第四章 数字滤波器

M
bkz k
H ( z )
Y (z) k0
X (z)
N
1
akz k
（2）差分方程（N阶）
k 1
N
M
y(n) aky(n k ) bkx(n k )
k 1
k 0
(3) 结构流图 按差分方程可以画出：
x(n)
b0
z 1
b1
x(n 1)
z 1
b2
1 Z1 20
0.5 Z1
16
4-3 FIR滤波器的基本结构
一、特点：
N 1
H (Z ) h(n)Z n
1、h（n）为有限长； n0
y(n)
2、H（z）在
处收敛，
极点全部在Z=0处；
3、一般为非递归结构；
4、可设计严格线性相位结构滤波器。
二、基本结构
1、横截型（卷积型、直接型）
乘常数： 相加：
y(n)
x (n)
a
a y(n)
y(n1) x(n) y(n 1)
这种表示法更加简单方便。
几个基本概念：
a）输入节点或源节点，x(n) 所处的节点； b）输出节点或阱节点，y(n) 所处的节点；
c）分支节点或分点，一个输入，一个或一个 以上输出的节点；将值分配到每一支路;
d）相加器（节点)或和点，有两个或两个以 上输入的节点。
b1 = 1
1
0 a1 = 1
1/2 1/2
b2 = 2
a2 = 1 - 1/3
H
(z)

(1
2 (1/ 3)z 1 )

(1
(1/
1 z 1 2)z 1 (1/
2)z 2
)
H (z)

(1
2 (1/ 3)z 1 )

(1
(1/
1 z 1 2)z 1 (1/
x [n] y[n]
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
h[0] h[1] h[2]
例：N=5
H (z) h[0] h[1]z 1 h[2]z 2 h[1]z 3 h[0]z 4 h[0](1 z 4 ) h[1](z 1 z 3 ) h[2]z 2
其中，ck为零点，dk为极点；
于是运算结构图如下：
x(n) A
11
Z
1
11
21
Z 1
21
1r
Z
1
1r
2r
Z 1 2r
优点：零、极点互不影响，调整容易 网络可进行优化排列
例：H (z)
1 z1 z2
1
1
1 1 z1 1 z2 1 1 z1 1 1 z1 1 z2 4 8 3 2 2
AR-自回归，全极点IIR
系统辨识 MA-滑动平均，全零点，FIR
ARMA-自回归滑动平均
三、数字滤波器的结构表示法
1、方框图法 方框图法简明且直观，有三种基本运算
单位延时: x (n) z -1
a
乘常数:
y(n）
x(n 1)
a y(n)
相加:
x(n)
y(n1) x(n) y(n 1)
1
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x(n) h(N-1) h(N-2) h(N-3)
h(2) h(1) h(0)
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2、级联型
将H（Z）分解为实系数二阶因子的乘积形式
N 1
H (Z ) h(n)Z n n0
[N / 2]
( 0k 1k Z 1 2k Z 2 ) k 1
注：[N/2]表示取N/2的整数部分，如
a 2
z1 z1
b2
bM1
aN1
b z1
M
aN z1
y(n)
x(n)
延时器合并
b0 y(n)
a 1
z1 b1
a
z1 b2
2
bM1
b aN1 z1z1
M
aN
优点：只需N个存储延时单元
缺点：系数 ak ,bk 控制作用不明显，不易调整； 极点对系数变化太敏感，有限字长运算误差灵
敏，易不稳定
M
Y ( z ) X ' ( z ) b k z k k 0
因此，
X '(z)
X (z)
N
1
ak z k
k 1
M
H ( z ) Y ( z )
bk z k
k 0
X ( z )
N
1
ak z k
k 1
x' (n)
x(n)
b0
a 1
z1 z1
b1
a2
Z 1
3 y (n 1)
Z 1
4 y(n 2)
和点：1，5；分点：2，3，4；源点：6；阱点：7
四、实现 实现的方法有三种：
（1）软件实现：汇编语言，高级语言编程等 （2）专用硬件实现：加法器、乘法器、延时器、
控制器、存储器 （3）数字信号处理器（DSP）
[注]：同一个H(z)可以用不同的运算结构实现。 结构不同，其性能（字长、量化误差、 稳定性等）不同。
2)z 2 )
2
z1
x[k]
1/3
y[k]
1
1/2 z1 1/2 z1
3个乘法器，3个延 迟器，5个加法器
转置定理： 如果将原网络中所有支路方向加以倒转，且将输入 和输出交换其系统函数仍不改变。
x(n)
a1
bb Z 1 0 1
a2
b Z 1 2
a N 1
b M 1
Z 1
bM
aN
h(n)= h(N-1-n) （园周偶对称）
或 h(n)= - h(N-1-n) （园周奇对称）
N可偶可奇，所以实际为四种情况
下面讨论N为偶数且为偶对称的结构：
差分方程：
N 1
y(n)

2

h(m)x(n

m)

x(n

N

1
m)
m0
x(n N 1) 2
x(nN 1)
x(n N) 2
N 1
差分方程： y(n) h(m)x(n m) m0
它就是线性移不变系统的卷积和公式，由此可画出
பைடு நூலகம்x(n)
Z1
Z1
Z1
h(0) h(1) h(2)
h(N-2)
一条输入 x(n) 的延时链横向结构
h(N-1)
y(n)
用转置定理可得另一种结构
Z1 Z 1
y(n) Z 1 Z1
x[n]
z-1
z-1
z-1
z-1
h[0] h[1]
h[2]
y [n]
4.频率采样型
序列的Z变换H(Z)与频率采样值H(k)满足内插公式：
这样，H(z)是由梳状滤波器
和N个一阶网络
若h(n)为实对称，则H(z)可分解为一阶、二阶、四阶 因子乘积。每个因子都是线性相位多项式。
即：
一阶
二阶
四阶
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例：N=6
H (z) h[0] h[1]z 1 h[2]z 2 h[2]z 3 h[1]z 4 h[0]z 5 h[0](1 z 5 ) h[1](z 1 z 4 ) h[2](z 2 z 3 )
1
a
z1 z1
b2
2
bM1
aN1
b z1
M
aN z1
N
x'(n) ak x'(n k) x(n) k 1
M
y(n) bk x'(n k) k 0
对以上两式进行 Z 变换：
N
X ' ( z ) X ' ( z ) a k z k X ( z ) k 1
Z 1
y(n) （原网络）
y(n)
b0
a1
b Z1 1
a2
b Z1 2
x(n)
b M 1
a N 1 aN
b Z1 M
Z 1
（转置后的网络）
示例2:：

