n维向量空间

K = (α1 , α 2 , α 3 )−1 ( β 1 , β 2 , β 3 ) 于是
因为
(α 1 , α 2 , α 3 )
−1
1 1 1 = 1 0 0 1 − 1 1
−1
0 1 0 1 1 = 0 − 2 2 1 1 −1 2 2
例2 设向量组α1 = (1, 0,1, 0) , α 2 = (1, 2,3,1) , T T T α 3 = (3, 2,5,1) , α 4 = (1, 0, 0,1) , α 5 = (6, 4,9,3) , 求该向量组 的秩及一个极大无关组，并将其余向 量用这个极大无关组线性表示。
T T
α = x1α1 + x2α 2 + L + xnα n
( x1 , x2 ,L , xn ) 或 ( x1 , x2 , L , xn )T 为 称有序数组 α 在基 α1 , α 2 ,L , α n 下的坐标 坐标. 坐标
基变换与坐标变换
有两组不同的基，分别为： 1. 设n维向量空间 V 有两组不同的基，分别为：
则 X = η1 − η 2为对应的齐次方程 AX = θ的解.
( 2) 设X = η是方程 AX = b的解, X = ξ 是方程 AX = θ 的解, 则X = ξ + η 仍是方程 AX = b 的解.
？ 不是阶梯形矩阵如何求矩阵的秩 定理4 初等变换保持向量组的线性相关性。 初等变换保持向量组的线性相关性。 设矩阵 A = (α1 , α 2 ,Lα m ) , B = ( β1 , β 2 ,L β m )
B 是 A 经过有限次初等行变换得到的，则 B 和 A 经过有限次初等行变换得到的，
满足相同的线性关系。 满足相同的线性关系。即 若有 则
注:K一定是可逆矩阵
称为由基α1, α2, …, αn到基β1, β2, …, βn的过渡矩阵 过渡矩阵， 过渡矩阵
2. 设α∈V， ， 在基α1, α2, …, αn下的坐标为 X = ( x1 , x2 , L , xn )T 在基β1, β2, …, βn下的坐标为Y = ( y1 , y2 ,L , yn )T 且由基α1, α2, …, αn到基β1, β2, …, βn的过渡矩阵为K
例1 求齐次线性方程组
x1 + 2 x2 − x3 + 2 x4 = 0 2 x1 + 4 x2 + x3 + x4 = 0 − x − 2 x − 2 x + x = 0 2 3 4 1
的基础解系与通解.
2.非齐次线性方程组解的结构 非齐次线性方程组解的结构
定理2 定理 (1)设X = η1及X = η 2都是 AX = b的解,
k1α1 + k2α 2 + L + kmα m = θ k1β1 + k2 β 2 + L + km β m = θ
反之亦然。 反之亦然。
求向量组的极大无关组与秩的步骤 (1) 写出向量组对应的矩阵 (2) 用初等行变换将其变为行阶梯形矩阵 用初等行 (3) 矩阵的秩就是向量组的秩 (4)由拐角元素所在的列得到向量组中对应的 由拐角元素所在的列得到向量组中对应的 向量即位极大无关组
• 定理2 若向量组 β 1 , β 2 , L , β t 可由向量 定理2 组 α 1 , α 2 , L, α s 线性表示,且t > s,则
β1 , β 2 ,L , β t 是线性相关的。
推论1 推论 若向量组 β1 , β 2 , L , β t 可由向量组 α 1 , α 2 ,L, α s 线性表示,且 β1 , β 2 ,L , β t 线性无关, 则 t ≤ s
例3 L(α1 , α 2 ,L , α m ) = {k1α1 + k2α 2 + L + kmα m | ki ∈ R} 是 R 上的一个向量空间。称为由向量 α 1 , α 2 , Lα m 向量 生成的向量空间。也记为 生成的向量空间
Span(α 1 , α 2 , Lα m )
向量空间的基和维数
§3 向量组的极大无关组与秩
1. 等价向量组 2. 极大无关组和秩 3.极大无关组和秩的计算 极大无关组和秩的计算
1. 等价向量组
• 定义1 设有两个n维向量组(I)与(II),如果(I)中每 定义 个向量都可由(II)线性表示，则称向量组(I)可由 向量组(II)线性表示。如果向量组(I)与(II)可以互相 线性表示，则称向量组(I)与(II)是等价向量组 等价向量组。 等价向量组 向量组之间的等价关系满足 (1)自反性；(2)对称性；(3)传递性。
k11 k (β1, β2, …, βn) = (α1, α2, …, αn) 21 M kn1
k11 k 记 K = 21 M kn1 k12 M k1n k22 M k2n , M M M kn2 M knn
k12 M k1n k22 M k2n M M M kn2 M knn
线性无关；
，满足： （无关性 无关性） 无关性
α (2) (I)中每个向量都可由 i1 , α i 2 ,L , α ir 线性表示 （极大性 极大性） 极大性
α i1 , α i 2 ,L , α ir
则称α i1 , α i 2 ,L , α ir 是向量组(I) 的一个极大线性 极大线性 无关向量组(简称极大无关组 极大无关组)。 无关向量组 极大无关组
是向量空间， 设 V 是向量空间，如果有 r 个向量 α 1 , α 2 , L , α r ∈ V ，且满足
(1) α 1 , α 2 , L , α r 线性无关 ;
( 2) V中任一向量都可由 α 1 ,α 2 ,L ,α r 线性表示 .
