求解流水线调度问题的万有引力搜索算法

式中： 皂 枣蚤贼 （ 表示在时刻 贼， 物体 蚤 的最好适应度值， 蚤 贼） 皂 遭藻泽贼 （ 贼） 、 皂 憎燥则泽贼 （ 贼） 被定义为 皂 遭藻泽贼 （ 贼） 越 皂蚤灶 皂 枣蚤贼 （ ， 蚤 贼） 皂 憎燥则泽贼 （ 贼） 越
躁∈ ｛ 员， 圆， …， 晕｝ 躁∈ ｛ 员， 圆， …， 晕｝
凿燥蚤： 员园援 猿怨远怨 辕 躁援 蚤泽泽灶援 员远苑猿鄄源苑愿缘援 圆园员园援 园缘援 园园远
求解流水线调度问题的万有引力搜索算法
谷文祥， 李向涛， 朱摇Fra Baidu bibliotek磊， 周俊萍， 胡艳梅
（ 东北师范大学 计算机学院， 吉林 长春 员猿园员员苑 ） 摘摇 要： 研究了以最大完工时间为目标的流水线调度问题， 使用万有引力算法求解调度问题， 提出了一种最大排序
粤 早则葬增蚤贼葬贼蚤燥灶葬造 泽藻葬则糟澡 葬造早燥则蚤贼澡皂 枣燥则 枣造燥憎 泽澡燥责 泽糟澡藻凿怎造蚤灶早
郧哉 宰藻灶鄄曾蚤葬灶早，蕴陨 载蚤葬灶早鄄贼葬燥，在匀哉 蕴藻蚤，在匀韵哉 允怎灶鄄责蚤灶早，匀哉 再葬灶鄄皂藻蚤
（ 阅藻责葬则贼皂藻灶贼 燥枣 悦燥皂责怎贼藻则 杂糟蚤藻灶糟藻，晕燥则贼澡藻葬泽贼 晕燥则皂葬造 哉灶蚤增藻则泽蚤贼赠，悦澡葬灶早糟澡怎灶 员猿园员员苑 ，悦澡蚤灶葬）
收稿日期： 圆园员园鄄园猿鄄圆怨援 基金项目： 国家自然科学基金资助项目 （远园源苑猿园源圆， 远园缘苑猿园远苑， 远园愿园猿员园圆） 援 通信作者： 李向涛援 耘鄄皂葬蚤造：造蚤曾贼猿员源岳 灶藻灶怎援 藻凿怎援 糟灶援
［ 猿鄄源 ］ ［ 缘鄄远 ］ 法通常包括 猿 种： 精确算法 、 启发式算法 以及 ［ 苑鄄愿 ］ 元启发式算法 援 精确算法一般仅仅适合于小规 模问题； 构造启发式算法和提高式启发式算法虽然 能够解决部分大规模问题， 但是解的质量往往不高； 元启发式算法通过模仿自然界的某些现象和过程进 行优化， 一般是从若干个解出发， 通过对搜索空间的 不断搜索， 直到达到一定的条件， 最终获得该问题的 最优解或者近似最优解援 因此， 元启发式算法成为了 求解流水线调度问题的主要方法 援 ［ 怨］ 万有引力搜索算法 （ 郧杂粤 ） 是由 耘援 砸葬泽澡藻凿蚤 和 匀援 晕藻扎葬皂葬遭葬凿蚤鄄责燥怎则 等在 圆园园怨 年提出的一种源 于对物理学中的万有引力进行模拟的新的优化搜索 技术， 与粒子群算法 （ 孕杂韵） 相似， 是一种元启发式算
圆园员园 年 员园 月摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇
第 缘 卷第 缘 期摇 摇 摇 摇 摇
摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 智摇 能摇 系摇 统摇 学摇 报摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 灾燥造援 缘 翼援 缘
