8.2.4互感电路的计算 - 互感电路的计算2

等效电路？
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互感电路
4.耦合电感的受控源等效电路
I1 jωM I2
I1 jωMI&2 ++ -
++ +*
U1
L1
*+++
L2
U2
U1 jωL1 -
-- -
---
UU&&21
jωL1I&1 jωL1I&2
jωMI&2 jωMI&1
I1 jωMI&2
+- + U1 jωL1
两种等效电路的特点：
U& U&
Z1I&1 - ZM I&2 - ZM I&1 + Z2 I&2
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互感电路
2)异侧并联：并联且非同名端连接在同一个节点上
U& U&
Z1I&1 - ZM I&2 - ZM I&1 + Z2 I&2
I&1
Z2 + ZM
Z1 Z 2
-
Z
2 M
U&，
I
M
+ + * I1
U1
U
+
Z2 I&2 + (jωL2 I&2 + jωM12 I&1 - jωM23 I&3 )
+ (jωL3 I&3 - jωM13 I&1 - jωM23 I&2 ) + Z3 I&3 U&S2
(Z1+jωL1-jωM13)I&1+(jωM12-jωI&M1 +23I&)2I&2 I&3 + (Z3 + jωL3 - jωM13 )I&3 U&S1 (jωM12 - jωM13 )I&1 + ( Z2 + jωL2 - jωM23 )I&2
U2 L2
-
U +
+
UR1 R1 UR2 R2
--
-
[R1 + jω(L1 - M )]I&1 + jωMI& U& (R2 + jωL2 )I&2 + jωM(I&- I&2 )
I
1+
M
2
I1
I2
[R2 + jω(L2 - M )]I&2 + jωMI&
L1 - M L2 - M
根据上述方程可获得无互感
互感电路
2.耦合电感的并联
1)同侧并联：并联且同名端连接在同一个节点上
U& U&R1 + U&1 R1I&1 + jωL1I&1 + jωMI&2 (R1 + jωL1 )I&1 + jωMI&2
+
I +*
U1
U&
U&R2 + U&2 R2I&2 + jωL2 I&2 + (R2 + jωL2 )I&2 + jωMI&1
+ [jωL3 (I&a - I&b ) - jωM13 I&a + jωM23 I&b ] + Z3 (I&a - I&b ) U&S1
Z2 I&b + [jωL2 I&b - jωM12 I&a + jωM23 (I&a - I&b )]
- [jωL3 (I&a - I&b ) - jωM13 I&a + jωM23 I&b ] - Z3 (I&a - I&b ) -U&S2
L1
+ I2
U2
+-*
L2
UR1 R1 UR2 R2
--
-
I&2
Z1 + ZM
Z1 Z 2
-
Z
2 M
U&
I&
I&1 +
I&2
Z1 + Z2 + 2ZM
Z1 Z 2
-
Z
2 M
U&
Zeq
Z1 Z2
-
Z
2 M
Z1 + Z2 + 2ZM
当R1
R2
0时，有
Zeq
jω
L1L2 - M 2 L1 + L2 + 2M
jωMI&1 U
-
+-
UR1
-
M
I1 +*
L1
U2
+-
R1 UR2
-
I2
L2
R2
令Z1 R1 + jωL1， Z2 R2 + jωL2，ZM jωM，则
U& U&
Z1I&1 + ZM I&2 ZM I&1 + Z2 I&2
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互感电路
1)同侧并联：并联且同名端连接在同一个节点上
U& U&
＋R uS
C*
*
L1
L2
因为电压 us 与电流 i 同相 －
所以电路发生了谐振
由谐振条件 电路的电抗部分为零
＋I R
US
－
CM L1 - M
L2 - M
j
C
M
+ (L1 - M (L1 - M )
0.25μF
)(L2 - M )
i+(Lu2 S-
M)
5
+
sin
1
jC
103 tA
0
R
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U
R1
R2
等效电路(去耦等效电路)。
-
注意去耦等效电路中的节点。
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互感电路
4)异侧并联时的去耦等效电路
I 1 M
U& (R1 + jωL1 )I&1 - jωMI&2 U& ( R2 + jωL2 )I&2 - jωMI&1
I I1 + I2
U& (R1 + jωL1 )I&1 - jωM(I&- I&1 )
+ (Z3 + jωL3 - jωM23 )I&3 U&S2
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互感电路
I1 Z1Байду номын сангаас
L1 M12 L2
Z2 I2
回路法：
*
+
U&S1
M13
L3 *
M23
+
U&S2
-
I&a Z3 I&a - I&b I&b
-
Z1I&a + [jωL1I&a - jωM12 I&b - jωM13 (I&a - I&b )]
Z1I&1 + ZM I&2 ZM I&1 + Z2 I&2
I&1
Z2 - ZM
Z1 Z 2
-
Z
2 M
U&，
I
M
+ + * I1
U1
U
+
L1
+* I2
U2
-
L2
+
UR1 R1 UR2 R2
--
-
I&2
Z1 - ZM
Z1 Z 2
-
Z
2 M
U&
I&
I&1 +
I&2
Z1 + Z2 - 2ZM
Z1 Z 2
jωLeq
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互感电路
3)同侧并联时的去耦等效电路
I 1 M
U& (R1 + jωL1 )I&1 + jωMI&2 U& ( R2 + jωL2 )I&2 + jωMI&1
I I1 + I2
U& (R1 + jωL1 )I&1 + jωM(I&- I&1 )
+
+ * I1
U1
-
L1
+* I2
根据上述方程可获得无互感
U
R1
