矩阵反可交换的条件与性质

数学 中的有解 问题
胡海燕
数学 中的有解 问题是 函数 、不等式等 内容交汇处的一个较为活跃 的知识点 ，它涉及 到函数 的性质 、图像 ，渗透着数形结 合 、函数与方程等思想方法 ．
１ 方程的有解 问题 １ 方程 ｍ＝ｆ ｘ 的有解 问题 ． １ （）
若使方程 ｍ＝ｆｘ 在某个区间上有解 ，只需求 出 ｆｘ 在该 区间上的值域 Ａ ， ｍ∈ （） （） 使 Ａ即可．
定理 ２ 如果 为对角矩阵、数量矩 阵、与 反可交换 ， Ａ ０的充要条件是 Ｂ ０ 则 Ｂ＝ Ａ＝ ． 定理 ４ 如果矩阵 Ａ与 反可交换 ， 则
（ ）（ ＿Ｂ） ＝Ａ １ Ａ－ 。 ＋Ｂ ４ － ；
收 稿 日期 ：２ １－３ １ ０２ ０ —０
例 １ 二次 函数 ｆ ｘ ＝ 一 （） ＋１ ，若 ｆ ｘ ＝２ ＋ｍ在区间 【１ １上有解 ，求 ｍ 的取值范 围． （） ｘ ～， 】
解 ｆ ｘ ＝２ ＋ｍ在 区间 ［ｌ １上有解等价于 ｍ＝ｘ 一３ ＋１ 【１ １上有解． ｇ ｘ ＝ 一 ｘ＋ 因 ｇｘ 在 【 １１上 （） ｘ 一，】 ｘ 在 一， ］ 令 （） ３ ｌ， （） 一， 】
定义 ２ 若 ｎ 阶矩阵 Ａ满足 Ａ＝ （ 中：Ａ 为 Ａ的转置矩 阵 ） Ａ 其 ，则称矩阵 Ａ为对称矩阵；若 ， ｚ 阶
矩 阵 Ａ 满足 Ａ＝一 ，则 称矩 阵 Ａ 为反 对称 矩 阵． Ａ’
２ 主要结果及证 明
根据定义 １ ，经计算可得定理 １ ３ ～． 定理 １ 如果设 Ａ ，曰至少有一个是零矩阵时 ，则 Ａ ，曰反可交换 ．
单调递减 ，所 以 ｇ 在 【 １ １上的最大值为 ｇ一 ） （） 一 ， 】 （ １＝５，最小值为 ｇ１ ＝一 ，所 以ｍ 的取值范围是 【１ ５ ． （ ） １ 一， 】
１ 三 角方程 ｎ ｉ ． ２ ｓ ＋ｂ ｏ ｘ＝Ｃ 有解 问题 ｎ ｃｓ 的
三角方程 ａ ｉ Ｘ Ｃ Ｓ ｓ ＋ｂ Ｏ ＝Ｃ ｎ 有解 的充要条件是 ａ ＋ Ｃ ． ｂ 。
Ａ ｓｒ ｃ ： Ｂａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｄ ｆ ｉ ｏ ｆｔ ｅ ｓ ｅ ｏ ｂ ｔａ ｔ ｓ ｄ ｏ ｈ ｅ ｎ ｔ ｎ ｏ ｋ ｗ ｃ ｍｍｕ ａｉｅ ｍａ ｒ ， ｇ ｖ ｏ ｏ ｄ ｔ ｎ ｎ ａｕ ｅ ｏ ｅ ｓ ｅ ｉ ｉ ｈ ｔｔ ｔ ｘ ｖ ｉ ａ ｅ ｓ ｍｅ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ａ ｄ ｎ ｔ ｒ ｆｔ ｋ ｗ ｉ ｈ
因为 Ａ Ｂ＝ Ｂ ，Ａ是正交矩阵 ，即Ａ Ａ＝ ，则 Ａ Ｂ 一Ａ Ｅ Ａ＝一 Ｂ＝一 ｌ ＝ Ｂ ，Ｂ ：一 ＡＡ Ｅｌ 一 Ａ 证毕．
