电动力学课件：2-6-电多极矩法
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D11 0 四个点电荷在 x 轴 D22 0 四个点电荷在 y 轴
D12 D21 0 x-y 平面
D13 D31 0 x-z 平面 D23 D32 0 y-z 平面
z
D12 0
+
-
-
+y
x
例题：带电荷为Q的椭圆， 半长轴为b,半短轴为a， 求它的电四极矩和 远处的电势。
z
b
0a y
1! dx
2! dx2
(2) 三元函数的麦克劳林展开
f (x) f (x1, x2, x3)
f
(0,
0,
0)
1 1!
(
x1
f
(0, 0, 0) x1
x2
f
(0, 0, 0) x2
x3
f
(0, 0, 0) )
x3
1[ 2!
x12
2
f
(0, 0, 0) x1
x22
2
f
(0, 0, 0) x2
x32
2
40 z r r
r
R
l 2
cos
r
R
l cos
2
( p pez )
1 1 r r r r r r
l cos
R2
1 1 R 1 z cos (z R cos )
z R
R2 z
R2 R
R2
1
4 0
2 pl z2
(1) R
R x2 y2 z2
R z z R
电四极矩其它例子
ij
2 xi x j xix j
f (0)
f
(0)
(x
)
f
(0)
1
(x
) 2
f (0)
(3) 将
1在
r
x
0
2
点展开
1 1 f ( x x) , 在x 0 , 1 1
r x x
rR
f
(x
x)
f
(x)
(x
)
f
(x)
1 (x )2
f
(x)
2
1 1 (x ) 1 1 (x )2 1
r+
P
一对正负电偶极子。
l a b
a
-
R
r-
lO
P上 Q(b a)ez p
-a -
x
P下 Q(b a)ez p
体系总电荷、总电偶极矩为零
-b +
依定义 D33 0 其它分量均为零
z
D33
3zz(x)dV
V
3zzQ (z z)dz
z
3z1z1Q 3z2 z2Q 3z3z3Q 3z4 z4Q
3(b2 a2 a2 b2 )Q 6Q(b2 a2 )
6Q(b a)(b a) 6 pl
1
40
1 6
6
plezez
: 1 R
1
40
2 pl z2
(1) R
它与直接计算结果完全一致（ l R ）：
p r
4 0r3
p r
4 0r3
1
4 0
p [
1
r
1 ] r
1 p (1 1)
4 0 V
R
R2
R
(x)
1
(x)[ 1 x 1 1 xx : 1 ]dV
4 0 V
R
R2
R
电偶极矩矢量
Q
V (x)dV
p V (x)xdV
D 3xx(x)dV 电四极矩张量 V
Dij 3xixj(x)dV i 1, 2,3 j 1, 2,3
(x) Q 1 p 1 1 1 D : 1
电多极矩
z
0
y
x
y
0
a
x
电多极矩
上图椭球方程为：
x2 y2 a2
z2 b2
1
椭球电荷密度为： 0 3Q 4a2b
根据电四极矩公式：
Dij V 3xixj (r)dV
电多极矩
分别可得：
D12 D23 D13 0
D11
D22
1 5
(a2
b2 )Q
D33
2 5
(a2
b2 )Q
§2.6 电多极矩
主要内容
一、电势的多极展开 二、电多极矩 三、电荷体系在外电场中
的能量(相互作用能)
一、电势的多极展开
1.
小区域电荷分布
若已知 (x) ，原则上可通过
P
r
(x)
(x)dV 40r 求电势。
一般若体电荷分布不均匀或
x l
x
区域不规则，积分十分困难
O
（用计算机பைடு நூலகம்数值求解）。
40R 40
R 40 6
R
(0) (1) (2)
二、电多极矩
等效于坐标原点点电
1. 展开式的物理意义
荷产生的电势。因此小 电荷体系在电荷分布区
外产生的电势在零级近
(0) Q
似下可视为将电荷集中
4 0 R
于原点处产生的电势。
(1)
1
p
1
1
p (
R
)
pR
4 0
R 4 0
2. 电四极矩张量
D
V3x
x
(
x
)dV
有9个分量 Dij 3xixj (x)dV
Dij
D ji
(i j)
重新定义： D
电四极矩有6个分量,5个独立
(3x x
R2l )
(
x )dV
它不改变 (2，) D11 D22 D33 0 只有5个独立分量
*证明： (2)
f
(0, 0, 0) x3
2x1x2
2 f x1x2
2x1x3
2 f x1x3
2x2 x3
2 f ] x2x3
1
f (0) 1! (x1 x1 x2 x2 x3 x3 ) f (0)
1 2!
