巧用单调性和复合函数的奇偶性

数是高中数学的重要内容，函数的单调性又是函数的重要性质。在求解某些数学问题时，若能根据题目的结构特征，构造出一个适当的单调函数，往往能化难为易，化繁为简，获得巧解和妙解。下面举例说明。

一. 巧求代数式的值

例1. 已知，求的值。

解：已知条件可化为

设，则

而在R上是增函数

则有，即

所以

点评：本题关键是将条件转化为，再构造相应函数，利用单调性求解。

拓展练习：已知方程的根为α，方程的根为β，求α+β的值。（答案：）

二. 妙解方程

例2. 解方程

解：易见x=2是方程的一个解

原方程可化为

而（因为）

在R上是减函数，同样在R上是减函数

因此在R上是减函数

由此知：当时，

当时，

这说明与的数都不是方程的解，从而原方程仅有唯一解。

拓展训练：解方程。（答：）

点评：解该类型题有两大步骤：首先通过观察找出其特解，然后等价转化为的形式，最后根据的单调性得出原方程的解的结论。

三. 妙求函数的值域

例3. 求函数的值域。

解：令，则

因为，所以

而在内递增

所以

又

而

所以为所求原函数的值域。

四. 巧解不等式

例4. 解不等式

解：设

原不等式可化为

则，即

设

显然是R上的减函数，且，那么不等式

即

因此有，解得

点评：解不等式其实质是研究相应函数的零点，正负值问题。用函数观点来处理此类问题，不仅可优化解题过程，且能让我们迅速获得解题途径。

拓展训练：解不等式。（答：）

五. 巧证不等式

例5. 设，求证。

证明：当m，n中至少有一个为0时，则有，结论成立。

设

因为在上单调递增

所以与必同号，或同为0（当且仅当时）

从而

因此，原不等式成立（当且仅当或，或时取“=”号）。