检测、估计和调制理论 第四章 信号检测和信号参数估计

零均值高斯白噪声
利用正交展开：r ( t ) = l .i .m rk ( t ) = l .i .m
k −>∞ k −>∞
T T 0 0
∑ rφ
i =1 i
k
i
(t )
ri = ∫ r (t )φi (t ) dt = ∫ [ s (t , A) + n (t ) ]φi (t ) dt = si ( A) + ni
5
信号的检测和信号参数估计
其频率特性为信号频谱的复共轭（加相位补偿项）。 其输出信号在形式上与输入信号的自相关函数相同，输出信号频 谱比例于 S ( jω )
2
相关接收与匹配滤波在数学上是等效的，均为白噪声下检测已知 相关接收与匹配滤波在数学上是等效的，均为白噪声下检测已知 信号的最佳接收机，选用哪种结构取决于实现的难易。 信号的最佳接收机，选用哪种结构取决于实现的难易。 匹配滤波器对信号的幅度和时延有适应性，相关接收要求时间对准 思考：匹配滤波器能获得最大信噪比的物理意义是什么？为什么要有 延时因子？
MAP估计 求条件密度的最大值，有时是比较方便的。 MAP方程：
∫
∞
∂ ln p ( A / R ) ∂A
=0
ˆ(R) A=a
需要把握住在什么条件下，这两者是等效的。
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信号的检测和信号参数估计
ML估计 当待估计量是非随机的未知量时，可以略去求条件概率密度最大值时 先要确定的先验概率分布。所以求 pa/ r (A/ R) 最大值问题转化为求似 然函数 pr / a (R/ A) 的最大值。
信号的检测和信号参数估计
第四章 信号的检测和信号参数估计
以正交表示为工具，将经典检测、估 计扩展到观测为波形的检测和估计 。 计扩展到观测为波形的检测和估计。
1
信号的检测和信号参数估计
4.1 白噪声中检测已知信号
一、相关接收与匹配滤波： 一般二元检测 r (t ) = si (t ) + n(t ) : Hi ,
s1 (t )
首先是将观测到的波形 转变为判决空间 首先是将观测到的波形转变为判决空间 的一个点 的一个点，这个变换是一个相关运算， r (t ) 即： r (t ) 与 [ s1 (t ) − s0 (t )]的相关运算（相 位同步），这一步对任何准则都不变。
4
∫ ∫
s0 (t )
T
0
dt
+ -
判决
T
0
dt
信号的检测和信号参数估计
h(t)
对简单二元检测：
s1(t) = s(t)，s0 (t) = 0
r(t)
l=
∫
T
0
r (t ) s (t ) dt =
∫
T
∫ dt
0
T
l
0
r (t ) h (T − t ) dt
s (t)
s(t ) = h(T − t ) 得： h(τ ) = s(T −τ ) 匹配滤波器 H( jω) = S*(ω)e− jωT 则：
H1
∫
T
0
r (t ) [ s1 (t ) − s0 (t ) ] dt
H0
> N0 1 T 2 2 s1 (t ) − s0 dt = η ' ln η + ∫ ⎡ (t ) ⎤ ⎣ ⎦ 0 2 < 2
其中η 取决于准则：贝叶斯（代价因子、先验概率），N-P（虚警概率） 从上面的推导可看出： 白噪声下已知信号的最佳检测方法是相关接收机/ 白噪声下已知信号的最佳检测方法是相关接收机/匹配滤波器。
取对数并消去公共项得：
⎡2 k 1 k 2 2 ⎤ l.i.m ln Λ(rk (t)) = l.i.m⎢ ∑(s1i − s0i )ri + ∑(s0 i − s1i )⎥ k −>∞ k −>∞ N N0 i=1 ⎣ 0 i=1 ⎦
∫
T
0
r (t ) s1 (t ) dt = ∫ [∑ riφi (t )][∑ s1 jφ j (t )]dt = ∑ ∑ ri s1 j ∫ φi (t )φ j (t ) dt = ∑ ri s1i
i =1
0≤t≤T
在H1和H0条件下，ri 分别为：
H 1： ri = H 0： ri
2
∫ = ∫
T
0 T 0
( s1 ( t ) + n ( t ))φ i ( t ) d t = s1 i + n i ( s 0 ( t ) + n ( t ))φ i ( t ) d t = s 0 i + n i
T
⎧
T
0
Δ
0
⎡ E1 s1 (t ) − E0 s0 (t ) ⎤ ⎫ ⎪ E1 s1 (t ) + n(t )⎤ ⋅ ⎦ ⎢ ( E − 2 ρ E E + E )1/ 2 ⎥ dt ⎬ ⎢ 1 ⎥ ⎭ 1 0 0 ⎪ ⎣ ⎦
