傅氏变换

n
n =−∞
∑
n
s (t ) e
j 2π
n t Ts
因此
n =−∞
∑
s ( nTs ) δ ( t − nTs ) ↔
n =−∞
∑ S f −T

∞

n s
二 重要信号及其傅氏变换
1. 冲激信号
∞
x ( t ) δ ( t )dt = x ( 0 ) 定义： ∫
−∞
（抽样性）
傅氏变换：
δ (t ) ↔ 1
n =−∞
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n t Ts
n =−∞
∑ δ ( t − nT )
s
∞
是周期为 Ts 的周期信号， 可展成傅氏级数：n =−∞
∑ δ ( t − nT ) = ∑ c e
j 2π ×0×t
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即
S ( 0) =
A ∞ T 2 1 T2 ≠0 S ( 0 ) = ∫ s ( t ) dt = lim ∫ s ( t ) dt = lim T × ∫ s ( t ) dt −∞ T →∞ −T 2 T →∞ df T −T 2 。注意 。
−∞
s ( − at ) e − j 2π ft dt =
− j 2π − τ 1 1 f a s τ e dτ = S − ( ) ∫−∞ a a a
f
特别地：
s ( −t ) ↔ S ( − f ) s ( t − τ ) ↔ S ( f ) e − j 2π f τ s ( t ) e j 2π f 0t = S ( f − f 0 ) ds ( t ) ↔ ( j 2π f ) S ( f ) dt
均高度是 0） ，所以
。
注意其特征：S ( f ) = 脉冲的面积×sinc(f × 脉冲宽度)
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6.
周期信号 s (t ) =
周期为 T 的周期信号可分解为
∞
n
n
周期单位冲激序列 δT (t ) ≅
定义：
m =−∞
∑ δ ( t − mT )
1 ∞ n T T − , δ f − ∑ g t = δ t ( ) ( ) T ，因此傅氏变换是 T n =−∞ 它在 2 2 内的这一个周期是 8. 单位阶跃信号
= ∫ S1* ( f ) S2 ( f ) df
−∞
9.
∞
卷积
∫
∞
−∞
s1 (τ ) s2 ( t − τ ) dτ ↔ S1 ( f ) S 2 ( f )
∞ ∞ *
* ∫−∞ s1 (τ ) s2 ( t − τ ) dτ = ∫−∞ s1 ( −τ ) s2 ( t + τ ) dτ = ∫−∞ s1 ( −τ ) s2 ( t + τ ) dτ j 2π f τ j 2π f τ S * ( f ) dτ =∫ S1 ( f ) S 2 ( f ) e S2 ( f ) e dτ = ∫−∞ −∞ 1 * ∞ ∞
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傅氏变换
一 傅氏变换的性质
线性 as1 ( t ) + bs2 ( t ) ↔ aS1 ( f ) + bS2 ( f ) 对称性 S (t ) ↔ s ( − f
1. 2.
)
∫
∞ ∞ ∞ ∞ S ( t ) e − j 2π ft dt = ∫ ∫ s (τ ) e − j 2π tτ dτ e − j 2π ft dt = ∫ ∫ s (τ ) e − j 2π t (τ + f ) dτ dt −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ ∞ ∞ ∞ ∞ = ∫ s (τ ) ∫ e − j 2π t (τ + f ) dt dτ = ∫ s (τ ) δ (τ + f ) dτ = s ( − f −∞ −∞ −∞
∫ ∫ ∫
∞
∞ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∞
S2 ( u ) S1* ( f ) e− j 2π ft e j 2π ut dfdudt
* ∞ e j 2π t ( u − f ) dt dudf S u S f ( ) ( ) 2 1 −∞ ∫−∞ ∫−∞ ∞ −∞ −∞ ∞
S2 ( u ) S1* ( f ) δ ( u − f ) dudf
由于
cn =
∫
T 2
−T 2
s (t ) e T
∞
n − j 2π t T
dt
=
∫
T 2
−T 2
g (t ) e T
n − j 2π t T
dt
=
∫
∞
−∞
g (t ) e T
− j 2π
n t T
dt
n G T = T ，所以
1 S( f )= T 7.
n =−∞
∑ G δ f − T T
∞
= ∫ S1 ( u ) S2 ( f − u ) du
−∞
∞
11.
抽样
n =−∞
∑
∞
s ( nTs ) δ ( t − nTs ) ↔
n
1 Ts
n =−∞
∑ S f −T

