专题：以二次函数为背景的特殊四边形的存在性问题

专题：以二次函数为背景的特殊四边形的存在性问题

特殊四边形指：平行四边形、矩形、菱形、正方形

预备知识：

（一）、平行四边形的性质和判定

定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

性质：①平行四边形两组对边分别；

②平行四边形的两组对角分别；邻角

③平行四边形的对角线；

判定：①两组对边分别的四边形是平行四边形；

②两组对边分别的四边形是平行四边形；

③一组对边的四边形是平行四边形；

④对角线互相平分的四边形是平行四边形；

提醒：虽然两组对角分别相等的四边形是平行四边形，但不能直接使用，还是要进行证明的

（二）矩形的性质和判定

定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。

性质：具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：

①四个角都是直角；②对角线相等；③是轴对称图形，也是中心对称图形

判定:①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③有三个角是直角的四边形；

④对角线相等且互相平分的四边形

（三）、菱形的性质和判定：

定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

性质：具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：

①四边相等；②对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角；

③是轴对称图形，也是中心对称图形

判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

③四边相等的四边形是菱形．

提醒：菱形的面积等于底乘以高，也等于对角线乘积的一半。其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半。

（四）、正方形的性质和判定

定义：一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

性质：（1）它具有平行四边形的一切性质：两组对边分别平行且相等；两组对角相等、邻角互补；对角线互相平分

（2）具有矩形的一切性质：四个角都是直角；对角线相等

（3）具有菱形的一切性质：四条边相等；对角线互相垂直；每条对角线平分一组对角

判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形（先证菱形）；（5）对角线相等的菱形是正方形

主要题型：（1）三定点一动点（容易题型，基本不考）；（2）两定点两动点；（3）一定点三动点

金华真题：无

题型一、两定点，两动点（方法：两圆一中垂） 例1、（2015/5/2日/ZZNWG ）如图，抛物线y =－

15x 2+3

5

x+2与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于点B ，点D 在线段OA 上，且BD=BA ，点P 的坐标是（0，3），点Q 从点

D 出发，沿D →B →C →O 方向运动，点Q 在线段DB 个单位的速度运动，当点Q 在线段BC ，CO 上时，则以每秒1个单位的速度运动，到点O 停止。设点Q 的运动时间为t 秒

（1）求D 的坐标； key ：D （1，0）

（2）当点Q 线段BD 上运动时，△ACQ 的面积为S ，请求出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围； （3）在点Q 的运动过程中，在平面直角坐标系上是否存在点G ，使以点Q ，G ，B ，P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出相应的t 的值和点G 的坐标；若不存在，请说明理由。

【分析】（1）首先求出A、B两点的坐标，然后过点B作BE⊥AD，根据等腰三角形的三线合一的性质，即可求出点D的坐标。

（2）在坐标系中求各边都不在坐标轴上或不与坐标轴平行的三角形的面积，常用的方法有割补法、铅垂高水平宽法

（3）以定线段为分类讨论的依据。当PB为边时，以点P为圆心，PB为半径画圆，看圆与DB、BC、CO哪条线段相交，然后根据相应的长度及对应的速度算出时间；以点B为圆心，PB为半径画圆，看圆与DB、BC、CO哪条线段相交，然后根据相应的长度及对应的速度算出时间；以PB为对角线，作PB的中垂线，看中垂线与DB、BC、CO哪条线段相交，然后根据相应的长度及对应的速度算出时间。简言之，就是两圆一中垂。

题型二、一定点，三动点

例2、如图，已知抛物线y=ax2+bx-3经过点A（-1，0），B（3，0），与y轴的交点为C，线段BC与抛物线的对称轴交于点P

（1）求抛物线的函数解析式；key：y= x2-2x-3

（2）在y轴上取点M，连接MP，将射线PM绕点P顺时针旋转90°，与抛物线的交点为Q，以PM、PQ为一组邻边作矩形PMNQ：

①如图2，当四边形MNQP是正方形时，求该正方形的边长；

②是否存在点M，使矩形PMNQ的两边的比为1：2，如果存在，求点M的坐标；如果不存在，试说明理由。

类题演练

1、已知在平面直角坐标系xOy中，点A（4，0），点B在x轴上且在A的右侧，点P是反比例函数

x

＞0）图象上的一个动点，Q是坐标平面内一点，以A，B，P，Q为顶点的四边形是一个含有60度角的菱形，则

[

图3y x D A B O 图3y x D A B O 图3y x D A B O 2、如图1，以一块等腰直角三角板的两条直角边为坐标轴建立直角坐标系，OA=OB=3，过点A ，B 的抛物线对称轴为直线x=1，抛物线与x 轴的另一交点为点D ． （1）求该抛物线的解析式；

（2）如图2，如果将三角板的直角顶点C 在x 轴上滑动，一直角所在的直线过点B ，另一条直角边与抛物线交点为E ，其横坐标为4，试求点C 的坐标；

（3）如图3，点P 为抛物线对称轴上一动点，M 为抛物线在轴上方图象上一点，N 为平面内一动点，是否存在P 、M 、N ，使得以A 、P 、M 、N 为顶点的四边形为正方形？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．

图3y

x

D A B O 图1 图2 图3