用级联型实现
因式分解
两种方式
5
例3： IIR数字滤波器 1.直接II型：
2.级联型：
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3.并联型：
x(n)
A1
8
Z 1 16
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数字滤波器的基本结构
4-1 数字滤波器的运算结构和表示方法 4-2 IIR滤波器的基本运算结构 4-3 FIR滤波器的基本运算结构 4-4 几种特殊滤波器 4-5 滤波器的有限字长效应
4-1 数字滤波器的运算结构和表示方法
一、滤波器的数学表示:
单位抽样响应:
N
M
差分方程: y(n) ak y(n k) bk x(n k)
第二个网络实现极点，即实现y(n)加权延时:
N
y(n) ak y(n k) w(n) k 1
优点：直接 缺点：共需（M+N）个存储延时单元
2、直接II型（正准型 ，典范型）
交换直接I型两个网络的次序：（对于线性系统，
运算次序可交换）
x'(n) b0 y(n)
x(n)
a
z1 z1 b1
N
3,
3 2
1
画运算结构图如下：
x(n)
01 11 Z1
21 Z1
02 12 Z1 22 Z1
0[ N ] 2
y(n)
N 1[ ] 2
Z 1
N 2[ ] 2
Z 1
特点：每节结构可控制一对零点。 所需系数 多，乘法次数也多。
3.线性相位结构
线性相位定义：
条件:
3
示例：
例1： 用直接II型实现二阶滤波器
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3、级联型
先将系统函数按零、极点进行因式分解
M
b z k k
H (Z ) k0 N 1 a k z k k 1
M
(1 c k z 1 )
A k 1 N (1 d k z 1 ) k 1
例：H (z)

(1
3 (5 / 3)z 1 (2 / 3)z 2 (1 / 3)z 1 )(1 (1 / 2)z 1 (1 /
2)z 2
)
format rat b=[3 5/3 2/3]; a=conv([1 -1/3],[1 1/2 1/2]); [r,p]=residuez(b,a); [b1,a1]=residuez([r(1) r(2)],[p(1) p(2)],0) b2=[r(3)] a2=[1 -p(3)]

r2
g 0k g k Z 1
k 1 1 1k z 1 2k z 2
由以上结构是由常数网络 , 个一阶网络 , 个二阶网络构成的
其运算结构图如下：
A0
x(n)
A1
y(n)
Z 1
g 01
11
Z
g 1 11
21 Z1 特点： 可单独调整极点； 误差各环节互不影响
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x(n 2)
b
x(n M 1)
M 1
z 1
b
x(n M )
M
w(n)
y(n)
a1
z 1
y(n 1)
a2
z 1 y(n 2)
a N 1
y(n N 1)
a
z 1
N
y(n N)
(4) 特点
第一个网络实现零点，即实现x(n)加权延时:
N
w(n) bkx(n k) k 0
4-2 无限冲激响应（IIR）滤波器 的基本运算结构
一、IIR滤波器的特点 1、单位冲激响应 h（n）是无限长的；
2、系统函数 H（z）在有限Z平面（0 Z ） 上有极点存在；
3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入的反馈。
2
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二、基本结构
1、直接I型
（ 1） 系统函数
系统函数:
k 1
k 0
(tf), (b,a) (zp),(r,p,k)
状态方程: (ss),(a,b,c,d)
MATLAB中表示模型的相互转换： 模拟：
[r,p,k]=residue(num,den)
数字：
[num,den]=residue(r,p,k) [a,b,c,d]=tf2 (num,den) [a,b,c,d]=zp2ss(z,p,k) [z,p,k]=ss2zp
*支路不标传输系数时，就认为其传输系数为1； 任何一节点值等于所有输入支路的信号之和。
例如： y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n)
x(n) 6
b0 1
a1y (n 1) a 2y (n 2)
5
a2y(n 2)
2
y(ny)( n )
7
a1
a1y(n-1)
x [n]
1 1/4 z-1 1 1/8 z-1 1
z-1 1/3
1/2 z-1 1/2 z-1
y [n]
5个乘法器，5个延迟器，7个加法器
4.并联型
将H（Z）展成部分分式形式:
M
b kz k
H (z) k0
N
1
a kz k
k 1

A0

r1
k 1 1
Ak pk Z 1
例如二阶系统方框图：
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n)
b0 x(n)
b0x(n)
y(n)
Z 1
a2 y(n 2)
a1
a1 y(n 1) Z 1
y(n 1)
a2 y(n 2)
2、信号流图法
三种基本的运算：
单位延时： x (n)
Z 1
x(n 1)
z=roots(b); p=roots(a) b=k*poly(z); a=poly(p) [r,p,k]=residue(b,a)
二、分类：
IIR无限冲激响应，h(n)无限长 按h(n)长度 FIR有限冲激响应，h(n)有限长
按结构
递归滤波器，至少有一个 ak 0 非递归滤波器，全部 ak 0