 2005 183.1
y
30
0
20
1
2
10
1
2
3
4
5
t
系统工程理论
灰色关联分析
设系统有 m 个行为序列，每个序列有 n 个数据
点：
Y0 y0 1 , y0 2 , , y0 n Y1 y1 1 , y1 2 , , y1 n Y2 y2 1 , y2 2 , , y2 n Ym ym 1 , ym 2 , , ym n
国内生产总值 第一产业产值 第二产业产值 第三产业产值
采用初值像可以求出灰色关联度矩阵为
0.5664 R 0.7875 0.8546
第三产业产值
系统工程理论
灰色关联分析例题一的MATLAB程序
灰色关联分析
灰色关联分析例题二：
请比较1988年各发达国家的企业 R&D 经费来源比 例与美国的相似程度。相关数据见下表。
系统工程理论
即
y11 y21 ym1
灰色综合评价
单层次灰色综合评价的步骤
确定最优指标集
y0 j
j 1, 2, , n
或者，等价地
Y0 y01 y02 y0n
系统工程理论
灰色综合评价
关于最优指标集的说明：
最优指标值可以是某种确定的标准，也可以是评 估者公认的最优值，还可以简单地采用
深圳发展银行收入数据
解：
容易求出，灰色关联度矩阵为
R 0.8823 0.7465 0.7064 0.8145
T
基于灰色关联度的商业银行营业收入研究的MATLAB程序
系统工程理论
灰色综合评价
我们下面将讨论基于灰色关联度分析的灰色综合 评价方法。
灰色综合评价可分为：
单层次灰色综合评价
多层次灰色综合评价
指标 2
指标 n
x0 n x1n xmn
最优指标集
评价对象 1 评价对象 m
系统工程理论
灰色综合评价
数据均值化
其中，
yj
y
i 0
m
ij
m 1
j 1, 2, , n
系统工程理论
灰色综合评价
数据初值化
将矩阵 y 的每列所有数据除以该列的第一个数 据，得到无量纲矩阵
j j j
i 0,1, 2, , m; j 1, 2, , n
一般地，三种数据标准化来自百度文库法不宜混用，可根据 实际情况选用其一。
系统工程理论
灰色综合评价
定义灰色关联系数：
min min x0 j xij max max x0 j xij
i j i j
rij
x0 j xij max max x0 j xij
i j
i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
min min 其中， 0,1 为分辨系数，常取 0.5 ， i j max x0 j xij 为两级最大差。 为两级最小差，max i j
x01 x11 X xm1 x02 x12 xm 2 x0 n x1n xmn
其中，xij
yij y0 j
i 0,1, 2, , m; j 1, 2, , n 。
参考序列 第 1 个比较序列 第 m 个比较序列
其中，
yij yi j
i 0,1, 2, , m; j 1, 2, , n
然后，将各序列数据标准化。
系统工程理论
灰色关联分析
数据标准化的方法有：
初值像
xij yij yi1
i 0,1, 2, , m; j 1, 2, , n
显然，rij 0,1 。
系统工程理论
灰色关联分析
比较序列与参考序列之间的灰色关联度矩阵：
r01 r R 02 r 0m
其中，第 i 个比较序列与参考序列之间的灰色关联度
1 n r0 i r0 j n j 1
i 1, 2, , m
美国
法国 英国
0.5621 0.6439 R 0.7329 0.731 3 0.6229
系统工程理论
采用均值像可以求出灰色关联度矩阵为
灰色关联分析例题二的MATLAB程序
灰色关联分析
灰色关联分析例题三 已知我国1999年至2000年期间的城市最低生活保 障平均标准、人均国内生产总值指数和城市居民消费 价格指数，请分析三者间的关联情况。
x0 j xij
系统工程理论
灰色关联分析
分析灰色关联系数的定义式，可以看出，分辨系 数、两级最小差和两级最大差均为常数。
因而，第 i 个比较序列的第 j 个数据 xij i 1, 2,3 距其参考序列的第 j 个数据 x0 j 愈近，则 x0 j xij 愈 小，灰色关联系数 rij 就愈大，即二者间的关联程度愈 高。
系统工程理论
灰色综合评价
确定评价矩阵 以最优指标集为参考序列，各评价对象的指标为 比较序列，计算第 i 个评价对象与第 j 个最优指标的
灰色关联系数
rij min min x0 j xij max max x0 j xij
y0 j Optimum yij
i 1, 2, , m
来确定最优指标集。即，如果指标值越大越好，则以 该指标在各方案中的最大值为最优标准；如果指标值 越小越好，则以该指标在各方案中的最小值为最优标 准。
系统工程理论
灰色综合评价
