电容器和电介质

We 1 2 we E V 2 1 2 we E 2
3.电场能量的计算 一般情形：We
V we dV V
1 2 E dV 2
1 均匀电场： We we V E 2V 2
例 1: 求半径为 R 、带电量为 q 的均匀带电球体的 静电能。 q q r 解： 由高斯定理得： E内 r dr 4 0 R 3 R o 均匀带电球体的场强 q

U
外力做的功转化为电容器储存的能量：
1 1 Q2 1 2 QU We CU 2 2 C 2
12.7 电介质中电场的能量 1. 电场能量 1 2 1 S ( Ed )2 1 E 2 Sd 1 E 2 V We CU 2 d 2 2 2 其中： V — 静电场占据的空间体积；
2
q
2
8 0R
q E 0 内 R O
2 2 q q 另解：C 4 0 R , W e 2C 8 0 R
例 3：一个单芯电缆半径为 r1 ，铅包皮的内半径为 r2 ，其间充有相对电容率为εr 的电介质，求：当电缆 芯与铅皮之间的电压为U12时，长为 L 的电缆中储存 的静电能。
C1 C2
= 1.27 ×10
5
(C/m 2 )
D1 dS σΔS ，
S1
D1 ΔS σΔS，
D1 σ，
σ 5 E1 4.0 10（ V/m ） ,由正极板指向负极板 εr1ε0 同理 D2 dS σΔS ， D2 σ，
S2
σ 6 E2 1.0 10（ V/m ） , 由正极板指向负极板 εr 2 ε0
第12章 电容器和电介质
基 本 要 求
一、理解电容的定义，掌握电容的计算方法。 二、了解电介质的极化和电位移矢量。 三、了解有介质时的高斯定理。 四、理解电场能量，掌握电场能量的计算方法。
12.1 电容器及其电容 一、电容器的电容 电容器 — 由两个带等量异号电荷的导体构成的器件。 1.电容器电容的定义
(3)由定义 C q U AB 计算 C 。
A
二、几种常见电容器的电容 1.平板电容器 2 极板面积 S ，间距d ( S >> d ) (1)充电 q；
q q
S
E
A d B
q 则极板间场强为： E （是均匀电场） 0 0S qd (2)两极板间电势差：U U U A B AB E d 0S q 0S (3)由电容定义： C 得： C U A UB d S 0 平板电容器电容： C d 仅由 S , d , 0 决定,与其所带电量、极板间电压无关。
两板间场强： E
U AB
C
q q 2 0r RB RB dr ln RA 2 0 r 2 0 RA B A q 2 0 L
U AB ln( RB RA )
RA
RB
L
2 0 L 圆柱形电容器电容：C ln( RB RA )
仅由 S , d , 0 决定,与其所带电量、极板间电压无关。
.
— 称电介质的电容率 (介电常数) 。 空气： 0 4.电介质中的场强 E0 实验得知： E （变小） r 结论： 在空间自由电荷分布不变的情况下，介质中的

0 r
场强是真空时该处场强的 倍。 r
1
12.4 电介质的极化 1.无极分子的位移极化 2.有极分子的转向极化 3.极化电荷（束缚电荷） — 电介质表面因极化而出现的电荷。 4.极化电荷的特点
E — 静电场场强； — 电介质的电容率。 上式表明:电容器储有的能量与电场的存在相联系。
大量实验证明: 电容器能量的携带者是电场 , 对静电场 , 也可认 为能量携带者是电荷 , 两者等价。但对于变化的电磁 场, 只能说能量的携带者是电场和磁场。凡是电场所
在的空间,就有电场能量的分布。
2.电场能量密度 电场能量密度 we — 电场中单位体积的电场能量。
(2) 若 RB R A RA RB C 4 0 4 0 RB RA
可视为孤立导体球的电容。 或孤立导体球可视为一个极板在 容器。
RA RB 4 R 0 A RA RB (1 ) RB

处的球形电
3.圆柱形电容器 两极板的半径为RA , RB ( RB RA RA ) , 长为 L 。
例：半径为a的两根平行长直导线相距为d ( d >> a )， (1)设两导线每单位长度上分别带电量+λ和-λ,求两导 线间的电势差;(2)求此导线每单位长度的电容。 解： d a , 充电 ， 建立坐标系如图：
a
E P E E 2 0 x 2 0 (d x ) B d a 1 1 U AB 百度文库 Edx ( ) dx A a 2 0 x d x

EE 0 0 E
r


有介质时的高斯定理 — 电场中通过任意闭和曲面 的电位移通量=该闭曲面包围的自由电荷的代数和。
D 0 r E E
1.上式仅适合于各向同性的均匀电介质。
2. D 是综合了电场和介质两种性质的物理量。
3.通过闭合曲面的电位移通量仅与面内自由电荷有 关，但 D 是由空间所有自由电荷和极化电荷共同激 发的。 4.D 是为简化高斯定理的形式而引入的辅助物理量， 方便处理有介质时的电场。
L
r1 r2
r
U 12
r
, E 解：由高斯定理得： D 2 r 2 0 r
U 12 Edr
r2 r1
r2 r1
r2 ln dr 2 0 r r1 2 0 r r
U 12 E r ln( r2 r1 )
2 0 rU12 , ln( r2 r1 )
练习六 计算题 2
（1）由电容串联知识知
C 1C 2 ε1 ε 2 S C C 1 C 2 d 2 ε1 d 1 ε 2
（U A - U B）为已知， ∴ q = C(U A - U B）
q C(U A - U B ) σ= = S S
（2）由的高斯定理求出 D ，再求 E
作如图所示高斯面 S1 、 S2
E外
2
We
1 0 E 2dV 2
0
R1
4 0 r
2




