概率论 二重积分的计算二
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D
α
0
二重积分在极坐标下的计算 (3) 若极点O在区域D的内部
D: 0 θ 2π, 0 r r (θ ). 则有
f (r cos θ , r sin θ )rdrdθ
D
r r ( )
D
o
dθ
0
2π
r (θ )
x
0
f (r cos θ , r sin θ )rdr .
β
D
f ( r cos θ , r sin θ )rdrdθ
r2 ( θ ) r1 ( θ )
o
D
α
x
r r (θ )
dθ
α
f ( r cos θ , r sin θ )rdr .
β
(2) 极点O在区域D的边界线上 α o x ，0 r r ( ), 则有 β r (θ ) f (r cos θ , r sin θ )rdrdθ dθ f (r cos θ , r sin θ )rdr .
极点O 原点O
x
y
极轴X x轴
1.利用极坐标系计算二重积分
在直角坐标系下 f ( x , y )d f ( x , y )dxdy
D
D
在极坐标系下
f ( x , y )d f ( r cos θ , r sin θ )dσ
D
极坐标系下的面积微元 dσ如何表示?
f ( r cos θ , r sin θ )rdrd θ . f ( x , y )dxdy D
D
如何计算极坐标系下的二重积分？
化为二次积分或累次积分来计算
二重积分在极坐标下的计算
化为二次积分或累次积分来计算
在极坐标系下化二重积分为二次积分或累次积 分， 同样要解决下面两个问题：
3.2 二重积分的计算
复习
二重积分的计算 （累次积分） X -型
（一）在直角坐标系中 b y2 ( x ) f ( x, y )dxdy dx f ( x, y)dy
D
a
y1 ( x )
y
y y2 ( x )
y y1 ( x )
a
b
或 ( dy
c
d
x2 ( y )
2
dxdy dx
a
e
e
( x 2 y 2 )
dy
dx
y
o
e
( x y )
2
2
xe
D
dxdy a dy
y2
a
a2 y 2 a y
2 2
( x 2 y 2 )
x
x2
dx 或 ye
dy
因此,针对不同形状的积分区域D以及被积函数
y f ( x , y ) 的特点,选择不同的坐标系来计算二重
积分是一个重要的问题.
二、二重积分在极坐标下的计算
二重积分在极坐标下的计算
极坐标(r , )与直角坐标 ( x, y )变换公式
则平面上任意一点的极 坐标(r , )与直角坐标( x, y)之间
如果选取以直角坐标系的原点O为极点， 以x轴为极轴，
的变换公式为
极坐标 ( r , )
r
x r cos y r si nθ
特殊地 D : r1 (θ ) r r2 (θ ),0 θ 2π, 且
r 1 ( ) r 2 ( ) o D
x
f (r cos θ , r sin θ )rdrdθ dθ f (r cos θ , r sin θ )rdr .
D
2π r2 ( θ ) 0 r1 ( θ )
二重积分在极坐标下的计算
f ( x , y )dσ f (r cos θ , r sin θ ) rdrd
D
D
二重积分在极坐标下的计算 二重积分在极坐标系下的表达式为
f ( x , y )dσ f (r cos θ , r sin θ )
D
rdrd
D
直角坐标系下与极坐标系下二重积分的转换公式
3.极坐标下二重积分计算的基本步骤
(1)将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的 二重积分. ① 将 x r cos θ , y r sin θ 代入被积函数, 将面积元素 dxdy 换为 rdrd. , 则
x1 ( y )
f (பைடு நூலகம்x , y )dx ) Y-型
y
d
x x1 ( y)
x
c
x x2 ( y )
x
3.2 二重积分的计算
例 计算 e
解
( x2 y2 )
dxdy , 其中 D : x 2 y 2 a 2 .
a a2 x 2 a x
2 2
e
D
D ( x y2 )
（1）选择积分次序 （2）确定积分的上、下限
2.极坐标系下化二重积分为二次积分
（只研究先对r后对θ的积分次序） 型区域
下面根据极点O与区域D的位置分三种情况讨论 r (θ ) 2 (1)若极点O在区域 D 之外 D r1 (θ ) D : α θ β, r1 (θ ) r r2 (θ ), 则有 β
设过极点O的射线与积分区域D的边界曲线的交点 不多于两点， 函数f ( x, y )在D上连续. 在极坐标系下， 用以极点O为中心的一族同心圆, 以及从极点出发的一族射线, 把区域D分成n个小区域，
o
D
D
A
设 为其中一个典型小闭区 域( 同时也表示该 小闭区域的面积), 它由半径分别为r和r r的同心圆 和极角分别为和 的射线所确定， 则 1 1 2 2 r r r (r r ) r 2 1 2 2 rr rr ( r ) 2 当r充分小时, 略去高阶无穷小量 D 1 2 ( r ) , 得 r r , 2 故面积微元为 d rdrd , o A 这样二重积分在极坐标系下的表达式为
二重积分在极坐标下的计算
利用极坐标计算二重积分积分特征
如果积分区域 D为圆、半圆、圆环、扇形域等， y x 2 2 或被积函数为f (x +y )、 f ( ), f ( ) 等形式， x y 利用极坐标常能简化计算. 要点与步骤:
(1)用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用 极坐标计算;
(2) 画区域图, 列出型区域, 写成极坐标下的 二次积分.