R2
等效电路(去耦等效电路)。
-
注意去耦等效电路中的节点。
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互感电路
例4 图示正弦稳态电路中， uS (t) 100 sin103tV ，
R=20Ω，L1=5H，L2=8H，M=2H，且电压 us 与电流 i
同相。试求电容 C 和电流 i 。 i
M
解：作去耦电路
U&23 jωL2 I&2 - jωMI&1
I I1 + I2
UU&&1233
jω( L1 jω( L2
+ +
M )I&1 M )I&2 -
jωMI& jωMI&
等效电感与电流的参考方向有关吗？
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互感电路
I1 Z1
M12
L1
L2
Z2 I2
例6 列写右图 电路方程。
分析：
+ U&S1
+
+▲ I1 + I2
U1
-
L1
U2 L2
-▲
U +
+
UR1 R1 UR2 R2
--
-
[R1 + jω(L1 + M )]I&1 - jωMI& U& (R2 + jωL2 )I&2 - jωM(I&- I&2 )
I -M
1+
2
I1
I2
[R2 + jω(L2 + M )]I&2 - jωMI&
L1 + M L2 + M
-1
H
1H
1 1rad / s
LeqC
-M L1 + M L2 + M
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互感电路
3. 耦合电感的三端连接（两电感有公共端）
1)同名端接在一起
I1 jM I2
1 ** 2
jL1
jL2
I1
1
j(L1-M)
I2
2
j(L2-M)
jM
U&13
3
I jωL1
I&1
+
jωMI&2
3 I
U&23 jωL2 I&2 + jωMI&1
互感电路
此题也可先作出去耦等效电路，再列方程(一对
一对消)：
M12
• L1
L2
•
*
M13
L3 M23
*
L1-M12 L2-M12
L3+M12 *
M13
M23
*
L1-M12 -M13 +M23 L2-M12 +M13 -M23
L3+M12 -M13 -M23
想一想：若 M12 = M13 = M23 = M ，试画出去耦
-
Z
2 M
U&
Zeq
Z1 Z2
-
Z
2 M
Z1 + Z2 - 2ZM
当R1
R2
0时，有 Zeq jω
L1L2 - M 2 L1 + L2 - 2M
jωLeq
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互感电路
2)异侧并联：并联且非同名端连接在同一个节点上
I
M
U& U&R1 + U&1 R1I&1 + jωL1I&1 - jωMI&2 +
互感电路
例5 图示电路中，已知L1=2H，L2=5H，M=1H，
R=1Ω，C=1F。求该电路谐振时的角频率 。
i
M
解：作去耦电路 电路的等效电感为
＋R C *
uS
L1
L2
－
*
Leq
L1 + M L2 + M L1 + M + L2 + M
-
M
IR
＋
U
－
S
C
2 +15 +1 2 +1 + 5 +1
I I1 + I2
U&13 jω(L1 - M )I&1 + jωMI& U&23 jω(L2 - M )I&2 + jωMI&
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互感电路
2)非同名端接在一起
I1 jM I2
I1 I2
1
2
1*
2
j(L1+M) j(L2+M)
jL1
jL2
*
-jM
3 I
3 I
U&13 jωL1I&1 - jωMI&2
中的正负号，不要漏项。
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互感电路
I1 Z1
M12
L1
L2
Z2 I2
支路法：
I1 + I2 I3
Z1I&1 + (jωL1I&1 + jωM12 I&2 - jωM13 I&3 )
*
+
U&S1
M13
L3 *
M23
+ U&S2
-
Z3
-
I3
+ (jωL3 I&3 - jωM13 I&1 - jωM23 I&2 ) + Z3 I&3 U&S1
2．两互感线圈（参数分别为L1和L2）顺（反）向
串联时，其等效电感量Leq （
）。
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-
jωMI&1 I2
- ++ jωL2 U2
-
jωMI&1 I2
+ -+ jωL2 U2
-
(1)去耦等效电路简单，等效电路与电流的参考方向
无关，但必须有公共端；
(2)受控源等效电路，与电流参考方向有关，不需公
共端。
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互感电路
思考与练习
1．两互感线圈（参数分别为L1和L2）同（异）侧 相并联时，其等效电感量Leq （ ）。
(
(
Z1 + jωL1 + jωL3 + Z3 - j2ωM13 )I&a +
(- jωL3 - Z3 - jωM12 + jωM13 + jωM - jωL3 - Z3 - jωM12 + jωM13 + jωM23 )I&a +
23
)
I&b
U&S1
(Z2 + jωL2 + jωL3 + Z3 - j2ωM23 )I&b -U返&S回2 上页 下页
-
*
I&a
M13
Z3
L3 M23 *
I&b
I3
+ U&S2
-
支路法、回路法：方程较易列写，因为互感电压
可以直接计入KVL方程中;
节点法:方程列写较繁，因为与有互感支路所连
接的节点电压可能是几个支路电流的多元函数，不
能以节点电压简单地写出有互感的支路电流的表达
式。
关键：正确考虑互感电压的作用，要注意表达式
(R1 + jωL1 )I&1 - jωMI&2
U
+*
U1
+
I1
L1
+ I2
U2
+-*
L2
U& U&R2 + U&2 R2I&2 + jωL2 I&2 - jωMI&1-
UR1
-
R1 UR2
-
R2
(R2 + jωL2 )I&2 - jωMI&1
令Z1 R1 + jωL1， Z2 R2 + jωL2，ZM jωM，则