构造原始矩阵
最优指标集和评价对象的指标构成原始矩阵
回
顾
系统的类型
按照人们对系统的认识程度，系统可分为
黑色系统 —— 只明确系统与环境关系，对于系统内部的结 构、层次关系、组成元素和实现机理等一无所知。 白色系统 —— 一切都明朗化，既明确系统与环境之间的相 互作用关系，也明确系统内部结构、元素和特征。
系统工程理论
回
顾
灰色系统 —— 部分明确系统与环境的关系、系统结构和实 现过程等。
政府（%）
美国 日本 原联邦德国 33.6 1.6 16.1 23.5
企业（%）
66.4 98.0 82.2 69.6
其它（%）
0.0 0.4 1.7 6.9
法国
英国 意大利
23.2
16.9
65.6
77.7
11.3
5.4
系统工程理论
灰色关联分析
原始数据矩阵：
33.6 1.6 16.1 Y 23.5 23.2 16.9 66.4 98.0 82.2 69.6 6.9 65.6 11.3 77.7 5.4 0.0 0.4 1.7
系统工程理论
灰色综合评价
单层次灰色综合评价
设有 m 个评价对象，每个评价对象有 n 个评价 指标，第 i 个评价对象的第 j 个指标为
yij
i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
y12 y22 ym 2 y1n y2 n ymn
第一产业产值
第二产业产值 第三产业产值
数据来源：中国统计年鉴2006
15.5
49.5 44.6
16.2
53.9 50.2
17.1
62.4 56.3
21.0
73.9 65.0
23.1
87.0 73.0
系统工程理论
灰色关联分析
原始数据矩阵：
109.7 15.5 Y 49.5 44.6 120.3 135.8 159.9 183.1 16.2 17.1 21.0 23.1 53.9 62.4 73.9 87.0 50.2 56.3 65.0 73.0
统。
灰色系统理论的重要特点是“少数据建模”。
系统工程理论
灰数的基本概念
白数 —— 取值完全确定的数。
黑数 —— 取值范围不能确定的数。 灰数 —— 只知其取值范围而不知其确切值的数。 信息不完全是“灰”的基本含义。应用中，灰数 是指在某个区间或某个数集内取值的不确定数。 比如，设有一灰数 a, a ，若 a a ，则 成 为白数；若 a 且 a ，则 成为黑数。
指标 1
y01 y11 Y ym1 y02 y12 ym 2
指标 2
指标 n
y0 n y1n ymn
最优指标集
评价对象 1
评价对象 m
系统工程理论
灰色综合评价
数据无量纲化处理
一般地，量纲不同的数据不能相互比较。
其中
Y0
为参考序列， Y1 , Y2 , , Ym 为比较序列。
行为序列可以是时间序列和指标序列等。
系统工程理论
灰色关联分析
构造原始数据矩阵：
y01 y11 Y ym1 y02 y12 ym1 y0 n y1n ymn
灰色系统是明晰程度介乎于白色系统和黑色系统 之间的系统。 社会经济系统常常呈现灰色特征。
系统工程理论
回顾
概率论和数理统计研究“随机不确定”问题，考 察随机现象发生的统计规律，要求大样本。 模糊数学研究“认知不确定”问题，其研究对象 具有内涵明确但外延模糊的特点。 灰色系统理论研究小样本、贫信息的不确定性系
无量纲化的方法有 数据均值化 数据初值化 数据极差化 数据标准化 „„ 常用的有数据均值化和数据初值化。
系统工程理论
灰色综合评价
数据均值化
将矩阵 y 的每列所有数据除以该列数据的平均值 便得到无量纲矩阵
指标 1
x01 x11 X xm1 x02 x12 xm 2
均值像
yij xij yi n y 1 yij i n j 1
i 0,1, 2, , m; j 1, 2, , n i 0,1, 2, , m
系统工程理论
灰色关联分析
区间值像
xij yij min yij max yij min yij
灰数的基本概念
灰色系统理论中关于灰数运算与灰代数系统的研 究一直备受瞩目，但迄今尚无满意进展。
灰数常以其“核”作为代表。 一般地，若灰数取值的分布信息已知，数学期望 便是其核。 灰数的运算可转化为其核的运算，核的运算结果 就是运算结果的核。
系统工程理论
灰数的基本概念
有一类灰数在某个基本值附近变动。在系统分析 过程中，常以此基本值替代灰数来进行系统分析，此 。求灰数白化值 基本值被称为灰数的白化值，记为 的过程被称为灰数的白化。将灰数白化有多种方法。
等权均值白化 设有区间灰数
a, a
，则其等权均值白化值
1 a a 2
当区间灰数的分布信息缺乏时，常使用其等权均 值白化值。
系统工程理论
灰色关联分析
关联度 —— 评价对象与标准对象的接近程度。
关联分析 —— 通过计算 比较序列与参考序 列的关联度来定量 分析二者间的接近 程度。