摇 悦粤粤陨 栽则葬灶泽葬糟贼蚤燥灶泽 燥灶 陨灶贼藻造造蚤早藻灶贼 杂赠泽贼藻皂泽 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 韵糟贼援 圆园员园
规则， 利用物体间各个位置分量值存在的大小次序关系， 并结合随机键编码的方法产生， 将物体的连续位置转变成 了一个可行的调度方案； 提出了一种边界变异的策略使得越界的物体不再聚集在边界上， 而是分布在边界附近的可 行空间内， 从而增加种群的多样性； 结合交换算子和插入算子提出了一种新的局部搜索算法， 有效地避免了算法陷 真实验说明了所得算法的有效性 援
则葬灶凿 ∑ 躁 越 员， 躁≠ 蚤
晕
凿 伊 云（ 援 蚤躁 贼 ）
凿 凿 凿 曾（ 援 蚤 贼 垣 员 ） 越 曾（ 蚤 贼 ）垣 增（ 蚤 贼 垣 员） 式中： 则葬灶凿 是一个在 ［园， 员］ 之间的随机数， 用它可以 让搜索变得随机化援 重力搜索和惯性质量通过适应度函数计算得 到援 质量高的物体吸引力强， 移动地比较慢， 假设引 力质量和惯性质量相等， 物体的质量可以使用 员 个 隐射援 则 酝 葬蚤 越 酝 责蚤 越 酝 蚤蚤 越 酝，蚤 越 员 ， 圆， …， 晕， 皂 枣蚤贼 （ （ 贼） 蚤 贼 ）原 皂 憎燥则泽贼 皂 （ ， 蚤 贼） 越 皂 遭藻泽贼 （ 贼）原 皂 憎燥则泽贼 （ 贼） （ 皂 蚤 贼） 酝 （ 援 蚤 贼） 越 晕 躁 贼） ∑ 躁 越 员 皂（
在特定的时间 贼， 定义作用在物体 蚤 和物体 躁 之 间的重力搜索表示为 酝 （ 贼）伊 酝 葬躁 （ 贼） 凿 凿 凿 云（ （ 贼） 责蚤 （ 曾（ 贼）原 曾（ ） 援 蚤躁 贼 ） 越 郧 躁 蚤 贼） 砸（ 蚤躁 贼 ）垣 ε 式中： 酝 葬躁 表示施力物 躁 的质量； 酝 责蚤 表示受力物 蚤 的 质量； 砸（ 是物体 蚤 和物体 躁 之 ε 是一个小的常量； 蚤躁 贼 ） 间的欧几里德距离： 砸（ （ ， 载 （ ‖圆 ； 蚤躁 贼 ） 越 ‖ 载 蚤 贼） 躁 贼） 郧 （ 贼） 是在时间 贼 下的引力常量： 郧 （ 贼 ） 越 郧园 藻 原 α 栽 援 则物体 蚤 在 凿 维的合力可以表示为
万方数据
· 源员圆·
智摇 能摇 系摇 统摇 学摇 报摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 摇 第 缘 卷
法援 它通过群体中各粒子之间的万有引力相互作用 产生的群体智能指导优化搜索， 但是目前对于 郧杂粤 算法的研究还很少援 实验证明， 郧杂粤 的收敛性明显 遗传算法 （ 郧粤 ） 等其他智能优化算法， 但 优于 孕杂韵、 已提出的算法都存在早熟收敛， 易陷入局部最优， 缺 少有效加速机制援 为了解决以上的不足， 本文提出了一种基于万 有引力搜索算法的 陨郧杂粤 算法用于求解流水线调度 问题援 考虑到连续的 郧杂粤 算法不能处理离散的调度 问题， 提出了一种最大位置规则援 为了提高 郧杂粤 算 法的效率， 提出了一种边界变异策略， 进而增加种群 提出了一 的多样性援 并且为了进一步提高解的质量， 种新的局部搜索算法援 最后分析了 陨郧杂粤 算法的收 敛 性， 并 证 明 该 算 法 的 空 间 复 杂 度 为 韵 （ （ 远 灶 垣 圆 皂）伊 凿） 和群体每次进化的最坏渐进时间 圆 复杂度为韵 （ 皂灶凿 ） 援 仿真实验结果表明该算法是有 效的援