1 2
信号做能量归一化表示
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=
E1 − E0 E1 ρ ( E1 − 2 ρ E0 E1 + E0 )
与检测中的推导相同，有：
l.i.m
k −>∞
∑rs ( A) = ∫
i =1 i i
k
T
0
r(t)s(t, A)dt,
T
∑r = ∫
2 i =1 i
k
T
0
r2 (t)dt,
∑s
i =1
k
2
i
( A) = ∫ s2 (t, A)dt
0
T
可得：
∂ ln Leabharlann Baidu( R / A) 2 = ∂A N0
∂s (t , A) ∫ [ r (t ) − s(t , A)] ∂A dt
T T 0 i =1 j =1 i =1 j =1 0 i =1
k
k
k
k
k
同理可证：
∫
T
0
k
r (t ) s0 (t ) dt = ∑ ri s0 i
i =1
2 ji
k
l.i.m
j = 0,1
k −>∞
∑s
3
i =1
=
∫
T 0
s ( t ) dt ,
2 jk
信号的检测和信号参数估计
所以对数似然比可以写为：
N0 E{ri | H 0 } = s0i 方差 Var (ri | H 0 ) = Var ( ri | H1 ) = 2
均值 E{ri | H1 } = s1i ,
信号的检测和信号参数估计
知道H1和H0条件下的均值和方差，由高斯联合分布密度写出似然比： 条件下的均值和方差，由高斯联合分布密度写出似然比：
ln pa (A) 时，
∂ ln p ( R / A) ∂A
=0
ˆ ML ( R ) A= a
当先验知识完全不知道或者为均匀分布时，都应采用ML。ML估计相当于先 验知识趋于零的MAP估计。
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信号的检测和信号参数估计
一、估计公式 设观测波形为： r(t) = s(t, A) + n(t)
0 ≤ t ≤T
0
ˆML A= a
=0
ML 估计量所应满足的方程。
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信号的检测和信号参数估计
A是待估计的高斯分布的随机变量 是待估计的高斯分布的随机变量
p a ( A) = 1 2π σ a exp( − A2 ) 2 2σ a
则可应用MAP估计。这时只需在前述ML估计似然方程中左边增加一项：
⎡ 1 A2 ⎤ ∂ ⎢ − ln 2π − ln σ a − 2 ⎥ 2 2σ a ∂ ln p a ( A) ⎦ =− A = ⎣ ∂A ∂A σ a2
A是待估计的非随机参数 讨论最大似然估计（ML）
E [ ri | A ] = si ( A ) =
∫
T
0
N0 2 s ( t , A )φ i (t ) dt , Var [ ri | A ] = Var ( ni ) = E ⎡ ⎣ ni ⎤ ⎦= 2
k 2 ⎧ 1 ⎪ 1 [ ri − si ( A)] ⎫ ⎪ exp ⎨− ⎬ π N0 ⎪ 2 N0 / 2 ⎭ ⎪ ⎩
t ∈ (0, T ), i = 0,1
零均值高斯白噪声
观测是一个时间连续的随机波形。利用第三章的正交级数展开，可 以将之变为一个高斯随机变量 的集合： 以将之变为一个高斯随机变量的集合：
k k −>∞ k −>∞
Λ ( r (t )) = l .i.m Λ ( rk (t ))
k −>∞
r ( t ) = l .i .m rk ( t ) = l .i .m ∑ riφ i ( t )
信号的检测和信号参数估计
⎧ E0 E1 ρ − E0 ⎡ E1 s1(t) − E0 s0 (t) ⎤ ⎫ ⎪T ⎪= ⎤⋅ ⎢ + E(l | H0 ) = E ⎨∫ ⎡ E s ( t ) n ( t ) d t ⎥ 1 ⎬ 0 0 1/2 ⎦ (E − 2ρ EE + E ) 0 ⎣ 2 ⎢ 1 ⎥ ⎪ 1 0 0 ⎪ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ( E1 − 2 ρ E0 E1 + E0 ) N Var(l | H 0 ) = 0 2
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信号的检测和信号参数估计
