金融资产定价第一章

U
风险偏好者的财富效 用函数：增加的(正) 效用＋U 大于损失
W
的(负)效用－U
11
U
风险中性者的财 富效用函数
W
12
组合型财富效用函数
具有这种效用曲线的
U
U0
W0
W
投资者在财富不大时 具有一定冒险胆略， 但财富增至一定数量 时，投资者就转为稳 妥策略。曲线上拐点 就是分界线。
13
投资的预期收益与风险度量
= 20%;E(r3)=(32×200-5000)/5000=28%。
最后
E ( rp )

i 1
n
i
E ( ri ) =0.25。
27
证券组合的方差
由前面知道，作为风险测度的方差描述了收益相对于其预 还应计算各证券之间的协方差。设ri表示第i种证券的收益 (i＝1,2,…,n)，第i种证券的市值占证券组合总市值的比重 为i，则证券组合的总收益 (随机变量) 为：
股）股票收益的一个主观性概率分布如下：
事 件(经济状况)
概率(pi )
0.3 0.5 0.2
股票价格(pi)
130(元) 110(元) 80(元)
收益(ri)
繁荣时期 正常时期 衰退时期
(130-100)/100=30% (110-100)/100=10% (80-100)/100= -20%
该股票的预期回报为:

[
i 1
n
E ( X it ) X i , t 1

i 1
n
]
X i , t 1
n E ( X it ) X i ,t 1 X i , t 1 ( n ) [ ] X i . t 1 i 1 X i , t 1 i 1
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【例】某项投资预测如下：收益率25%的概率为40%；
为 -1%的概率为30%；获得无风险收益（设为5%）
的概率为30%，则该项投资的预期收益率（均值）：
25%40%+5% 30%+（-1）% 30%=11.2%.
就股票投资而言，如股票供求关系发生变化，影响
股价，投资收益率预期则出现偏差。
因为当他们准备风险投资时，
会要求相应的风险报酬，而公 平游戏的期望收益为0。
8
风险厌恶者的选择
假设有一公平游戏：投资 10万，获利和亏 5万的概率 p
均为50%，因此，该项投资的期望收益为0。
当 10万增至 W2=15 万时，如果投资者具有对数效用函
数U=lg(W)，效用从lg(100000)=11.51增加到lg(150000) =11.92，效用增加值为0.41，(获利)期望效用的增加值 为0.5×0.410.21。
（2）
24
证券组合的预期收益率（续）
令
i
X i , t 1
X
i 1
n
i , t 1
表示第i 种证券在t-1期的市值在总市值中所占的比例。
E ( ri )
n
E ( X it ) X i ,t 1 X i , t 1
表示第i 种证券从t-1期到t期的预期收益率，即有：
E ( rp )
(0.005×2×21.212)=5.5% ，高于无风险报酬率，投资 者将接受该期望收益，投资股票。
因此，风险的厌恶程度对投资者的选择十分关键。
22
证券组合的预期收益率
Wt Wt 1 rp 记证券组合的收益率为： Wt 1
（1）
其中Wt 表示t 期证券组合市值。设证券组合由n 种证券构 成，该组合在t 期的市场价值为：
+(0.5)lg(150000)=11.37。
由于 10 万的效用值 lg(100000)=11.51 ，比上述公平
游戏的效用值11.37大。 结论1：就公平游戏而言，具有对数效用函数的投 资者的期望效用减少值大于期望效用的增加值。 结论2：风险厌恶型投资者不会投资公平游戏。
10
风险偏好者的财富效用函数
21.21%，国库券收益率为4%，显然该股票有6%的风 险溢价。
若投资者风险厌恶指数 A=3，由上述公式，股票效用
值为： 10-(0.005×3×21.212)=3.25% ，比无风险报酬 率稍低，在这种情况下，投资者会放弃股票而选择国 库券。
如果投资者风险厌恶指数 A=2，则股票效用值为： 10-
4
等经济行为所获得的满足 感和快乐感。通常可用效
用函数表示。
效用函数与风险偏好
【例】投资10万美元，两种投资收获： A、投资无风险国债，确定性收益5％； B、投资风险证券，50％可能收益为0，50％可能
收益为10％，则平均收益为：0×5％＋10％×50％
＝ 5％ 。
你喜欢哪种结果？
5
风险厌恶者的财富效用函数
E(r)= pi ×ri =0.3 30%+0.5 10%+0.2 (-20%)=10%.
18
方差为: D(r)= 2 = [ri -E（ r）]2 pi = 0.3 (30%-10%)2+0.5
(10%-10%)2+0.2 (-20%-10%)2=3%；标准差为: =
(0.03)1/2=17.32%
E (W t ) E ( X it ) =25×100+18×200+32×200=12,500(元)。
i 1 3
或由
E ( ri )
E ( X it ) X i ,t 1 X i , t 1
E(r1)=(25×100-2000)/2000=25%; E(r2)=(18×200-3000)/3000
金融资产定价理论基础
1
1，资产组合预期收益率与标准差的计算
2，最优证券组合选择
3，市场模型
4、无风险资产改进有效集
2
投资收益的不确定性
金融投资收益的不确定性形成了投
资风险。
投资风险：知道各种收益的概率分
布，但不知道是哪种结果。不确定 性：既不知道概率分布，也不知道 哪种结果。
投资决策就是要协调“收益”和“风险”的矛盾。
预期收益（expected return） 指投资某项目前，对未来该项 目收益的预期。
就证券投资而言，证券的投资收益受诸多因素影响。如证券
供求关系、市场利率水平、通货膨胀以及企业经营活动等都 会影响证券的价格。 投资收益率是随机变量，其均值称预期收益率。
其中 A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不同
的投资者有不同指数值， A值越大，投资者对风险的
厌恶程度越强，对应效用就越小；方差越大，效用也
越小。在指数值 A 不变情况下，期望收益 E(r) 越高， 效用越大。
21
【 例 】 设 股 票 的 期 望 收 益 率 为 10% ， 标 准 差 为
19
练 习
波导股份（600130）价格为20元，年末的可能价格
及概率分布见下表：
起初价值 20 20 20 期末价值 22 21 19 概率 20% 30% 40%
20
18
10%
求该证券的预期收益率和风险(标准差)。
20
一个常用的效用公式
金融学中有一个广泛运用的投资效用计算公式，记资
产组合的期望收益为 E(r)，收益方差为 2，其效用值 为：U=E(r)-0.005 A2
r p
50% 50%
-26% 50%
则证券乙的预期收益: E(r)= 50%50%+(-26)%50% = 12%；
方差：D(r)=(50%-12%)2 50%+(-26%-12%)2 50%=14.4%。
本例中证券甲和乙的预期收益相同，但风险相差很大。
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【例】设某投资者根据经验和历史数据，确定出某只（100元/
效用 Uc Ur 投资者投资风险证券预 期5％收益的效用Ur与投
资无风险国债％收益
的效用相同(0<<5)，财 富10(1＋％)万美元称
投资该风险证券的确定
性等价财富。
10 10(1＋％) 10.5 确定性等价 11
财富（万美元）
7
风险厌恶与公平游戏
将风险溢价为零时的风险投资
称 为 公平 游 戏 (fair game) 。 风险厌恶型投资者为什么不会 选择公平游戏呢？
风险 实际回报与预期回报的偏差。风险大小取决于
相对预期回报波动幅度。如股票投资风险大是因为实 际回报相对预期回报波动大，国债无风险是因为预期 回报与实际回报相同。
从数理统计角度，方差正好衡量随机变量关于其数学
期望离散程度，方差越大，该随机变量波动越大，故
用方差（或标准差）表示投资的风险。
16
甲 乙 丙
100 200 200
20 15 25
2000 3000 5000
t期每股 预期价格 (元 ) 25 18 32
t-1期该证券组合的总市值为Wt-１=1万元，试求t 期的预
期收益率E(rp)。
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证券组合的预期收益率（续）
解：由(2)式E(rp)= [E(Wt)-W t-1]/Wt-1 = 25%，其中Wt-１=1万元，t 期该证券组合的预期总市值E(Wt)为：
这里，我们假定投资收益表现为具
有一定概率分布的随机变量。
3
资产组合选择标准：效用理论
Bernoulli提出(1738)，在面对具有
效用（utility）的概念 人类消费、投资、工作
风险或不确定性的投资时，期望收 益或资产价格对所有人都一样，而
效用却因人而异。在此条件下，风
险与收益的权衡就变成了存在风险 或不确定性条件下的效用最大化选 择行为。这种思路为现代资产选择 理论奠定了基础，成为现代金融经 济学的核心。
注: 收益落入区间 [ 10%-17.32%, 10%+17.32%] 的概率很
大，例如就正态分布而言, 落入区间[ E- , E+ ] 上的概率为
68%，落入[ E-2, E+2]上 的概率为95%，落入[ E-3,
E+3] 上的概率高达99%.
通常可用公式近似计算方差:
2 =[xi –E(x)]2 /n
E (r )
i 1 i i
且