2 0 E内dV

1
0 R q r 2 0 q 2 2 2 ( ) 4 r d r ( ) 4 r d r 2 0 4 0 R 3 2 R 4 0 r 2
3 q2 20 0 R
q
E E
电介质 (1)不能移出电介质； (2)各向同性的均匀电介质极化时只在其表面
出现面极化电荷，内部无体极化电荷。
5. 极化电荷与自由电荷的关系
0 0 E0 , E , 0 0 r EE 0 0 E 1 E E0 E ( 0 ) 0 0 E0 0 0 1 E , ( 0 ) r 0 r 0 0 r
12.6 充电电容器的能量 q 每次把微量电荷 d从负极板移至正极板 ,外力都 要克服静电力做功,设 t 时刻极板带电量 q ,电压为 再移 dq , 外力做功： U, q q
最后带电 Q , 则
q dA Udq dq C
Q Q
dq
2
A
0 dA 0
q Q dq C 2C
E
2. 并联:
等效电容
q
q
C
U1
U
U2
U
等效电容
q
q1 q1
U U1 U 2 q q1 q2
C1 q 2 q2
C2
q
C
C C1 C 2
U
U
12.3 电介质（介电质）对电场的影响 电介质 — 不导电的绝缘物质。 q0 一、电介质对电场的影响 C0 1.充电介质时电容器的电容 q
R2

2 0 E外dV
例 2: 求半径为R 、带电量为q 的均匀带电球面的静 电能。
q 解：由高斯定理得 E内 0 , E 外 2 4 0 r
1 We 0 E 2dV 2
0
R1
2

2
2 0 E内dV

1
R2

2 0 E外dV

0
2
R

(
q 4 0r
) 4 r d r 2
2. 球形电容器 两极板的半径 R A , RB ( RB R A R A ) q q E (1)充电 ；两板间场强： 4 0 r 2 (2)两极板间电势差：
q
q
B
RB
RA A
dr q 1 1 U AB ( ) 2 4 0 RA r 4 0 RA RB q RA RB (3) 电容： C 4 0 U AB RB RA RA RB 球形电容器电容：C 4 0 RB RA
得：
(1
1
r
)0
q ( 1
1
r
) q0
12.5 D 矢量及有介质时的高斯定理 0 一、有介质时的高斯定理
qi 1 S E dS ( q 0 q ) 0 0 0 1 1 1 [q0 (1 )q0 ] q0 0 r 0 r S 0 r E dS q0 引入电位移矢量：D 0 r E 上式得： S D dS q0
(1)两极板间为真空时：
U0
0
q0 C0 U0
(2)两极板间充满各向同性的均 匀电介质时： U0 测得：
以平板电容器为例：
r C q0
q0
U
结论： 充满电介质电容器的电容是真空时电容的
q0 q0 r rC0 U , C U U0 r
r
倍。
2.电介质的相对电容率 r r— 称电介质的相对电容率（相对介电常数）。 是表征电介质电学性质的物理量（纯数）。 空气： r 1 ; 一般电介质： r 1 ; 导体： r 3.电介质的电容率
0 C 则单位长度的电容为： U d a AB ln a
d a ln 0 a

P

O
x
d
A
B
12.2 电容器的连接 1.串联:
q q1 q2
q1 q1 q 2 q 2
C1 C2
U U1 U 2 q q C U U1 U 2 1 1 1 C C1 C 2
1 2 We wedV 0 r E dV V V2 2 U 1 U12 2 0 r 12 L 0 r ( ) dV V2 ln(r2 r1 ) r ln r2 r1
1 2 另解：We CU 12 2
例4: 平板电容器带电 q ,间距d ,缓慢拉动两极板至 2d 。求:(1) 电容器能量变化；(2) 外力做功；(3) 极板间吸引力。 q2 q2 解： (1) ΔWe W W0 2C 2C 0 2 q2 q2 q d 电场能增加 0 0S 0S 2 0 S 2( ) 2( )
q： 一个极板上的电量；
q q C U A U B U AB
U AB : 两极板间的电势差(电压）。 2. C 仅与电容器两极板的形状、几何尺寸、相对位 置及内部介质有关。 6 12 1 F 10 μF 10 pF 3.电容的单位：F（法拉） 4.电容器电容的计算步骤 (1)给电容器充电 q ，用高斯定理求 E ； B (2)由U AB E dl 求 U AB
仅由 S , d , 0 决定,与其所带电量、极板间电压无关。
q
RB
RA RB 讨论 球形电容器电容： C 4 0 RB RA (1)若 d RB RA , d R A , RB ,
2 R R R 则： C 4 0 A B 4 0 A 0 S RB RA d d 可视为平板电容器的电容。