4.2 信号参数估计
如何将经典参数估计 的问题引入信号参数估计 信号参数估计，仍采用 ，仍采用K-L展开作为工具。 如何将经典参数估计的问题引入
经典估计理论： MMSE估计
ˆ(R) = Ap( A/ R)dA，在条件密度为多维的 估计量是A的条件均值 a −∞ 非高斯时，求均值是一个艰巨的任务。
> 2 T 1 T 2 ln Λ(r (t)) = ∫ r(t)[ s1(t) − s0 (t)] dt + ∫ ⎡ lnη s0 (t) − s12 (t)⎤ dt ⎣ ⎦ 0 0 N0 1 4 4 4 2 4 4 4 3 N0 1 4 4 4 2 4 4 4 3<
充分统计量 信号能量差 H0
H1
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信号的检测和信号参数估计
二、充分统计量 由相关接收表示式 H1 > 2 T 1 T 2 2 ⎡ ln Λ(r (t )) = ln η r (t ) [ s1 (t ) − s0 (t )] dt + s0 (t ) − s1 (t ) ⎤ dt ∫ ∫ ⎣ ⎦ 0 0 N0 144424443 N0 144 4 2444 3 <
ri 是高斯变量，当有k个观测时，似然函数为：
p(Rk / A) = ∏ p(ri / A) = ∏
i=1 i=1 k
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信号的检测和信号参数估计
2 K ⎧ K ⎪ [ ri − si ( A)] ⎫ ⎪ ln p(Rk / A) = − π N0 + ∑ ⎨− ⎬ 2 N0 i =1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
一旦把接收波形转换到判决空间，波形不是主要的，检测性能决定于信 号能量，只要变换到判决空间的同一点，所有情况是相同的。
复习第一讲匹配滤波器的推导－根据最大信噪比准则设计线性时不变接收机
匹配滤波器的性质：
(S / N )max = 2 E / N 0 输出的最大信噪比与输入信号波形无关，
延时T 应选在全部信号结束后，信噪比在T 时刻达最大。 其冲击响应为信号波形的时间倒置（平移T ）。
即：
2 T ∂s(t, A) A dt − 2 =0 [ r(t) − s(t, A)] ∫ 0 N0 ∂A σa A=a ˆ
2 ∴d = N0
2
⎛ E1 − 2 ρ E1 E0 + E0 ⎜ ⎜ ( E − 2 ρ E E + E )1/ 2 1 0 0 ⎝ 1
⎞ 2 ( E1 − 2 ρ E1 E0 + E0 ) ⎟ = ⎟ N0 ⎠
2
结论：
信号能量越大，d 越大，检测性能越好；
d 最大 ρ = − 1, S 0 ( t ) = − S 1 ( t )时，
ρ=
7
∫
T
0
s1 (t ) s0 (t ) dt E1 E0
信号的检测和信号参数估计
三、检测性能 接收机工作特性：
d
d2Δ
[ E (l | H 1 ) − E ( l | H 0 )] 2 Var (l | H 0 )
l = ∫ r (t )φΔ (t )dt
0
T
E(l | H1 ) = E
⎪ ⎡ ⎨∫ ⎣ {∫ r(t)φ (t)dt} = E ⎩ ⎪
pa / r ( A/ R) pr (R) = pr / a (R / A) pa ( A) = pr,a ( A, R)
l n pa/ r (A/ R) = l n pr / a (R/ A) +l n pa (A) −l n pr (R)
等式右边与待估计量A有关的只有前两项，当不考虑 剩下的就是似然函数 ln pr / a (R/ A) 一项。 ML方程：
ε=
p( R / H1 ) = l.i.m p( R / H0 ) k −>∞
∏
i =1 k
k
∏
i =1
⎡ 1 (r − s ) 2 ⎤ 1 exp ⎢− i 1i ⎥ π N0 ⎣ 2 N0 / 2 ⎦ ⎡ 1 (r − s ) 2 ⎤ 1 exp ⎢− i 0i ⎥ π N0 ⎣ 2 N0 / 2 ⎦
充分统计量 信号能量差
H0
由于对检测而言，真正有效维是在差信号
sΔ (t ) = s1 (t ) − s0 (t ) 方向，将其归一化：
φΔ (t) =
= s1 (t) − s0 (t) {∫ [s1(t) − s0 (t)] dt}1/2
0 T 2
s1 (t) − s0 (t) (E1 + E0 − 2ρ E1E0 )1/ 2