贼
云凿 蚤 越
员摇 流水线调度问题的数学模型
流水线调度问题可描述如下： 灶 个待加工的作 允圆 ， …， 允 灶 需要在 皂 台机器加工 酝 越 酝员 ， 业 晕 越 允员 ， 酝圆 ， …， 酝灶 ， 每个作业由 皂 道连贯的工序组成， 每道 工序要求不同的机器完成， 这些作业通过机器的顺 序是一样的， 它们在每台机器上的顺序也是一样的， 每个作业 允 蚤 在机器 皂 躁 上的处理时间为 孕 蚤躁 援 对于一 个可行调度 π 越 ｛ π员 ， …， ， 各作业的完工时 π圆 ， π灶 ｝ 间可按如下方法计算： 悦 （ π， 员 ） 越 责 π员 ， 员， 悦 （ π躁 ， 员） 越 悦 （ π 躁 原员 ， 员 ）垣 责 π， 躁 越 圆， 猿， …， 灶， 员， 悦 （ π员 ， 蚤） 越 悦 （ π员 ， 蚤 原 员 ）垣 责 π， ， 蚤 越 圆 ， 猿 ， …， 皂， 蚤 悦 （ π躁 ， 蚤） 越 皂葬曾 （悦 （ π 躁 原员 ， 蚤） ， 悦 （ π躁 ， 蚤 原 员） ）垣 责 π， 蚤， 躁 越 圆， 猿， …， 灶，蚤 越 圆 ， 猿， …， 皂援 最大完工时间可表示为 悦 皂葬曾 （ π） 越 悦 （ π灶 ， 皂） 援 流水线调度的目标是发现一个最好的方案 π ， 使得 悦 皂葬曾 （ π ）≤ 悦 （ π灶 ， 皂） ， π ∈ ∏ 援
通过运动法则， 在时间 贼 时物体 蚤 在第 凿 维的加速度： 凿 云（ 蚤 贼） 凿 葬（ 贼 ） 越 援 蚤 酝（ 蚤蚤 贼 ） 式中： 酝（ 表示物体 蚤 的惯性质量援 则物体的速度 蚤蚤 贼 ） 更新为 凿 凿 凿 增（ ， 蚤 贼 垣 员 ） 越 则葬灶凿 伊 增（ 蚤 贼 ）垣 葬（ 蚤 贼）
粤遭泽贼则葬糟贼 ： 粤灶 蚤皂责则燥增藻凿 早则葬增蚤贼葬贼蚤燥灶葬造 泽藻葬则糟澡 葬造早燥则蚤贼澡皂（ 陨郧杂粤）憎葬泽 责则燥责燥泽藻凿 贼燥 泽燥造增藻 贼澡藻 枣造燥憎 泽澡燥责 泽糟澡藻凿怎造蚤灶早 责则燥遭鄄 造藻皂 憎蚤贼澡 贼澡藻 燥遭躁藻糟贼蚤增藻 燥枣 皂蚤灶蚤皂蚤扎蚤灶早 责则燥凿怎糟贼蚤燥灶 贼蚤皂藻援 云蚤则泽贼，贼燥 皂葬噪藻 葬 郧杂粤 泽怎蚤贼葬遭造藻 枣燥则 责藻则皂怎贼葬贼蚤燥灶 燥枣 贼澡藻 枣造燥憎 泽澡燥责 泽糟澡藻凿怎造蚤灶早 责则燥遭造藻皂（ 孕云杂杂孕） ，葬 灶藻憎 造葬则早藻泽贼鄄则葬灶噪鄄则怎造藻 遭葬泽藻凿 燥灶 葬 则葬灶凿燥皂 噪藻赠 憎葬泽 蚤灶贼则燥凿怎糟藻凿 贼燥 糟燥灶增藻则贼 贼澡藻 糟燥灶贼蚤灶怎燥怎泽 责燥泽蚤贼蚤燥灶 燥枣 贼澡藻 郧杂粤 蚤灶贼燥 贼澡藻 凿蚤泽糟则藻贼藻 躁燥遭 责藻则皂怎贼葬贼蚤燥灶 泽燥 贼澡葬贼 贼澡藻 郧杂粤 糟燥怎造凿 遭藻 怎泽藻凿 枣燥则 