物理中的最值问题

物理中的最值问题

1.（2010重庆理综）晓明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。球飞离水平距离d后落地，如图9

所示，已知握绳的手离地面高度

为d，手与球之间的绳长为3d/4，

重力加速度为g，忽略手的运动

半径和空气阻力。

（1）求绳断时球的速度大小

v1，和球落地时的速度大小v2。

（2）问绳能承受的最大拉力多大？

（3）改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？

【解析】（1）设绳断后球飞行时间为t ，由平抛运动规律，有

竖直方向 41d=21gt 2

水平方向d=v 1t ，

联立解得v 1=

gd 2。 由机械能守恒定律，有21mv 22=2

1mv 12+mg (d -3d /4) 解得v 2=gd 25。

（2） 设绳能承受的拉力大小为T ，这也是球受到绳的最大拉力。

球做圆周运动的半径为R =3d/4

对小球运动到最低点，由牛顿第二定律和向心力公式有T-mg=m v 12/R ，

联立解得T=3

11mg 。 （3） 设绳长为L ，绳断时球的速度大小为v 3，绳承受的最大拉力不变，有

T-mg=m v 32/L

解得v 3=L g 3

8

。

绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-L ，水平位移为x ，飞行时间为t 1，根据平抛运动规律有d-L =21

gt 12

，x = v 3 t 1 联立解得x =4()

3L d L -.

当L=d /2时，x 有极大值，最大水平距离为x max =332

d .

2.如图所示，一质量为M =5.0kg 的平板车静止在光滑水平地面上，平板车的上表面距离地面高h =0.8m ，其右侧足够远处有一固定障碍物A 。另一质量为m =2.0kg 可视为质点的滑块，以v 0=8m/s 的水平初速度从左端滑上平板车，同时对平板车施加一水平向右、大小为5N 的恒力F 。当滑块运动到平板车的最右端时，两者恰好相对静止。此时车去恒力F 。当平板车碰到障碍物A 时立即停止运动，滑块水平飞离平板车后，恰能无碰撞地沿圆弧切线从B 点切入光滑竖直圆弧

轨道，并沿轨道下滑。已知滑块与平板车间的动摩擦因数μ=0.5，圆弧半径为R=1.0m，圆弧所对的圆心角∠BOD=θ=106°，取g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：

（1）平板车的长度。

（2）障碍物A与圆弧左端B的水平距离。（3）滑块运动圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小。

【解析】（1）滑块与平板车间的滑动摩擦力

f=μmg ，

对滑块，由牛顿第二定律得 a 1=f/m =μg =5m/s 2

；

对平板车，由牛顿第二定律得a 2=(F+f)/M =3m/s 2；

设经过时间t 1，滑块与平板车相对静止，共同速度为v ，则v = v 0-a 1t 1= a 2t 2

解得 t 1=1s （1分） v =3m/s

（2）设滑块从平板车上滑出后做平抛运动的时间为t 2

则h=12gt 22，x AB =vt 2， 障碍物A 与圆弧左端B 的水平距离x AB =1.2m 。

（3）对小物块，从离开平板车到C 点，由动能定理得

2210611(1cos )=222

C mgh mgR mv mv +--o

在C 点由牛顿第二定律得F N -mg=m 2C v R

联立得 F N =86N 。

由牛顿第三定律得滑块运动到圆弧轨道最低点C 时对轨道压力的大小为86N 。

如图所示，在粗糙水平台阶上放置一质量m=0.5kg 的小物块，它与水平台阶间的动摩擦因数μ=0.5，与台阶边缘O 点的距离s=5m 。在台阶右侧固定一个1/4圆弧挡板，圆弧半径R=1m ，圆弧的圆心也在O 点。今以O 点为原点建立平面直角坐标系xOy 。现用F=5N 的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤去拉力，小物块最终水平抛出并击中挡板。（sin370.6︒=，取g=10m/s2）

（1）若小物块恰能击中挡板上的P 点（OP 与水平方向夹角为37°），求其离开O 点时的速度大小；

（2）为使小物块击中挡板，求拉力F 作用的最短时间；

（3）改变拉力F 的作用时间，使小物块击中挡板的不同位置，求击中挡板时小物块动能的最小值。

【解析】（1）小物块从O 到P ，做平抛运动。

水平方向：0cos37R v t

︒= （2分） 竖直方向：21sin 372R gt ︒= （2分）

解得：

043s v = （2分） （2）为使小物块击中档板，小物块必须能运动到O 点。

由动能定理得： 0k Fx mgS E μ-=∆= 解得： 2.5m x = （2分）

由牛顿第二定律得：F mg ma μ-= 解得：25m/s a = （2分）

由运动学公式得：212x at = 解得：1s t = （2分）

（3）设小物块击中挡板的任意点坐标为（x ，y ），由运动学规律可得： 0x v t =； 2

1

2y gt = 由机械能守恒得：2012k E mv mgy =+ （2分）

又 222x y R += （1分） 化简得：2134k R E mg y y ⎛⎫

=

+ ⎪⎝⎭ （2分） 由基本不等式得：21

3y =

时，动能最小，其值为：min k E = （3分） 说明：如果用其他方法求出正确答案的，同样给分。