纯直觉模糊数算术集结算子及其在决策中的应用

纯直觉模糊数算术集结算子及其在决策中的应用

卫贵武1,2

1.西南交通大学经济管理学院，四川成都（610031）

2.川北医学院数学系，四川南充（637007）

E-mail ：weiguiwu@

摘 要：对直觉模糊信息的集结算子进行了进一步研究，引入了直觉模糊数的一些运算法则、直觉模糊数的得分函数和精确函数，并基于这些运算法则，提出了一些新算子：纯直觉模糊加权算术平均(PIFWAA)算子和纯直觉模糊数有序加权算术平均(PIFOWA)算子。给出了一种基于PIFWAA 算子和PIFOWA 算子的纯直觉模糊数多属性群决策方法。最后，进行了实例分析,说明了该方法的实用性和有效性。

关键词：直觉模糊数；运算法则；纯直觉模糊加权算术平均(PIFWAA)算子；纯直觉模糊数有序加权算术平均(IFOWA)算子

中图分类号: C934 文献标志码: A

1. 引言

自从1965年Zadeh 教授建立了模糊集理论[1]，数学的理论与应用研究范围便从精确问题拓展到了模糊现象的领域。1986年保加利亚学者Atanassov 进一步拓展了模糊集，提出了直觉模糊集( Intuitionistic Fuzzy Sets)的概念，直觉模糊集是模糊集的推广，模糊集是直觉模糊集的特殊情形[2-3]。1993年Gau 和Buehrer 定义了Vague 集[4]，Bustince 和Burillo 指出Vague 集的概念与Atanassov 的直觉模糊集是相同的[5]。

由于直觉模糊集的特点是同时考虑隶属与非隶属两方面的信息，使得它在对事物属性的描述上提供了更多的选择方式，在处理不确定信息时具有更强的表现能力。因此直觉模糊集在学术界及工程技术界引起了广泛的关注。文献[6]对直觉模糊集环境下的几何集结算子进行了研究，提出了直觉模糊加权几何(IFWGA)算子，直觉模糊有序加权几何(IFOWGA)算子和直觉模糊混合几何(IFHG)算子，并且基于IFHG 算子，给出了相应的决策方法。文献[7]对直觉模糊集环境下的算术集结算子进行了研究，提出了直觉模糊算术平均(IFAA)算子和直觉模糊加权算术平均(IFWAA)算子，并且基于IFAA 算子和IFWAA 算子，给出了相应的群决策方法。上述算子均不能对属性权重和属性值均为直觉模糊数的信息进行集结，为此本文提出了纯直觉模糊加权算术平均(PIFWAA)算子和纯直觉模糊数有序加权算术平均(PIFOWA)算子。PIFWAA 算子考虑了每个数据的自身重要性程度，PIFOWA 算子体现了数据所在位置的重要性程度。同时提出了一种基于PIFWAA 算子和PIFOWA 算子的纯直觉模糊数多属性群决策方法。最后，用实例来说明本文给出的方法。

2. 直觉模糊集基本理论

直觉模糊集( Intuitionistic Fuzzy Sets)由Atanassov 提出[2-3]，是传统模糊集的一种扩充和发展。直觉模糊集增加了一个新的属性参数：非隶属度函数, 它能够更加细腻地描述和刻画客观世界的模糊性本质。

定义1[2-3] 设X 是一个非空经典集合，()12,,,n X x x x =L ，X 上形如

()()

{},,A

A A x x x x X

µ

ν=

∈的三重组称为

X 上的一个直觉模糊集。其中

[]:0,1A X µ→和[]:0,1A X ν→均为X 的隶属函数，且()()01A A x x µν≤+≤，这里

()(),A A x x µν分别是X 上元素x 属于A 的隶属度和非隶属度，表示为支持元素x 属于集合

A 的证据所导出的肯定隶属度的下界和反对元素x 属于集合A 的证据所导出的否定隶属度

的下界。例如()()[],0.5,0.2A A x x µν=⎡⎤⎣⎦，在投票模型中这可解释为在10人中，有5人赞成，2人反对，3人弃权。令[]IFS X 表示X 上所有直觉模糊集构成的集合。

对于X 上的每一个直觉模糊集，称()()()1A A A x x x πµν=−−为直觉模糊集A 中元素

x 的直觉指数，表示元素x 属于A 的犹豫度。显然，()01A x π≤≤，x X ∈。

定义2[7] 设X 是非空经典集合，()12,,,n X x x x =L ，[],A B IFS X ∈，且

()()

{}

,,A

A A x x x x X µ

ν=

∈，()()

{}

,,B

B B x x x x X µν=

∈，则有

(1) ()()

{},,A

A

A x x x x X νµ=

∈;

(2) ()()()()()(){},,A

B

A

B

A

B

A B x x x x x x x x X µµµµνν+=+−⋅⋅∈

(3) ()()()()()()

{},,A

B

A

B

A

B

A B x x x x x x x x X µµνννν

×=⋅+−×∈

(4)

()()()()

{

},11,A A A x x x x X λ

λ

λµν=

−−∈, 0λ>.

(5) ()()()()

{}

,,11A

A A

x x x x X λ

λ

λ

µν

=−−∈,

0λ>.

定义3[7] 设()111,a µν=和 ()222,a µν=为两个直觉模糊数，则运算法则为 (1) ()12121212,a a µµµµνν+=+−××;

(2)

()12121212,a a µµνννν×=×+−×; (3) 1221a a a a +=+; (4) 1221a a a a ×=×;

定义 4[8] 设(),a µν=为一个直觉模糊数，则该直觉模糊数的记分函数为

()S a µν=−，()[]1,1S a ∈− (1)

如果()S a 的值越大，则相应的直觉模糊数(),a µν=也越大。

定义 5[9] 设(),a µν=为一个直觉模糊数，则该直觉模糊数的准确度函数为

()H a µν=+，()[]0,1H a ∈ (2)

如果()H a 的值越大，则相应的直觉模糊数(),a µν=的准确度也越高。

定义6[7] 设()111,a µν=和 ()222,a µν=为两个直觉模糊数，对应的记分函数为

()111S a µν=−和()222S a µν=−，对应的准确度函数为()111H a µν=+和()222H a µν=+，那么

(1) 如果 ()()12S a S a <，那么有12a a <；