我国城市最低生活保障标准的灰色关联分析的数据
解：
容易求出，三者间的灰色关联度矩阵为
R 0.5903 0.5948
T
我国城市最低生活保障标准的灰色关联分析的MATLAB程序
系统工程理论
灰色关联分析
已知深圳发展银行2006年至2010年的营业收入及 其中所含的利息收入、手续费及佣金收入、投资收益 和汇兑收益相关数据，请分析营业收入与后四者之间 的关联程度。
显然，r0 i 愈大，则第 i 个比较序列在整体上与参 考序列愈接近。
系统工程理论
灰色关联分析
灰色关联分析例题一：
我国2001年～2005年国内生产总值及第一产业、 第二产业和第三产业的相关数据(单位:千亿元)见下 表，请以国内生产总值为特征序列计算灰色关联度。
2001 国内生产总值 109.7 2002 120.3 2003 135.8 2004 159.9 2005 183.1
y
30
0
20
1
2
10
1
2
3
4
5
t
系统工程理论
灰色关联分析
设系统有 m 个行为序列，每个序列有 n 个数据
点：
Y0 y0 1 , y0 2 , , y0 n Y1 y1 1 , y1 2 , , y1 n Y2 y2 1 , y2 2 , , y2 n Ym ym 1 , ym 2 , , ym n
国内生产总值 第一产业产值 第二产业产值 第三产业产值
采用初值像可以求出灰色关联度矩阵为
0.5664 R 0.7875 0.8546
第三产业产值
系统工程理论
灰色关联分析例题一的MATLAB程序
灰色关联分析
灰色关联分析例题二：
请比较1988年各发达国家的企业 R&D 经费来源比 例与美国的相似程度。相关数据见下表。
系统工程理论
即
y11 y21 ym1
灰色综合评价
单层次灰色综合评价的步骤
确定最优指标集
y0 j
j 1, 2, , n
或者，等价地
Y0 y01 y02 y0n
系统工程理论
灰色综合评价
关于最优指标集的说明：
最优指标值可以是某种确定的标准，也可以是评 估者公认的最优值，还可以简单地采用
深圳发展银行收入数据
解：
容易求出，灰色关联度矩阵为
R 0.8823 0.7465 0.7064 0.8145
T
基于灰色关联度的商业银行营业收入研究的MATLAB程序
系统工程理论
灰色综合评价
我们下面将讨论基于灰色关联度分析的灰色综合 评价方法。
灰色综合评价可分为：
单层次灰色综合评价
多层次灰色综合评价
指标 2
指标 n
x0 n x1n xmn
最优指标集
评价对象 1 评价对象 m
系统工程理论
灰色综合评价
数据均值化
其中，
yj
y
i 0
m
ij
m 1
j 1, 2, , n
系统工程理论
灰色综合评价
数据初值化
将矩阵 y 的每列所有数据除以该列的第一个数 据，得到无量纲矩阵
j j j
i 0,1, 2, , m; j 1, 2, , n
一般地，三种数据标准化来自百度文库法不宜混用，可根据 实际情况选用其一。
系统工程理论
灰色综合评价
定义灰色关联系数：
min min x0 j xij max max x0 j xij
i j i j
rij
x0 j xij max max x0 j xij
i j
i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
min min 其中， 0,1 为分辨系数，常取 0.5 ， i j max x0 j xij 为两级最大差。 为两级最小差，max i j
x01 x11 X xm1 x02 x12 xm 2 x0 n x1n xmn
其中，xij
yij y0 j
i 0,1, 2, , m; j 1, 2, , n 。
参考序列 第 1 个比较序列 第 m 个比较序列
其中，
yij yi j
i 0,1, 2, , m; j 1, 2, , n
然后，将各序列数据标准化。
系统工程理论
灰色关联分析
数据标准化的方法有：
初值像
xij yij yi1
i 0,1, 2, , m; j 1, 2, , n
显然，rij 0,1 。
系统工程理论
灰色关联分析
比较序列与参考序列之间的灰色关联度矩阵：
r01 r R 02 r 0m
其中，第 i 个比较序列与参考序列之间的灰色关联度
1 n r0 i r0 j n j 1
i 1, 2, , m
美国
法国 英国
0.5621 0.6439 R 0.7329 0.731 3 0.6229
系统工程理论
采用均值像可以求出灰色关联度矩阵为
灰色关联分析例题二的MATLAB程序
灰色关联分析
灰色关联分析例题三 已知我国1999年至2000年期间的城市最低生活保 障平均标准、人均国内生产总值指数和城市居民消费 价格指数，请分析三者间的关联情况。
x0 j xij