α
0
二重积分在极坐标下的计算 (3) 若极点O在区域D的内部
D: 0 θ 2π, 0 r r (θ ). 则有
f (r cos θ , r sin θ )rdrdθ
D
r r ( )
D
o
dθ
0
2π
r (θ )
x
0
f (r cos θ , r sin θ )rdr .
β
D
f ( r cos θ , r sin θ )rdrdθ
r2 ( θ ) r1 ( θ )
o
D
α
x
r r (θ )
dθ
α
f ( r cos θ , r sin θ )rdr .
β
(2) 极点O在区域D的边界线上 α o x ，0 r r ( ), 则有 β r (θ ) f (r cos θ , r sin θ )rdrdθ dθ f (r cos θ , r sin θ )rdr .
极点O 原点O
x
y
极轴X x轴
1.利用极坐标系计算二重积分
在直角坐标系下 f ( x , y )d f ( x , y )dxdy
D
D
在极坐标系下
f ( x , y )d f ( r cos θ , r sin θ )dσ
D
极坐标系下的面积微元 dσ如何表示?
f ( r cos θ , r sin θ )rdrd θ . f ( x , y )dxdy D
D
如何计算极坐标系下的二重积分？
化为二次积分或累次积分来计算
二重积分在极坐标下的计算
化为二次积分或累次积分来计算
在极坐标系下化二重积分为二次积分或累次积 分， 同样要解决下面两个问题：
3.2 二重积分的计算
复习
二重积分的计算 （累次积分） X -型
（一）在直角坐标系中 b y2 ( x ) f ( x, y )dxdy dx f ( x, y)dy
D
a
y1 ( x )
y
y y2 ( x )
y y1 ( x )
a
b
或 ( dy
c
d
x2 ( y )
2
dxdy dx
a
e
e
( x 2 y 2 )
dy
dx
y
o
e
( x y )
2
2
xe
D
dxdy a dy
y2
a
a2 y 2 a y
2 2
( x 2 y 2 )
x
x2
dx 或 ye
dy
因此,针对不同形状的积分区域D以及被积函数
y f ( x , y ) 的特点,选择不同的坐标系来计算二重
积分是一个重要的问题.
二、二重积分在极坐标下的计算
二重积分在极坐标下的计算
极坐标(r , )与直角坐标 ( x, y )变换公式
则平面上任意一点的极 坐标(r , )与直角坐标( x, y)之间
如果选取以直角坐标系的原点O为极点， 以x轴为极轴，
的变换公式为
极坐标 ( r , )
r
x r cos y r si nθ
特殊地 D : r1 (θ ) r r2 (θ ),0 θ 2π, 且
r 1 ( ) r 2 ( ) o D
x
f (r cos θ , r sin θ )rdrdθ dθ f (r cos θ , r sin θ )rdr .
D
2π r2 ( θ ) 0 r1 ( θ )
二重积分在极坐标下的计算
f ( x , y )dσ f (r cos θ , r sin θ ) rdrd
D
D
二重积分在极坐标下的计算 二重积分在极坐标系下的表达式为
f ( x , y )dσ f (r cos θ , r sin θ )
D
rdrd
D
直角坐标系下与极坐标系下二重积分的转换公式
3.极坐标下二重积分计算的基本步骤
(1)将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的 二重积分. ① 将 x r cos θ , y r sin θ 代入被积函数, 将面积元素 dxdy 换为 rdrd. , 则
x1 ( y )
f (பைடு நூலகம்x , y )dx ) Y-型
y
d
x x1 ( y)
x
c
x x2 ( y )
x
3.2 二重积分的计算
例 计算 e
解
( x2 y2 )
dxdy , 其中 D : x 2 y 2 a 2 .
a a2 x 2 a x
2 2
e
D
D ( x y2 )
（1）选择积分次序 （2）确定积分的上、下限
2.极坐标系下化二重积分为二次积分
（只研究先对r后对θ的积分次序） 型区域
下面根据极点O与区域D的位置分三种情况讨论 r (θ ) 2 (1)若极点O在区域 D 之外 D r1 (θ ) D : α θ β, r1 (θ ) r r2 (θ ), 则有 β
设过极点O的射线与积分区域D的边界曲线的交点 不多于两点， 函数f ( x, y )在D上连续. 在极坐标系下， 用以极点O为中心的一族同心圆, 以及从极点出发的一族射线, 把区域D分成n个小区域，
o
D
D
A
设 为其中一个典型小闭区 域( 同时也表示该 小闭区域的面积), 它由半径分别为r和r r的同心圆 和极角分别为和 的射线所确定， 则 1 1 2 2 r r r (r r ) r 2 1 2 2 rr rr ( r ) 2 当r充分小时, 略去高阶无穷小量 D 1 2 ( r ) , 得 r r , 2 故面积微元为 d rdrd , o A 这样二重积分在极坐标系下的表达式为
二重积分在极坐标下的计算
利用极坐标计算二重积分积分特征
如果积分区域 D为圆、半圆、圆环、扇形域等， y x 2 2 或被积函数为f (x +y )、 f ( ), f ( ) 等形式， x y 利用极坐标常能简化计算. 要点与步骤:
(1)用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用 极坐标计算;
(2) 画区域图, 列出型区域, 写成极坐标下的 二次积分.