2019高中数学第二章数列习题课(二)数列求和学案苏教版必修5
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习题课(二) 数列求和
学习目标 1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点.2.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点.3.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.4.进一步熟悉错位相减法．
知识点一 分组分解求和法
思考 求和：112＋2122＋3123＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫n ＋12n . 答案 112＋2122＋3123＋...＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋...＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋123＋ (12)
＝n (n ＋1)2＋12⎝ ⎛
⎭⎪
⎫1－12n 1－1
2
＝
n (n ＋1)
2＋1－12
n .
梳理 分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和． 知识点二 奇偶并项求和法
思考 求和12
－22
＋32
－42
＋…＋992
－1002
. 答案 12
－22
＋32
－42
＋…＋992
－1002
＝(12
－22
)＋(32
－42
)＋…＋(992
－1002
)
＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100) ＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100) ＝－5050.
梳理 奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．但当求前n 项和而n 是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论． 知识点三 裂项相消求和法 思考 我们知道1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，试用此公式求和：11×2＋12×3＋…＋1
n (n ＋1)
.
答案 由
1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1
，得
11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)
＝1－12＋12－13＋…＋1n －1(n ＋1)＝1－1n ＋1
.
梳理 如果数列的项能裂成前后抵消的两项，则可用裂项相消法求和，此法一般先研究通项的形式，然后仿照公式裂开每一项．裂项相消求和常用公式： (1)1n (n ＋k )＝1k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋k ；
(2)
1
n ＋k ＋n ＝1
k
(n ＋k －n )；
(3)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；
(4)
1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).
1．并项求和一定是相邻两项结合．(×)
2．裂项相消一定是相邻两项裂项后产生抵消．(×)
类型一 分组分解求和
例1 求和：S n ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫x n ＋1x n 2
(x ≠0)．
考点 数列前n 项和的求法 题点 分组求和法 解 当x ≠±1时，
S n ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x ＋1x 2＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x 2
＋1x 22＋…＋⎝
⎛
⎭⎪⎫
x n
＋1x n 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2＋1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋2＋1x 4＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2n
＋2＋1x 2n
＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n
)＋2n ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x
2＋1x
4＋…＋1x 2n
＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －2(1－x －2n )1－x
－2
＋2n ＝(x 2n
－1)(x 2n ＋2
＋1)x 2n (x 2－1)＋2n ；
当x ＝±1时，S n ＝4n . 综上知，
S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
4n ，x ＝±1，(x 2n
－1)(x 2n ＋2＋1)
x 2n (x 2
－1)
＋2n ，x ≠±1且x ≠0.
反思与感悟 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和． 跟踪训练1 求数列1,1＋a,1＋a ＋a 2
，…，1＋a ＋a 2
＋…＋a
n －1
，…的前n 项和S n .(其中a ≠0，
n ∈N *)
考点 数列前n 项和的求法 题点 分组求和法 解 当a ＝1时，a n ＝n ， 于是S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝
n (n ＋1)
2
.
当a ≠1时，a n ＝1－a n
1－a ＝11－a (1－a n
)．
∴S n ＝
11－a
[n －(a ＋a 2＋…＋a n
)] ＝11－a ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤n －a (1－a n
)1－a ＝n 1－a －a (1－a n
)
(1－a )2. ∴S n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
n (n ＋1)2，a ＝1，n 1－a －a (1－a n )
(1－a )2
，a ≠1，且a ≠0.
类型二 裂项相消求和
例2 求和：122－1＋132－1＋142－1＋…＋1
n 2－1
，n ≥2，
n ∈N *.
考点 数列前n 项和的求法 题点 裂项相消法求和 解 ∵
1n 2
－1＝1(n －1)(n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1－1n ＋1，
∴原式＝12⎣⎢⎡
⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
13－15
⎦⎥⎤＋…＋⎝
⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1＋12－1n －1n ＋1
＝34－2n ＋12n (n ＋1)
(n ≥2，n ∈N *)．