＝ Ｅ＝ Ａ Ｂ ，即 Ａ 一Ａ Ｂ 一 与 反可交换．
２ ４
高 师 理 科 学 刊
第３ ２卷
参考 文献 ：
【 １ ］李美喜 ，刘军 ．可交换矩 阵的一些性质 数学教学研究 ，２０ ，２ ３） ２ ５ ０ ９ ８（ ：５ — ４
理 可证 （ ） Ａ— ＝Ａ ． ＋
（ ２）（ Ｂ） ＝（ Ｂ） Ａ＋ｉ 。 Ａ＋ｉ （ Ｂ） Ａ＋ｉ ＝Ａ。 ＡＢ＋ｉＡ— ， Ａ ：一 Ａ ，所 以 （ ） ＋ｉ Ｂ Ｂ Ｂ Ｂ Ａ＋ｉ ＝Ａ 一Ｂ 同 ．
理 可 证 ｆ —ｉ ） ：Ａ ． Ａ Ｂ 。 一
可交换 的条件与性质等做过研究与分析 ， 结论很丰富 ． 但是有一类矩阵满足 Ａ 一 Ａ， Ｂ＝ Ｂ 此时称矩阵 Ａ ， 反可交换．本文从矩阵反可交换的定义 出发 ，给出了矩阵反可交换成立的一些条件号ｌ质 ，得出了一些 生 结 论 ．文 中的矩 阵均 指 阶实 方 阵．
定义 如 果 九阶矩阵 Ａ ， 满足 ＡＢ＝一 Ａ ，则称 矩 阵 Ａ 与 反 可交换 ． Ｂ
关 键词 ：矩 阵 ；交换 ；反 可交换
中图分 类号 ：０１ １ １ ５． ２
文 献标 识码 ：Ａ
ｄ ｉ ０３ ６ ／ｉ ｎ１０ — ８ １ ０ ２ ４０ ７ ｏ：１ ． ９ｊｓ ．０ ７ ９ ３ ． １． ． ９ ．ｓ ２ ０ ０
Ｓ ｍｅｃ ｎ ｉ ｏ ｓａ ｄｎ ｔ ｒ ｆ ｈ ｋ ｗ ｃ ｍｍｕ ａｉｅｏ ｔｉ ｏ ｏ ｄｔ ｎ ｎ ａｕ ｅｏ ｅｓ ｅ ｏ ｉ ｔ ｔｔ ｆ ｖ ｍａｒ ｘ
第４ 期
蔡 晓静 ：矩阵反可交换的条件与性质
（ ２）（ Ａ±ｉ 。 一Ｂ Ｂ） ＝Ａ ； （ ）（ ） ３ Ａ ＝一 ． ＡＢ 成立．反之 ，若 （ ） ３ １ 一（ ）中至少有一个成立 ，则矩阵Ａ与 曰反可交换．
证明 假设矩阵 Ａ与 曰反可交换 ．
（） １ 因为 （ ） ＝ Ａ＋ （ ） Ａ Ａ＋ 。 （ ） Ａ＋ ＝ ＋Ａ Ｂ Ｂ Ｂ＋ Ａ＋ ，Ａ 一 Ａ ， 以（ ） ＝ Ｂ＝ Ｂ 所 Ａ＋ Ａ ＋Ｂ ．同
证毕．
因为 Ａ 一 Ａ，Ａ Ｂ＝ Ｂ 存在 ， 故Ａ Ａ － ～ Ａ， 以 ＝ Ａ Ｂ 从而 Ｂ ～＝ 。 Ａ ～＝ ～ Ｂ＝ Ａ Ｂ 所 － ～ Ａ， Ａ ＢＡ 一 证毕．
Ａ ，所以Ａ 与 反可交换． 定理 １ 设矩阵 Ａ与 反可交换 ，且 Ａ是正交矩阵 ，则 Ａ １ 与 曰反可交换． 证明 Ａ １
即 ＡＢ ＝（ １ Ｂ Ａ．当 ｍ ＝足 时 ，ＡＢ ＝Ａ ＝（１ Ｂ Ｂ ＝（ １ Ｂ Ａ ， Ａ ＝（１ 一） ＋１ Ｂ Ｂ 一） Ａ 一） 即 Ｂ 一） Ｂ Ａ成
立．
同理可 证 Ａ Ｂ ＝（１ Ｂ ． 一 ） Ａ
（） ２ 用数学归纳法类似可证． 定理 １ 设矩阵 Ａ与 反可交换 ，且Ａ可逆 ，则 Ａ一与 反可交换． ０ 证明
第 ３ 卷 第 ４ ２ 期