(
x1
x1
x2
x2
x3
)2 x3
f
(0)
f
(0)
3 i1
xi
xi
f (0) 1 2
rR
r x0 2
r x0
1 (x ) 1 1 (x )2 1
R
R2
R
1 (x ) 1 1 (xx : ) 1
R
R2
R
其中 ( 1 1 1 , aa : bb (a b)2 )
r x0
r x0
R
3. 小区域电荷分布产生的电势
(x)
(x)dV 40r
(x)
1
(x)[ 1 x 1 1 xx : 1 ]dV
R3 4 0R3
等效电偶极矩 p 产生的电势。最简单的体系为
两个点电荷产生的电势。
(2)
1
4 0
1
D :
1
1
6
R 4 0
1 6
ij
Dij
2 xix j
1 R
2
D : ij Dij xix j
(2)等效为体系电四极矩张量产生的电势。最简
单的体系为坐标原点附近（+，-，+，-）四个点 电荷产生的电势
1
1[
3xx
(x
)dV
] :
1
4 0 6
R
1
1[
3x x ( x )dV
:
1
R2l
:
1
( x )dV
]
4 0 6
R
R
1
1[
(3xx
R2l)
(
x
)dV
]
:
1
2 1 0 (R 0) R
4 0 6
R
电四极矩最简单体系举例：
四个点电荷在一直线上按 （+，-，-，+）排列，可看作
z
b+
( x)
但是在许多实际情况中，电
荷分布区域的线度远小于该区 域到场点的距离，可以近似处
理，解析求解。条件 l r 。
r R (x)
Q
4 0 R
2. 1 的麦克劳林展开
r
(1) 一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）
f (x) f (0) 1 df (0) x 1 df 2 (0) x 2
D12 D21 0 x-y 平面
D13 D31 0 x-z 平面 D23 D32 0 y-z 平面
z
D12 0
+
-
-
+y
x
例题：带电荷为Q的椭圆， 半长轴为b,半短轴为a， 求它的电四极矩和 远处的电势。
z
b
0a y
1! dx
2! dx2
(2) 三元函数的麦克劳林展开
f (x) f (x1, x2, x3)
f
(0,
0,
0)
1 1!
(
x1
f
(0, 0, 0) x1
x2
f
(0, 0, 0) x2
x3
f
(0, 0, 0) )
x3
1[ 2!
x12
2
f
(0, 0, 0) x1
x22
2
f
(0, 0, 0) x2
x32
2
40 z r r
r
R
l 2
cos
r
R
l cos
2
( p pez )
1 1 r r r r r r
l cos
R2
1 1 R 1 z cos (z R cos )
z R
R2 z
R2 R
R2
1
4 0
2 pl z2
(1) R
R x2 y2 z2
R z z R
电四极矩其它例子
ij
2 xi x j xix j
f (0)
f
(0)
(x
)
f
(0)
1
(x
) 2
f (0)
(3) 将
1在
r
x
0
2
点展开
1 1 f ( x x) , 在x 0 , 1 1
r x x
rR
f
(x
x)
f
(x)
(x
)
f
(x)
1 (x )2
f
(x)
2
1 1 (x ) 1 1 (x )2 1
r+
P
一对正负电偶极子。
l a b
a
-
R
r-
lO
P上 Q(b a)ez p
-a -
x
P下 Q(b a)ez p
体系总电荷、总电偶极矩为零
-b +
依定义 D33 0 其它分量均为零
z
D33
3zz(x)dV
V
3zzQ (z z)dz
z
3z1z1Q 3z2 z2Q 3z3z3Q 3z4 z4Q
3(b2 a2 a2 b2 )Q 6Q(b2 a2 )
6Q(b a)(b a) 6 pl
1
40
1 6
6
plezez
: 1 R
1
40
2 pl z2
(1) R
它与直接计算结果完全一致（ l R ）：
p r
4 0r3
p r
4 0r3
1
4 0
p [
1
r
1 ] r
1 p (1 1)
4 0 V
R
R2
R
(x)
1
(x)[ 1 x 1 1 xx : 1 ]dV
4 0 V
R
R2
R
电偶极矩矢量
Q
V (x)dV
p V (x)xdV
D 3xx(x)dV 电四极矩张量 V
Dij 3xixj(x)dV i 1, 2,3 j 1, 2,3
(x) Q 1 p 1 1 1 D : 1
电多极矩
z
0
y
x
y
0
a
x
电多极矩
上图椭球方程为：
x2 y2 a2
z2 b2
1
椭球电荷密度为： 0 3Q 4a2b
根据电四极矩公式：
Dij V 3xixj (r)dV
电多极矩
分别可得：
D12 D23 D13 0
D11
D22
1 5
(a2
b2 )Q
D33
2 5
(a2
b2 )Q
§2.6 电多极矩
主要内容
一、电势的多极展开 二、电多极矩 三、电荷体系在外电场中
的能量(相互作用能)
一、电势的多极展开
1.