系统工程理论
灰色关联分析
分析灰色关联系数的定义式，可以看出，分辨系 数、两级最小差和两级最大差均为常数。
因而，第 i 个比较序列的第 j 个数据 xij i 1, 2,3 距其参考序列的第 j 个数据 x0 j 愈近，则 x0 j xij 愈 小，灰色关联系数 rij 就愈大，即二者间的关联程度愈 高。
系统工程理论
灰色综合评价
确定评价矩阵 以最优指标集为参考序列，各评价对象的指标为 比较序列，计算第 i 个评价对象与第 j 个最优指标的
灰色关联系数
rij min min x0 j xij max max x0 j xij
y0 j Optimum yij
i 1, 2, , m
来确定最优指标集。即，如果指标值越大越好，则以 该指标在各方案中的最大值为最优标准；如果指标值 越小越好，则以该指标在各方案中的最小值为最优标 准。
系统工程理论
灰色综合评价
构造原始矩阵
最优指标集和评价对象的指标构成原始矩阵
回
顾
系统的类型
按照人们对系统的认识程度，系统可分为
黑色系统 —— 只明确系统与环境关系，对于系统内部的结 构、层次关系、组成元素和实现机理等一无所知。 白色系统 —— 一切都明朗化，既明确系统与环境之间的相 互作用关系，也明确系统内部结构、元素和特征。
系统工程理论
回
顾
灰色系统 —— 部分明确系统与环境的关系、系统结构和实 现过程等。
政府（%）
美国 日本 原联邦德国 33.6 1.6 16.1 23.5
企业（%）
66.4 98.0 82.2 69.6
其它（%）
0.0 0.4 1.7 6.9
法国
英国 意大利
23.2
16.9
65.6
77.7
11.3
5.4
系统工程理论
灰色关联分析
原始数据矩阵：
33.6 1.6 16.1 Y 23.5 23.2 16.9 66.4 98.0 82.2 69.6 6.9 65.6 11.3 77.7 5.4 0.0 0.4 1.7
系统工程理论
灰色综合评价
单层次灰色综合评价
设有 m 个评价对象，每个评价对象有 n 个评价 指标，第 i 个评价对象的第 j 个指标为
yij
i 1, 2, , m; j 1, 2, , n
y12 y22 ym 2 y1n y2 n ymn
第一产业产值
第二产业产值 第三产业产值
数据来源：中国统计年鉴2006
15.5
49.5 44.6
16.2
53.9 50.2
17.1
62.4 56.3
21.0
73.9 65.0
23.1
87.0 73.0
系统工程理论
灰色关联分析
原始数据矩阵：
109.7 15.5 Y 49.5 44.6 120.3 135.8 159.9 183.1 16.2 17.1 21.0 23.1 53.9 62.4 73.9 87.0 50.2 56.3 65.0 73.0
统。
灰色系统理论的重要特点是“少数据建模”。
系统工程理论
灰数的基本概念
白数 —— 取值完全确定的数。
黑数 —— 取值范围不能确定的数。 灰数 —— 只知其取值范围而不知其确切值的数。 信息不完全是“灰”的基本含义。应用中，灰数 是指在某个区间或某个数集内取值的不确定数。 比如，设有一灰数 a, a ，若 a a ，则 成 为白数；若 a 且 a ，则 成为黑数。
指标 1
y01 y11 Y ym1 y02 y12 ym 2
指标 2
指标 n
y0 n y1n ymn
最优指标集
评价对象 1
评价对象 m
系统工程理论
灰色综合评价
数据无量纲化处理
一般地，量纲不同的数据不能相互比较。
其中
Y0
为参考序列， Y1 , Y2 , , Ym 为比较序列。
行为序列可以是时间序列和指标序列等。
系统工程理论
灰色关联分析
构造原始数据矩阵：
y01 y11 Y ym1 y02 y12 ym1 y0 n y1n ymn
灰色系统是明晰程度介乎于白色系统和黑色系统 之间的系统。 社会经济系统常常呈现灰色特征。
系统工程理论
回顾
概率论和数理统计研究“随机不确定”问题，考 察随机现象发生的统计规律，要求大样本。 模糊数学研究“认知不确定”问题，其研究对象 具有内涵明确但外延模糊的特点。 灰色系统理论研究小样本、贫信息的不确定性系
无量纲化的方法有 数据均值化 数据初值化 数据极差化 数据标准化 „„ 常用的有数据均值化和数据初值化。
系统工程理论
灰色综合评价
数据均值化
将矩阵 y 的每列所有数据除以该列数据的平均值 便得到无量纲矩阵
指标 1
x01 x11 X xm1 x02 x12 xm 2
均值像
yij xij yi n y 1 yij i n j 1
i 0,1, 2, , m; j 1, 2, , n i 0,1, 2, , m
系统工程理论
灰色关联分析
区间值像
xij yij min yij max yij min yij