i 1
n
i
1
（3）
通过(2)或(3)式，可计算证券组合的预期收益率E(rp)。
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证券组合的预期收益率（续）
【例】由甲、乙、丙三种股票组成的证券组合在t-1期 的市场价值如下：
证券 股数 t-1期每股 市值(Xi，t－1 价格(元)
元)
权重i 0.2 0.3 0.5
【例】设投资者拟投资证券甲，该证券收益 r的概率分布为： r 25% -1% p（概率） 50% 50%, 则证券甲的预期回报：
E（r）= 25%50%+（-1）%50%=12%；方差：
D(r)=(25%-12%)2 50%+(-1%-12%)2 50%=1.7%.
另一证券乙收益的概率分布为
方差为：

2
2
i i
i i
2
2
i
i
i
E i Ri j R j i j E ( Ri R j ) j i i j T T ( E ( Ri R j )) ( ij )
n
期收益(数学期望)的离散程度。但对多种证券的组合而言，
rp
r
i 1
n i 1
i i
其数学期望为: E ( rp ) i E ( ri )
28
E rp E rp
2 p i i
E r E r (r E (r ) E R E
Wt
X
i 1
n
it
其中Xit 表示t 期第i 种证券市值。对（1）取数学期望：
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证券组合的预期收益率（续）
E ( rp ) E (Wt ) Wt 1 W t 1 E ( X i , t ) X i , t 1
i 1 i 1 n n n
X
i 1
i , t 1
设C表示财富集合，W表示财富，则财富效应函数
U(W)为单增函数:
Байду номын сангаас
U : R W
U :RC
U (W )
风险厌恶者的财富 效用函数：当财富 增加或损失相同数 量时，损失的(负) 效用大于增加的
C R W
(正)效用。
6
前例中，投资风险证券，50％可能收益为0(即仍保有10万美 元)，50％可能收益为10％(即投资增值至11万美元)，故投资 风险证券获得5％的收益的效用Ur(在直线上)小于投资确定性 收益（无风险国债）5％的效用Uc (在曲线上)。
如 果 由 10 万 降 到 W1=5 万 ， 由 于 lg(100000)-lg(50000)
=11.51-10.82=0.69 ， 期 望 效 用 的 减 少 值 为 0.5×0.69 0.35，其大于期望效用的增加值0.21。
9
该项投资（公平游戏）的期望效用为 E[U(W)]=pU(W1)+(1-p)U(W2)=(0.5)lg(50000)