2.6 电多极矩

-a -b +
x
D = ∫ 3zzρ(x)dV =∫ 33
V
z=∞
z=−∞
3zzQ′δ (z − z′)dz
= 3z1z1Q − 3z2z2Q − 3z3z3Q + 3z4 z4Q = 3(b2 − a2 − a2 + b2 )Q = 6Q(b2 − a2 ) = 6Q(b − a)(b + a) = 6 pl
1 = f (0) + (x ⋅ ∇) f (0) + (x ⋅ ∇)2 f (0) +⋯ 2
1 (3) 将 在 r
x′ = 0 点展开
有了以上泰勒级数展开式， 代替f ， 有了以上泰勒级数展开式，用1/r代替 (x)，是 代替
x, x′ 的函数，即 r = x − x′ 。把 x 场点固定不变。 的函数， 场点固定不变。
p = ∫ ρ(x′)x′dV′
V
（3）展开式的第三项是电四极矩 ij产生的电势。 ）展开式的第三项是电四极矩D 产生的电势。
1 1 ∂2 1 ∑ Dij ϕ(2) = 4πε0 6 i, j ∂xi∂xj R
（3） ）
由上式，电四极矩张量 是对称张量， 由上式，电四极矩张量Dij是对称张量，它有 6 个分量： D11， D22， D33， 个分量： D12= D21， D13= D31， D23= D32
(2)
1
∫
∫ ∫
∫
若电荷分布有球对称性， 若电荷分布有球对称性， 则
x′2ρ( x′)dV′ = ∫ y′2ρ( x′)dV′ ∫
1 2 = ∫ z′ ρ( x′)dV′ = ∫ r′ ρ( x′)dV′ 3 D = D22 = D33 = 0， 11
2
因而
而且显然有
D = D23 = D31 = 0， 12
1 1 = D : ∇∇ϕe (0) = − D : ∇Ee (0) 6 6
W (2)
4. 带电体系在外场 Ee中受到的力和力矩 中受到的力和力矩 到的
为带电体系在外场中的静电势能， 设 W为带电体系在外场中的静电势能 ， 则带电体系在外场 为带电体系在外场中的静电势能 不变） 中受到的力 F = −∇W 假定 不变）以下仅讨论W (0) W(1) （假定Q不变 和
1 p⋅ R p⋅ ∇ = ϕ =− ） 3 （2） 4πε0 R 4πε0R
(1)
1
产生的电势。 中心在坐标原点等效电偶极矩 p 产生的电势。 最简单的体系为两个点电荷产生的电势。 最简单的体系为两个点电荷产生的电势。
如果一个体系的电荷分布对原点对称， 如果一个体系的电荷分布对原点对称，它的电偶极矩为 零。只有对原点不对称的电荷分布才有电偶极矩。 只有对原点不对称的电荷分布才有电偶极矩。
r = x − x′
P
x
x′
R= x + y +z
2 2
O
2
r = x − x′
= (x − x′) + ( y − y′) + (z − z′)
2 2 2
(1) 一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开） 一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）
1 的麦克劳林展开 r
1 df (0) 1 df 2 (0) 2 f (x) = f (0) + x+ x +⋯ 2 1 dx ! 2! dx (2) 三元函数的麦克劳林展开
四个点电荷在一直线上按 排列， （+，-，-，+）排列，可看作 一对正负电偶极子。 一对正负电偶极子。
z
b +
r+ r-
P
l = a +b P = Q(b − a)ez = p 上
- R a θ
l
O
体系总电荷、 体系总电荷、总电偶极矩为零 电荷 依定义 D33 ≠ 0 其它分量均为零
P = −Q(b − a)ez = − p 下
§2.6
电多极矩
主要内容 一、电势的多极展开 二、电多极矩 三、电荷体系在外电场中 的能量(相互作用能)
一、电势的多极展开
1. 小区域电荷分布 P
ρ(x′) ，原则上可通过 原 ρ(x′)dV′ ϕ(x) = ∫ 求电势。 求电势。 ∞ 4πε r 0