２ ２焦 ０１
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｃｅ ｃ ｆ ｅ ｃ ｅｓ Ｃ ｌ ｇ ｎ ｉｅｓｔ ｏ ｒａ ｉｎ ｅｏ ａ ｈ ｒ ｏｌ ｅａ ｄＵｎｖ ｒｉ ｏＳ Ｔ ｅ ｙ
Ｖ １ ３ ＮＯ４ ｏ． ２ ．
７月
Ｊ１ ２ ２ ｕ． ０１
证明 必要 性．由于 Ａ ＝Ａ Ｂ ＝一 ，ＡＢ＝一 Ａ ，因此 （ ＝一 ， Ｂ Ｂ ＡＢ） Ａ
必要性．由于 Ａ＝ Ａ ， 一 ，Ａ 一 Ｔ Ｂ＝ Ｂ Ｂ＝ Ｂ 一 Ａ，因此 （ Ｂ ＝ Ａ Ｂ ＝ Ａ Ａ ） 一 Ｔ 一 Ｂ，即Ａ Ｂ为反对称
证毕．
＝Ａ ，即 Ａ Ｂ Ｂ为对 称矩 阵 ．
（） ３ 两边对 Ａ Ｂ＝ Ｂ 一 Ａ取转置 ，
Ａ 一 Ｔ ＝ ａ ） ： Ａ Ｂ （ Ｂ ．
类似可证 ， （ ） ３ 若 １ ～（ ）中至少有一个成立 ，则矩阵 Ａ与 反可交换．
定理 ５ 可逆矩阵 Ａ与 反可交换的充要条件是 （ Ｂ ～：～ Ａ ） Ａ Ｂ～． 证明 必要性．因为 Ａ ，Ｂ可逆 ，对 Ａ Ｂ＝一 Ａ两边取逆 ，则有 Ｂ Ｂ Ａ～＝ Ａ ～＝ Ａ ） 一 Ｂ （ Ｂ ～． 充分 ｌ．对 （ Ｂ ～＝一 两边取逆 ，即可证得 Ａ 生 Ａ ） Ａ Ｂ Ｂ： Ｂ 一 Ａ． 定理 ６ 如果 Ａ与 Ｂ均为对称矩阵，则 Ａ与 反可交换的充要条件是 Ａ Ｂ为反对称矩阵．
【 贾金平 ， ２ 】 徐志敏．矩阵方程 Ａ ＝Ａ＋ 中矩阵乘法的可交换性Ｉ．高师理科学刊 ， ００ ０（ ） ４— ３ Ｘ Ｊ １ ２ １，３ ６ ： ２４ ［］ 立慧 ，颜七笙 ，刘龙章 ．矩阵可交换 的条件及可交换矩阵 的性质ＩＪ ３戴 Ｊ ．华东地质学 院学报 ，２０ ，２ ４） ５ — ５ ０ ２ ５（ ：３ ３ ３５ 【】唐建国 ，杨振新． 与 Ａ反 可换矩 阵空 间的维数ｌＪ ４ Ｊ ．甘肃科学学报 ，２ ０ ，１ ０ ６ ８（ｔ ：１— ６ ） ４ １ ［］张禾瑞 ，郝 纲新．高等代数［ ．５版．北 京 ：高等教育 出版社 ，２０ ５ Ｍ］ ０７
Ｃ Ｉ ｉ －ｉｇ・ Ａ ａ ｊ Ｘ ｏ ｎ
（ ． ｅ ａｔ ｅ ｔ ｆ ｔｅ ｔ ｓ ｅ ｉ Ｔ ｃ ｎ ｌ ｙ ｎ Ｂ ｓ ｅｓ ｎ ｅｓｙ ｅ ｉｇ１０ ４ ，Ｃ ｉａ １Ｄ ｐｒ ｎ ｏ Ｍａ ｍａ ｃ ，Ｂ ｉｎ ｅｈ ｏ ｇ ｄ ｕｉ ｓ Ｕ ｉ ｒ ｔ ，Ｂ ｉｎ ０ ０ ８ ｈｎ ； ｍ ｈ ｉ ｊｇ ｏ ａ ｎ ｖ ｉ ｊ ２ Ｓ ｈｏ ｏ Ａ ｐｉ ｉ ｃ ｓ ｅ ｉｇ ｎ ｅ ｉ ｆ ｅｈ ｏ ｇ ，Ｂ ｉｎ ０ １４ ｈｎ ） ． ｃ ｏ ｌ ｆ ｐ ｌ ｄＳ ｅ ｅ ，Ｂ ｉｎ ｉ ｒ ｔ ｏ Ｔ ｃ ｎ ｌ ｅ ｃｎ ｊ Ｕ ｖｓｙ ｏ ｙ ｅ ｉｇ１０ ２ ，Ｃ ｉａ ｊ