n
∞

n s
n =−∞
∑
n
s ( nTs ) δ ( t − nTs ) =
n =−∞
∑
s ( t ) δ ( t − nTs ) = s ( t ) ∑ δ ( t − nTs )
10.
乘积
s1 ( t ) s2 ( t ) ↔ ∫ S1 ( u ) S 2 ( f − u ) du
−∞ ∞ * ∞ *
∞
∫
* − j 2π ft * s1 ( t ) s2 ( t ) e − j 2π ft dt = ∫ s1 ( t ) s2 ( t ) e dt = ∫−∞ S1 ( −u ) S 2 ( u + f ) du −∞ −∞
将存在一个冲激线，此时我们称信号
S f ≠ 0 不能说“包含 f0 分量” 率为 f0 的分量。注意： ( 0 ) 。这一点类似前面说直流时的情 形。 4. 正弦信号
1 1 cos 2π f 0t ↔ δ ( f − f0 ) + δ ( f + f 0 ) 2 2 sin 2π f0t ↔ 5. 1 1 δ ( f − f0 ) − δ ( f + f0 ) 2j 2j
= ∫ S1 ( − f ) S 2 ( − f ) e − j 2π ft df = ∫ S1 ( f ) S 2 ( f ) e j 2π ft df
−∞ −∞
∞
∞
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−∞
S ( 0) 1 ∞ t = ∫ s (τ ) dτ u ( t ) = ∫ s (τ ) dτ −∞ 2 2 −∞ 是 所包含的直流分量。
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7.
∞
S ( 0 ) 是 s ( t ) 的面积， s ( t ) 是 s ( t ) 的平均高度。 3. 单频信号
e j 2π f 0 t ↔ δ ( f − f 0 )
直流是其特例。如果信号
s ( t ) 包含幅度不为 0 的某个单频成分 e j 2π f0t ，则它的幅度谱图中 s ( t ) 包含频率为 f0 的线谱分量，或者简称它包含频
)
3.
尺度变换
s ( at ) ↔
1 f S a a
f − j 2π ( at ) 1 1 f a s ( at ) e dat = S −∞ a a a ∞
对于 a > 0 ：
∫
∞
−∞
s ( at ) e − j 2π ft dt = ∫
τ =− at ∞
而
∫
∞
n =−∞
∑ cn e
∞
j 2π
n t T
，于是
s ( t ) 的傅氏变换为
S( f )=
n =−∞
f − ∑cδ T
n
∞

n
给定周期信号
s ( t ) ，它一定可以表示成
s (t ) =
m =−∞
∑ g ( t − mT )
∞
的形式，这种表示可能不唯
T T − , g t s t ( ) ( ) 为 在 2 2 的这一个周期，即 一，至少有一种表示是：取 T T s ( t ) − ≤ t < g (t ) = 2 2 else 0
8.
∞
Paserval 定理
∫
∞
−∞
∞ ∞ ∞ * S1 ( f ) e j 2π ft df ∫ S 2 ( u ) e j 2π ut du dt ∫−∞ s1 ( t ) s2 ( t ) dt = ∫−∞ ∫ −∞ −∞
*
=∫ =∫ =∫
∞
−∞ −∞ −∞ ∞ ∞
∞ ds ( t ) = ∫ ( j 2π f ) S ( f ) e j 2π ft df −∞ 得 dt
4. 5. 6.
时移 频移
微分与积分
∞
由
s ( t ) = ∫ S ( f ) e j 2π ft df
−∞ t
S ( f ) S ( 0) s (τ ) dτ ↔ + δ(f) ∫ j 2π f 2 而
s n =−∞ n
∞
∞
j 2π
，
其中
cn =
1 Ts
∫
Ts 2
−Ts
∞ δ ( t − mTs ) e ∑ 2 m =−∞
n
n − j 2π t Ts
dt =
1 Ts ，所以
n =−∞
∑
n
s ( nTs ) δ ( t − nTs ) = s ( t )
n
1 j 2π Ts t 1 e = ∑ Ts n =−∞ Ts 1 Ts
要点：
δ ( t ) 包含无穷的频率成分，每个频率成分一样强。
2.
直流信号 1↔δ ( f ) s ( t ) 的平均值不是 0，则称其含有直流分量，它的频谱一定包含
傅氏变换：
直流分量：如果一个信号
δ ( f ) 分量。 s ( t ) ≅ lim ∫ s ( t ) dt s t T →∞ − T 2 任意信号 ( ) 的平均值就是这个函数的平均高度 。 s (t ) = 1 T
T 2
对于周期为 T 的周期信号，平均可在一个周期内进行
∫
T 2
−T 2
s ( t ) dt
。
注意直流分量和 单频分量 Ae
S ( 0 ) ≠ 0 的差别。直流分量 s ( t ) = A ≠ 0 表示 s ( t ) 确实包含一个 0 频的 S 0 ≠ 0 表示 0 频分量处的频谱密度， = A。 此信号的直流功率不为 0； ( )
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∞ ∞ *
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∞ *
∫
* * − j 2π ft s1 (τ ) s2 ( t − τ ) dτ = ∫ s1 df (τ ) S1 ( − f ) S2 ( − f ) e s2 ( − (τ − t ) ) dτ = ∫−∞ −∞ −∞
共轭
s * (t ) ↔ S * ( − f
)
*
∞ * − j 2π ft s t e− j 2π ( − f )t dt = S * ( − f ∫−∞ s ( t ) e dt = ∫ −∞ ( )
)
对于实信号：
S* (− f ) = S ( f )
（共轭对称）
* s1 ( t ) s2 ( t ) dt = ∫ S1* ( f ) S 2 ( f ) df −∞ ∞
1 t ≥ 0 u (t ) ≅ 0 t < 0 定义： 1 1 du ( t ) 1 u (t ) = + δ(f u ( t ) 的直流分量是 2 ，再由 dt = δ ( t ) 可得： j 2π f 2
)
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矩形脉冲
s( t ) A
t
−τ 2 τ 2
ds ( t )
由于
dt
τ τ = Aδ t + − Aδ t − 2 2 ，且 s ( t ) 不包含直流分量（在 −∞ < t < ∞ 内的平 S( f )= A ( e jπ f τ − e − jπ f τ ) j 2π f = Aτ sinc ( f τ )