连续型随机变量优秀课件

xex2 dx
1 e4 1 e9 ,
i 1,2,,5
所以，该批子弹被接受的概率为
p
P(B1B2 B5 )
P(B1) P(B5 )
(1 1
e4 e9
)5
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几种连续型分布
概率为0的事件不一定是不可能事件， 概率为1的事件不一定是必然事件.
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概率密度的Βιβλιοθήκη Baidu质：
1. f (x) 0
2. f (x)dx 1
3.
P(x1 < X x2 )
x2 x1
f (x)dx
4. 若f (x)在点x处连续，则F(x) f (x).
5. 连续型随机变量的分布函数F(x)是一个在 (,) 上的连续函数.
3.
P(x1 < X x2 )
x2 x1
f (x)dx
f(x)
O x1 x2 x
4. 若f (x)在点x处连续，则F(x) f (x).
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由性质4在f(x)的连续点x处有
f (x) F(x) lim F (x Δ x) F (x)
Δ x0
Δx
lim P(x < X x Δ x) .
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6. 设X为连续型随机变量，则对任一指定实数 x0 ，有
P{X x0} 0, x0 R
注：
1） P(x1 < X x2 ) P(x1 X x2 ) P(x1 < X < x2 )
P(x1 X < x2 )
x2 x1
f (x)dx
2） 连续型随机变量X取任意数值的概率均为0.
连续型随机变量优秀课件
定义2.3.1
设F(x)是随机变量 X的分布函数 , 若存在非负函数 f (x) ,
使得对任意实数x , 有
F
x
x
f
t
dt
则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度.
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引例1：一个靶子是半径为2米的圆盘，设击中靶上任
一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，射击均能
1
f (x)dx
0 1 exdx
1 1 exdx
1
1 2
02
1 (1 e1) 1 (e1 1) 1 e1
2
2
(2)因为X是连续型随机变量，所以 P{X 2} 0
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由分布函数求密度函数
例4 设连续型随机变量 X 的分布函数为
Fx 1 1 arctanx < x <
2
2
当x 0时，有F (x) x f (t)dt 0 1 etdt x 1 etdt
2
02
1 et 0 1 et x 1 1 1 ex 1 1 ex
2 2 0 2 2 2
2
所求分布函数为
F
(
x)
1 2
e
1
x,
1 2
e
x x,
<0 x
0
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解：对任意实数t， f(t)非负，又
1 f (t)dt
0
0dt
et dt et
0
0
则 f(t)是连续型随机变量的概率密度.
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参数的确定
例2： 设随机变量X的概率密度为 f (x) Ae x ,
求（1）系数A;（2）X的分布函数. ( < x < )
解：
Δ x0
Δx
看出概率密度的定义与物理学中的线密度 的定义相类似, 这就是为什么称f(x)为概率 密度的原因.
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5. 连续型随机变量的分布函数F(x)是一个在 (,) 上的连续函数.
离散型随机变量的分布函数F(x)是右连续的 连续型随机变量的分布函数F(x)在整个数轴上连续的
中靶，用X 表示弹着点与圆心的距离。试求X 的分布
函数。
解：由第一节可知，X 的分布函数为
0, x < 0;
F(x)
x2 4
,
0 x < 2;
1, x ≥ 2.
Xx
考虑函数 f ( x )=
x/2 , 0 < x < 2; 0, 其它
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f (x)的变上限积分为
0,
x < 0,
6. 设X为连续型随机变量，则对任一指定实数 x0 ，有
P{X x0} 0, x0 R
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概率的计算
例3：设随机变量X的概率密度为 求（1） P{-1<X<1};（2）P{X=2}
f (x) 1 e x , 2
( < x < )
解：
(1) P{1 < X < 1}
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概率密度的性质：
1. f (x) 0
2. f (x)dx 1
f(x)
1
O
x
验证性质1和性质2是判断一个函数是否为 概率密度的方法。
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例1：（密度函数的判定）
et , t 0
验证 f (t)
, 0 是概率密度函数.
0 , t < 0
x
f
(t)dt
x 0
t 2
dt
x2 4
,0
x
<
2,
F(x)
2 0
t 2
dt
1,
x 2.
f (x) 1
F(x) 1
O12 x
O12 x
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F
x
x
f
t
dt
PX x
概率密度所对应的平面曲线称为随机变量X的
概率曲线，
f(x)
O
xx
分布函数值F(x)是概率曲线下从 到x的一块面积。
x
<
3
求（1）系数A;（2）该批子弹被接受的概率.
解：
(1)1
f (x)dx
3 Axex2 dx
A (1 e9 )
0
2
A
1
2 e9
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(2) 设 Bi表示第i发子弹合格的事件，则 B1, B2 ,, B5
相互独立，且
P(Bi ) P{0 X
2}
22 0 1 e9
f
(
x)
A A
ex e
,
x
x<0 ,x0
(1)1
f (x)dx
0
Ae xdx
Ae xdx
0
Aex
0
Aex
0
2A
A 1 2
f
(
x)
1 2 1 2
ex e
,
x
x < 0, , x 0.
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由密度函数求分布函数
(2) 当x < 0时，有F (x) x f (t)dt x 1 etdt 1 ex
2
试求 X 的密度函数．
解： 设 X 的密度函数为 f x，则
f
x
F x
1
1
1 x
2
< x <
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例5：从一批子弹中任意抽出5发试射，如果没有一发 子弹落在靶心2cm以外，则整批子弹将被接受. 设弹着点与靶心的距离X(cm)的概率密度为
f
(x)
Axex2 ,0 < 0 ,其他