小区域电荷分布
若已知 (x) ，原则上可通过
P
r
(x)
(x)dV 40r 求电势。
一般若体电荷分布不均匀或
x l
x
区域不规则，积分十分困难
O
（用计算机பைடு நூலகம்数值求解）。
40R 40
R 40 6
R
(0) (1) (2)
二、电多极矩
等效于坐标原点点电
1. 展开式的物理意义
荷产生的电势。因此小 电荷体系在电荷分布区
外产生的电势在零级近
(0) Q
似下可视为将电荷集中
4 0 R
于原点处产生的电势。
(1)
1
p
1
1
p (
R
)
pR
4 0
R 4 0
2. 电四极矩张量
D
V3x
x
(
x
)dV
有9个分量 Dij 3xixj (x)dV
Dij
D ji
(i j)
重新定义： D
电四极矩有6个分量,5个独立
(3x x
R2l )
(
x )dV
它不改变 (2，) D11 D22 D33 0 只有5个独立分量
*证明： (2)
f
(0, 0, 0) x3
2x1x2
2 f x1x2
2x1x3
2 f x1x3
2x2 x3
2 f ] x2x3
1
f (0) 1! (x1 x1 x2 x2 x3 x3 ) f (0)
1 2!
(
x1
x1
x2
x2
x3
)2 x3
f
(0)
f
(0)
3 i1
xi
xi
f (0) 1 2
rR
r x0 2
r x0
1 (x ) 1 1 (x )2 1
R
R2
R
1 (x ) 1 1 (xx : ) 1
R
R2
R
其中 ( 1 1 1 , aa : bb (a b)2 )
r x0
r x0
R
3. 小区域电荷分布产生的电势
(x)
(x)dV 40r
(x)
1
(x)[ 1 x 1 1 xx : 1 ]dV
R3 4 0R3
等效电偶极矩 p 产生的电势。最简单的体系为
两个点电荷产生的电势。
(2)
1
4 0
1
D :
1
1
6
R 4 0
1 6
ij
Dij
2 xix j
1 R
2
D : ij Dij xix j
(2)等效为体系电四极矩张量产生的电势。最简
单的体系为坐标原点附近（+，-，+，-）四个点 电荷产生的电势
1
1[
3xx
(x
)dV
] :
1
4 0 6
R
1
1[
3x x ( x )dV
:
1
R2l
:
1
( x )dV
]
4 0 6
R
R
1
1[
(3xx
R2l)
(
x
)dV
]
:
1
2 1 0 (R 0) R
4 0 6
R
电四极矩最简单体系举例：
四个点电荷在一直线上按 （+，-，-，+）排列，可看作
z
b+
( x)
但是在许多实际情况中，电
荷分布区域的线度远小于该区 域到场点的距离，可以近似处
理，解析求解。条件 l r 。
r R (x)
Q
4 0 R
2. 1 的麦克劳林展开
r
(1) 一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）
f (x) f (0) 1 df (0) x 1 df 2 (0) x 2