湖南省长沙市第一中学2020学年高一数学上学期期末考试试卷(含解析)

2020学年湖南省长沙一中高一（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.满足2，的集合A的个数是

A. 2

B. 3

C. 4

D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】

由条件，根据集合的子集的概念与运算，即可求解．

【详解】由题意，可得满足2，的集合A为：，，，2，，共4个．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了集合的定义，集合与集合的包含关系的应用，其中熟记集合的子集的概念，准确利用列举法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

2.已知幂函数的图像过点，若，则实数的值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

将点代入函数解析式，求出参数值，令函数值等于3，可求出自变量的值.

【详解】依题意有2＝4a，得a＝，所以，

当时，m＝9.

【点睛】本题考查函数解析式以及由函数值求自变量，一般由函数值求自变量的值时要注意自变量取值范围以及题干的要求，避免多解.

3.的值是

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

试题分析：

.

考点：诱导公式．

4.已知直线：，：，：，若且，则的值为

A. B. 10 C. D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】

由且，列出方程，求得，，解得的值，即可求解．

【详解】由题意，直线：，：，：，

因为且，所以，且，

解得，，所以．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线的位置关系，列出方程求解的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．

5.已知2a＝5b＝，则＋＝( )

A. B. 1 C. D. 2

【答案】D

【解析】

∵2a＝5b＝，∴a＝log2，b＝log5，利用换底公式可得：＋＝2＋5＝10＝2.

6.如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

在正方体中，利用线面垂直的判定定理，证得平面，由此能求出结果．

【详解】如图所示，在正方体中，连结，则，，

由线面垂直的判定定理得平面，所以,

所以异面直线与所成的角的大小是．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．

7.已知，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

试题分析：＝，故选D．考点：同角三角函数间的基本关系．

8.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A. 若，，，则

B. 若，，，则

C. 若，，，则

D. 若，，，则

【答案】D

【解析】

试题分析：，,故选D.

考点：点线面的位置关系.

9.已知函数，则（）

A. 1

B.

C. 2

D. 0

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意可得，由对数的运算，即可求解，得到答案．

【详解】由题意，函数，

．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了函数值的求法，函数性质等基础知识的应用，其中熟记对数的运算性质是解答的关键，着重考查了考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于基础题，．

10.若存在正数x使成立，则a的取值范围是

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，分析可得，设，利用函数的单调性与最值，即可求解，得到答案．

【详解】根据题意，，

设，

由基本初等函数的性质，得则函数在R上为增函数，且，

则在上，恒成立；

若存在正数x使成立，即有正实数解，必有；

即a的取值范围为；

故选：D．

【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及不等式的有解问题，其中解答中合理把不等式的有解问题转化为函数的单调性与最值问题是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．

11.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

【分析】

设球的半径为R，根据已知条件得出正方体上底面截球所得截面圆的半径为2cm，球心到截面圆圆心的距离为，再利用球的性质，求得球的半径，最后利用球体体积公式，即可得出答案．

【详解】设球的半径为R，设正方体上底面截球所得截面圆恰好为上底面正方形的内切圆，

该圆的半径为，且该截面圆圆心到水面的距离为1cm，

即球心到截面圆圆心的距离为，

由勾股定理可得，解得，

因此，球的体积为．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了球体的体积的计算问题，解决本题的关键在于利用几何体的结构特征和球的性质，求出球体的半径，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于基础题．

12.已知是定义在R上的单调函数，满足，且，若，则a与b的关系是

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意，设，则，又由，求得，得t的值，确定函数的解析式，据此分析可得，即，又由，利用换底公式，求得，结合对数的运算性质分析可得答案．

【详解】根据题意，是定义在R上的单调函数，满足，