若已知 一般若体电荷分布不均匀或 区域不规则，积分十分困难 （用计算机可数值求解）。 用计算机可数值求解）
L = p× Ee
(1)
可见即使均匀场 F
(1)
=0 ， 但 L ≠0
(1)
1 1 1 1 2 1 = + (x′ ⋅∇′) + (x′ ⋅∇′) +⋯ r R r x′=0 2 r x′=0
1 1 1 2 1 = − (x′ ⋅∇) + (x′ ⋅∇) +⋯ R R 2 R 1 1 1 1 = − (x′ ⋅∇) + (x′x′ : ∇∇) +⋯ R R 2 R
从而得到
r
l
x′
O
ρ ( x′)
x
但是在许多实际情况中， 但是在许多实际情况中，电 荷分布区域的线度远小于该区 Q 域到场点的距离， 域到场点的距离，可以近似处 r ≈ R ⇒ ϕ(x) ≈ 4πε0 R 解析求解。 理，解析求解。条件 l << r 。
2、电势的多极展开 、
在区域 V 内取一点 O 作为 坐标原点， 坐标原点，以 R 表示由原点 的距离， 到场点 P 的距离，有：
则电荷体系激发的势在远处的多极展开式： 电荷体系激发的势在远处的多极展开式： 1 Q 1 1 ∂2 1 ϕ(x) = [ − p⋅ ∇ + ∑ Dij +⋯ ] 4πε0 R R 6 i, j ∂xi∂xj R
= ϕ (0) + ϕ (1) + ϕ (2) +⋯
p 称为体系的电偶极矩，张量Dij称为体系的电四极矩。 称为体系的电偶极矩，张量 称为体系的电四极矩。
电四极矩也可以用并矢形式写为： 电四极矩也可以用并矢形式写为：
D = ∫ 3x′x′ρ(x′)dV′
V
展开式中的第三项用并矢形式写为： 展开式中的第三项用并矢形式写为： 1 1 1 (2) ϕ = D : ∇∇ 4πε0 6 R 可以证明：电四极矩只有五个独立分量 可以证明：
重新定义： 重新定义： D = ∫ (3x′x′ − R′2l )ρ(x′)dV ′
二、各项的物理意义
ϕ =
(0)
Q 4πε0R
（1） ）
等效于坐标原点点电荷产生的电势。因此小电荷体系 小电荷体系在 等效于坐标原点点电荷产生的电势。因此小电荷体系在 电荷分布区外产生的电势在零级近似下可视为将电荷集中 产生的电势在零级近似下 电荷分布区外产生的电势在零级近似下可视为将电荷集中 于原点处产生的电势。 于原点处产生的电势。
(1)
F(1) = p×(∇× Ee ) + ( p⋅∇)Ee + Ee ×(∇× p) + (Ee ⋅∇) p
= ( p ⋅∇ )Ee
力矩： 力矩： 不变， 假定在外场作用下 p 不变，设 θ 为 p与 E 之 间的夹角， 间的夹角，则 (1)
∂W ∂ Lθ = − = ( pEe cosθ ) = − pEe sin θ ∂θ ∂θ
) ϕ (2， D11 + D22 + D33 = 0 它不改变
只有5个独立分量 只有 个独立分量
1 1 [ 3x′x′ρ(x′)dV ′] : ∇∇ *证明 ϕ = 证明： 证明 4πε0 6 R 1 1 1 1 2 = [ 3x′x′ρ(x′)dV ′ : ∇∇ − R′ l :∇∇ ρ(x′)dV ′] 4πε0 6 R R 1 = ∇2 = 0 (R ≠ 0) 1 1 1 ′x′ − R′2l )ρ(x′)dV ′] : ∇∇ = [ (3x R 4πε0 6 R
1 ∂ ∂ ∂ = f (0) + (x + x2 + x3 ) f (0) 1 1! ∂x ∂x2 ∂x3 1 ∂ ∂ ∂ 2 1 ) f (0) +⋯ + (x + x2 + x3 1 2! ∂x ∂x2 ∂x3 1
= f (0) + ∑
3
i =1
∂ 1 ∂2 xi f (0) + ∑ x i x j f (0) + ⋯ ∂ xi ∂ xi ∂ x j 2 ij
力： F = −∇W
(0)
−∇W +⋯
(1)
= −Q∇ϕe +∇( p ⋅ Ee ) +⋯ = QEe +∇( p ⋅ Ee ) +⋯
F
F
(0)
= QEe (x)
=∇( p ⋅ Ee )