那么， 那么，向量组 α 1 ,α 2 ,L ,α r 就称为空间 V 的一个
α1, α2 , …, αn , β1 , β2 , …, βn , β1 = k11α1 + k21α2 + … + kn1αn β2 = k12α1 + k22α2 + … + kn2αn
且 … …… ……… …… …
βn = k1nα1 + k2nα2 + … + knnαn
利用矩阵形式可表为：
矩阵的秩等于其列向量组的秩，也等于 其行向量组的秩。
例3 设秩 {α1 ,α2 ,L,α s } = r1 ， 秩 {β1 , β2 ,L, βt } = r2 ， 秩 {α1 , α2 ,L,α s , β1 , β2 ,L βt } = r3 ， max 证明： {r1 , r2 } ≤ r3 ≤ r1 + r2
向量组 α1 , α 2 , α 3 线性无关。 线性无关。
α 4 可由向量组α1 , α 2 , α 3 线性表示。 线性表示。
α1 , α 2 , α 3 就是原向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4
的一个极大无关组，且该向量组的秩是3 的一个极大无关组，且该向量组的秩是3。
定理3 设矩阵 A = (α1 , α 2 ,Lα m ) 是阶梯形矩阵， 是阶梯形矩阵， 其秩为r， 个拐角元素所在的那 个拐角元素所在的那r个列向量就 其秩为 ，则r个拐角元素所在的那 个列向量就 是矩阵A的列向量组的一个极大无关组 的列向量组的一个极大无关组， 是矩阵 的列向量组的一个极大无关组，且A 的列向量组的秩等于r。 的列向量组的秩等于 。
r (α1 , α 2 ,L , α m ) = r
规定只含零向量的向量组的秩为零。 性质 (1) 若向量组(I)可由向量组(II)线性表示，则 R(I) ≤ R(II) (2) 等价的向量组具有相同的秩。
3.极大无关组和秩的计算 极大无关组和秩的计算
例1
1 0 A= 0 0 2 1 2 2 5 4 = (α1 ,α2 ,α3 ,α4 ) 0 1 3 0 0 0
N ( A) = { x Ax = θ }
N ( A) 的一组基称为
定理1 定理1
Ax = θ
的一组基础解系
N ( A) 的基础解系由n-r个解向量 ξ1 , ξ 2 , L , ξ n− r
构成，即dimS=n-r，且方程组的解可表示为： X = k1ξ1 + k 2ξ 2 + L + k n − rξ n − r (ki ∈ R, i = 1,2,L, n − r )
性质： 性质 (1)每个向量组与其极大无关组等价。 。 (2) 一个向量组的极大无关组可以不唯一，但都是 等价的，且所含向量个数相等。 注意： 注意 (1)只含零向量的向量组无极大无关组。 。 (2)如果一个向量组α1 , α 2 ,L , α m 线性无关，则它 自身就是自己的极大无关组。
• 定义பைடு நூலகம் 向量组 α1 , α 2 ,L , α m 的极大无关组 定义 所含向量个数r称为向量组的秩。记为
推论2 若线性无关的向量组 β 1 , β 2 , L , β t 与线 推论 性无关的向量组 α 1 , α 2 ,L, α s 等价,则 t = s
2.极大无关组和秩 极大无关组和秩 • 定义 在向量组(I) α1 , α 2 ,L , α m 中， 定义2
如果存在r个向量 (1)
α i1 , α i 2 ,L , α ir
所以
0 1 0 1 2 1 0 − 1 2 3 A= 2 2 1 1 4 1 −1 2 2
3 2 3 4 4 = 0 −1 0 3 − 1 0 − 1
§5 线性方程组解的结构
1.齐次方程组的基础解系 齐次方程组的基础解系 齐次线性方程组 Ax = θ 的解的的全体构成一个 向量空间，称为齐次线性方程组的解空间，记为
r 的维数， 基， 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量 空间． 空间．
注意：只含有零向量的向量空间 称零空间 称零空间)为 维向量 注意：只含有零向量的向量空间(称零空间 为0维向量 空间，因此它没有基． 空间，因此它没有基．
设 α1 , α 2 ,L , α n 是向量空间V的一组基, 则任给 α ∈ V ,唯一地有
• 例4 证明 R ( AB ) ≤ min { R ( A), R ( B )}
。
例5 设A是n × m 矩阵,B是 m × n矩阵,且 n < m , E是单位矩阵,若AB=E,则B的列向量组线性无关。
§4 向量空间、基与维数
定义1 定义1
向量空间
是一个非空的n维向量的集合， 设 V 是一个非空的n维向量的集合，满足 (1) V 对向量的加法是封闭的,即
3 β3 = 4 3
求由基 α1 ,α 2 ,α 3 到基 β1 , β 2 , β 3 的过渡矩阵.
解 设由基 α1 ,α 2 ,α 3到基 β1 , β 2 , β 3 的过渡矩阵 为K， 则有 ( β 1 , β 2 , β 3 ) = (α1 , α 2 , α 3 )K
定理1 若向量组 A : α1 , α 2 ,Lα s 可以由向量组
B : β1 , β 2 ,L βt 线性表示， 则存在矩阵 Kt×s
使得
A = BK
k11 k21 (α1 , α 2 ,Lα s ) = ( β1 , β2 ,L βt ) M kt1
k12 L k1s k22 L k2 s M O M kt 2 L kts
则有坐标变换公式
Y = K −1 X
例4
已知R 的两个基
3
1 α 1 = 1 1
1 α2 = 0 − 1
1 α3 = 0 1
1 β1 = 2 1
2 β2 = 3 4
α + β ∈ V , ∀α , β ∈ V
(2) V 对向量的数乘是封闭的,即
kα ∈ V , ∀α ∈ V , ∀k ∈ R
向量空间。 则称 V 是一个向量空间。 向量空间
例1 V1 = {( x, y,0) | x, y ∈ R} 是向量空间。 例2
V2 = {( x, y,1) | x, y ∈ R} 不是向量空间。