泽燥造增蚤灶早 孕云杂杂孕援 杂藻糟燥灶凿 ，葬 灶藻憎 遭燥怎灶凿葬则赠 皂怎贼葬贼蚤燥灶 憎葬泽 责则燥责燥泽藻凿援 栽澡蚤泽 燥责藻则葬贼蚤燥灶 泽贼燥责责藻凿 贼澡藻 葬早藻灶贼泽 憎澡蚤糟澡 澡葬增藻 皂怎贼葬贼蚤燥灶泽 葬泽 葬 则藻泽怎造贼 燥枣 怎泽蚤灶早 贼澡藻 葬遭燥增藻 皂藻贼澡燥凿 枣则燥皂 早葬贼澡藻则蚤灶早 葬贼 贼澡藻 遭燥则凿藻则援 栽澡藻赠 憎藻则藻 凿蚤泽贼则蚤遭怎贼藻凿 葬贼 葬 枣藻葬泽蚤遭造藻 凿蚤泽贼葬灶糟藻 枣则燥皂 贼澡藻 遭燥怎灶凿鄄 葬则赠援 栽澡蚤泽 蚤皂责则燥增藻皂藻灶贼 葬造泽燥 蚤皂责则燥增藻凿 贼澡藻 责燥责怎造葬贼蚤燥灶 凿蚤增藻则泽蚤贼赠援 栽澡蚤则凿 ， 遭赠 糟燥皂遭蚤灶蚤灶早 贼澡藻 糟燥皂皂怎灶蚤糟葬贼蚤灶早 燥责藻则葬贼燥则 葬灶凿 蚤灶泽藻则贼蚤灶早 燥责藻则葬贼燥则，贼澡藻 灶藻憎 造燥糟葬造 泽藻葬则糟澡 憎葬泽 凿藻泽蚤早灶藻凿 贼燥 澡藻造责 贼澡藻 葬造早燥则蚤贼澡皂 藻泽糟葬责藻 枣则燥皂 贼澡藻 造燥糟葬造 皂蚤灶蚤皂怎皂援 云蚤灶葬造鄄 造赠 ，贼澡藻 糟燥灶增藻则早藻灶糟藻 燥枣 贼澡藻 蚤贼藻则葬贼蚤增藻 葬造早燥则蚤贼澡皂 葬灶凿 蚤贼泽 糟燥皂责造藻曾蚤贼蚤藻泽 蚤灶 贼蚤皂藻 葬灶凿 泽责葬糟藻 憎藻则藻 责则燥增藻灶援 粤凿凿蚤贼蚤燥灶葬造造赠 ， 泽蚤皂怎造葬贼蚤燥灶泽 葬灶凿 糟燥皂责葬则蚤泽燥灶泽 遭葬泽藻凿 燥灶 孕云杂杂孕 遭藻灶糟澡皂葬则噪泽 憎藻则藻 糟葬则则蚤藻凿 燥怎贼 ，憎澡蚤糟澡 泽澡燥憎 贼澡葬贼 贼澡藻 责则燥责燥泽藻凿 葬造早燥则蚤贼澡皂 蚤泽 遭燥贼澡 藻枣枣藻糟贼蚤增藻 葬灶凿 藻枣枣蚤糟蚤藻灶贼援 运藻赠憎燥则凿泽： 早则葬增蚤贼葬贼蚤燥灶葬造 泽藻葬则糟澡 葬造早燥则蚤贼澡皂；枣造燥憎 泽澡燥责 泽糟澡藻凿怎造蚤灶早；造燥糟葬造 泽藻葬则糟澡 ；遭燥怎灶凿葬则赠 皂怎贼葬贼蚤燥灶；造葬则早藻泽贼 则葬灶噪 则怎造藻 ；责则燥凿怎糟贼蚤燥灶 贼蚤皂藻 皂蚤灶蚤皂蚤扎蚤灶早 摇 摇 流水线调度问题 （ 枣造燥憎 泽澡燥责 泽糟澡藻凿怎造蚤灶早 责则燥遭造藻皂， 云杂孕） 是许多实际生产调度过程的简化模型， 它已经 ［ 员鄄圆 ］ 援 由于其重要的理论意义和工 被证明是 晕孕鄄澡葬则凿 程价值， 云杂孕 问题已成为目前调度问题研究的热点 之一援 流水线调度是研究 灶 个工件在 皂 台机器上的 流水加工过程， 同时约定： 员） 每个工件在每台机器 上只能加工 员 次； 圆） 每个工件的加工不能被中断； 猿） 每台机器每次最多只能加工 员 个工件； 源） 每台机 器执行工件的顺序是相同的援 目前求解该问题的方
入局部最优值， 进一步提高了解的质量 援 最后证明了算法的收敛性， 并且计算了算法的时间复杂度和空间复杂度， 仿 关键词： 万有引力搜索算法； 流水线调度； 局部搜索算法； 边界变异； 最大排序规则； 最大完工时间 中图分类号： 栽孕猿园员援 远摇 文献标识码： 粤摇 文章编号： 员远苑猿鄄源苑愿缘 （ 圆园员园 ） 园缘鄄园源员员鄄园愿