基 金 项 目 ：北 京 市属 高等学 校 人才强教 计划 资 助项 目 （ Ｈ ２ １００ １） Ｐ Ｒ ０ ８９ １ 作 者 简介 ：蔡 晓静 （ ９９ Ｉ７一），女 ，河北 廊坊 人 ，讲师 ，博士 ，从 事代数 学研 究． Ｅ ｍ ｉ ａ ｊ ｈｂ ｕｅｕ ｌ － ａｌ ｉ＠ｔ．ｂ ． ．ｌ ：ｃ ｘ ｔ ｄ Ｃ
证明
证毕．
证毕．
必要 性 ． 由于 Ａ：Ａ Ｂ＝Ｂ ， ，ＡＢ＝一 Ａ ，因此 （ ） Ｂ Ａ Ｔ＝一 ＝一 Ｂ ，即 Ａ 为反对 称矩 Ａ Ｂ Ａ Ｂ
阵．
’
充分 ｉ．由于 Ａ＝ Ｂ＝ ，（ Ｂ Ｔ＝ Ａ ，因此 一 Ｂ＝ Ａ ） ：Ｂ Ａ Ｂ 生 Ａ ， Ｂ Ａ ） 一Ｂ Ａ （ 曰 Ｔ Ｔ ＝ Ａ，故 Ａ与 反可交 换． 证毕． 定理 ７ 如果 Ａ与 曰均为反对称矩阵 ， Ａ与 反可交换的充要条件是 Ａ 则 Ｂ为反对称矩阵． 证明 矩阵． 充分 ｉ．由于 Ａ＝ Ａ ， 一 ，（ Ｂ ＝ Ａ 生 ～ Ｂ＝ Ｂ Ａ ） 一 Ｂ，因此 Ｂ Ｂ Ａ Ａ ＝（ Ｂ ＝ Ａ ，即Ａ与 反可 ａ ） 一Ｂ 交换．
文章 编号 ：１０ — ８ １（ ０ ２）０ — ０ ２ ０ ０７ ９ ３ ２ １ ４ ０２ — ３
矩 阵反可交换 的条件与性质
蔡 晓静
（ ．北京 工商 大学 数学 系 ，北京 １０４ ；２ 北 京 工业大 学 应用 数理 学 院 ，ｊ 京 １０ ２ １ ００８ ． Ｅ ０ １４）
摘 要 ：从 矩 阵反 可 交换 的定 义 出发 ，给 出了矩 阵反 可 交换 成 立的 一些条 件与 性质 ．
ｃ ｍ ｍｕ ａ ｉｅｍ ａ ｒｘ ｏ ｔｔ ｔ ． ｖ ｉ
Ｋｅ ｒ ｓ ｙ ｗｏ ｄ ：ｍａｒｘ ｃ ｍｍｕ ａ ｉｅ ｓ ｅ ｏ ｔｉ ； ｏ ｔｔ ； ｋ ｗ ｃ ｍｍｕ ａ ｉｅ ｖ ｔｔ ｖ
１ 引言及预备知识
矩阵的乘法一般不满足交换律 ， 但是在某些特殊情况下 ， 矩阵的乘法满足交换律 ， 很多学者对 Ａ ，
（ （）ＩＢ ｍ４ ２ ＝一，，… ’ Ａ ．ｒ ＝一 ４ ：２ ． ： ｎ， ， ｚ ， ２ ） Ａ －ａ Ａ … Ｂ ｚ ｌ
：
４ ｎ， ｍ ＝ ４ ＋ １ ｎ
证明 （ ） １ 用数学归纳法可证．当ｍ＝ 时 ，Ａ ：（１ Ｂ Ａ显然成立．假设 ｍ＝ｋ １ Ｂ 一） 时结论成立 ，
定理 ８ 如果 Ａ为对称矩阵， 为反对称矩阵，则 Ａ与 反可交换的充要条件 Ａ Ｂ为对称矩阵． 充分 ｌ．由于 Ａ＝Ａ ， 一 ，（ Ｂ Ｔ Ａ ，因此 Ａ 生 Ｂ＝ Ｂ Ａ ）＝ Ｂ Ｂ＝ Ａ ） Ｂ Ａ 一 Ａ，即 Ａ与 反可交 （ Ｂ ＝ ＝ Ｂ 换． 证毕 ． 定理 ９ 设矩阵Ａ与 反可交换 ，则 （ ）Ａ ＝ 一） Ｂ Ａ，Ａ Ｂ＝ 一 ） Ａ ，ｍ ， １ Ｂ （１ （１ Ｂ ， 都是正整数．