勾股定理

勾股定理

一、知识归纳

1．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222

+=

a b c 2．勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

3．勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC

∠=︒，则c，b=，a=

∆中，90

C

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

二、题型

题型一：直接考查勾股定理

例１.在ABC

C

∠=︒

∆中，90

⑴已知6

BC=．求AB的长

AC=，8

⑵已知17

AC=，求BC的长

AB=，15

解：

题型二：应用勾股定理建立方程

例２.⑴在ABC

BC=cm，CD AB

AB=cm，3

⊥于D，CD＝

ACB

∠=︒，5

∆中，90

⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为

⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为

例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长

例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

题型三：实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m

三、勾股定理的逆定理知识归纳 1. 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2

＋b 2

＝c 2

，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 2. 常用的平方数

112

＝_______，122

＝_______，132

＝_______，142

＝_______，152

＝_______，162

＝_______，172

＝_______，182

＝_______，192

＝_______，202

＝_______，252

＝_______．

注意.如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c

为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； 3. 勾股数：

①满足a 2

＋b 2

＝c 2

的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。）

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）

*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 4判断直角三角形：

（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

（3）如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2

，那么这个三角形是直角三角形。 （经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

注：用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c ）；

（2）若c 2

＝a 2

＋b 2

，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2

＋b 2

＜c 2

，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2

＋b 2

＞c 2

，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）

5.直角三角形的性质：

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的

一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形 例6.已知三角形的三边长为a ，b ，c ，判定ABC ∆是否为Rt ∆ ① 1.5a =，2b =， 2.5c = ②54a =，1b =，23

c = 解：

例7.三边长为a ，b ，c 满足10a b +=，18ab =，8c =的三角形是什么形状 解

题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用

例8.已知ABC ∆中，13AB =cm ，10BC =cm ，BC 边上的中线12AD =cm ，求证：AB AC =

证明： 练习

1．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长是

2．如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，那么这个圆锥的母线L 是________

3．直角三角形两直角边长分别为5 和12，则斜边上的高为________．

4. 已知等腰三角形的腰长是6cm ，底边长是8cm ，那么这个等腰三角形的面积是 . 5．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A 的面积是10，B 的面积是11，C 的面积是13，则D 的面积之为_______. 6．如图，C 、D 分别是一个湖的南、北两端A 和B 正东方向的两个村庄，CD = 6 km ，且D 位于C 的北偏东30°方向上，则AB ＝______km ．

7. 如图,有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢

,则它至少要飞行___________米.

8．如图，直线 L 过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A 、C 到直线 L 的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的ABCD 的面积是 .

9. 如图是一个长方体长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为__________。

(第2题)

第6题

第9题

12