相当于带电体系集中在一点上 点电荷在外场中受到的作用力 点电荷在外场中受到的作用力 电偶极子只在非均匀场中受力。 电偶极子只在非均匀场中受力。 若为均匀场 F (1) ≡ 0
ρ
∫
∫
∫
2．带电体系为小区域时相互作用能的展开 ．带电体系为小区域时相互作用能的展开
所在小区域展开为麦克劳林级数 将 ϕe (x)对电荷 ρ 所在小区域展开为麦克劳林级数
∂ϕe (0) 1 3 ∂2ϕe (0) + ∑ xi xj +⋯ ϕe (x) = ϕe (0) + ∑xi ∂xi 2!i, j=1 ∂xi∂xj i=1
而让源点 x′ 变化，并把 x′ 在原点 附近展开，有 变化， 在原点O附近展开 附近展开，
1 1 1 1 = = f (x − x′), x′ = 0, = r x − x′ r R
1 f (x − x′) = f (x) + (x′ ⋅ ∇′) f (x) + (x′ ⋅ ∇′)2 f (x) +⋯ 2
因此球对称性分布电荷没有电四极矩。 因此球对称性分布电荷没有电四极矩。 若电荷分布偏离球对称性，一般会出现电四极矩。 若电荷分布偏离球对称性，一般会出现电Байду номын сангаас极矩。 电四极矩的出现标志着对球对称的偏移， 电四极矩的出现标志着对球对称的偏移，它反映 电荷分布的形状。 电荷分布的形状。
电四极矩最简单体系举例： 电四极矩最简单体系举例：
ρ(x′)dV′ ϕ(x) = ∫ V 4πε0r
1
1 1 1 ∂2 1 = ∫V ρ(x′)[ R − x′ ⋅∇ R + 2! ∑ xi′x′j ∂xi∂xj R +⋯]dV′ i, j 4πε0
令：
Q = ∫ ρ(x′)dV′
V
V
p = ∫ ρ(x′)x′dV′
V
Dij = ∫ 3xi′x′j ρ(x′)dV′
f (x) = f (x1, x2 , x3 ) 1 ∂f (0,0,0) ∂f (0,0,0) ∂f (0,0,0) = f (0,0,0) + (x1 + x2 + x3 ) ∂x1 ∂x2 ∂x3 1!
1 2 ∂2 f (0,0,0) ∂2 f (0,0,0) ∂2 f (0,0,0) 2 2 + [x1 + x2 + x3 2! ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂2 f ∂2 f ∂2 f + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2 x3 ] +⋯ ∂x1∂x2 ∂x1∂x3 ∂x2∂x3
3
∂ϕe (0) W = ∫ ρ(x)ϕe (0)dV + ∑[∫ ρ(x)xi dV ] V V ∂xi i=1
3
∂2ϕe (0) 1 + ∑[∫ 3xi xj ρ(x)dV ] +⋯ V 6 ij ∂xi∂xj 1 ϕ = Q e (0) + ( p ⋅∇)ϕe (0) + (D: ∇∇)ϕe (0) +⋯ 6 =W(0) +W(1) +W(2) +⋯
3．相互作用能的意义： ．相互作用能的意义： 意义
W
W
(0)
= Qϕe (0)
体系电荷集中在原点时，在外场 体系电荷集中在原点时， 中的能量； 中的能量； 体系等效电偶极子在 外场中的能量； 外场中的能量； 体系等效电四极子在 外场中的能量。 外场中的能量。若外 场为均匀场 ∇Ee ≡ 0
(1)
= p ⋅ ∇ϕe (0) = − p ⋅ Ee (0)
三、电荷体系在外电场中的能量（相互作用能）
1．设外场电势为 ϕe，场中 ． 电荷分布为 ρ(x) ，体系 具有的总能量为： 具有的总能量为
z
ρe 1 W = ∫ (ρ + ρe )(ϕ +ϕe )dV 0 2 ∞ y 1 1 x = ∫ ρϕdV + ∫ ρeϕedV 2 2 1 + ∫ (ρϕe + ρeϕ)dV 可证明： 可证明： ρϕedV = ρeϕdV 2 ∞ ∞ 1 1 因此： 0 因此 W = ∫ ρϕdV + ∫ ρeϕedV + W 2 2 称为体系的相互作用能，或带电 W = ρϕedV 称为体系的相互作用能 或带电 体系在外场中的能量。 体系在外场中的能量。 ∞