多元复合函数求偏导数

（六）方向导数与梯度
1. 方向导数的定义
f lim f (x x, y y) f (x, y)
l 0
2．计算公式：若 z f (x, y) 可微，则
f f cos f sin
l x
y
其中 为 x轴正向到方向 l的转角
• 若 u f (x, y, z) 可微,则
u u cos u cos u cos
z f (P)
• 当 P R 时， z f (P) f (x) 为一元函数；
• 当 P R2 时，
z f (P) f (x, y) 为二元函数；
• 当 P R3 时，
z f (P) f (x1, x2, x3) 为三元函数；
…… • 当 P Rn 时，
z f (P) f (x1, x2,L xn )为 n 元函数。
x x0 y y0 z z0 Fx(x0 , y0 , z0 ) Fy(x0 , y0 , z0 ) Fz(x0 , y0 , z0 )
（2）若曲面方程为（显函数形式）
z f (x, y)
则可写为隐函数形式 f (x, y) z 0
曲面上
M
点的法向量为
0
nr fx, fy, 1
l x
y
z
其中 ﹑ ﹑ 为方向 l 的方向角。
注意: 方向导数存在€ 偏导数存在
3. 梯度：
设z f x, y在平面区域D内具有一阶连续
偏导数，则对于每一点(x, y)，向量
gradf
f x
,
f y
称为z f (x, y)在点 (x, y)的梯度。
梯度与方向导数的关系：
梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致， 而它的模为方向导数的最大值。
（五）微分法在几何上的应用
1．空间曲线的切线及法平面
（1）设空间曲线：
x x(t)，y y(t)，z z(t) t为参数
M0 (x0 , y0, z0 ) 是曲线上一点，其相应
的参数为t0 ，则曲线在点 M0 处切向量为
r T
xt0
,
yt0
zt0
,
曲线在点
M
处的切线方程为
0
x x0 y y0 z z0 x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
一 基本要求
1 理解二元函数的概念，会求定义域。 2 了解二元函数的极限和连续的概念。 3 理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏
导数的求法。 4 掌握多元复合函数的微分法。 5 了解全微分形式的不变性。 6 掌握隐函数的求导法。
7 会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及 法线。
8 了解方向导数的概念和计算公式。 9 了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向
（三）多元函数连续﹑偏导存在与可微之 间的关系
• 一元函数：可导 函数可微，
一元函数：可导 连续，
• 多元函数：偏导数连续
函数可微
函数的偏导数存在
函数连续
多元函数连续 函数的偏导数存在。
（四）多元函数微分法 1．多元复合函数求导法 （1）链式法则
链式法则的实质是函数必须对中间变 量求导。依据函数的复合结构，可按照 “连线相乘，分线相加”的原则来进行 。
求多元复合函数偏导数的关键在于弄清 函数的复合结构,它可用“树形图”来表示.
若z f u,v,u x,v x,
则 dz z du z dv dx u dx v dx
称为全导数.
ux z
vx
设z f u(x),v(x, y), y
则 z f du f v x u dx v x
z f v f y v y y
曲线在点 M0处的法线方程为
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
若曲线的方程表示为
y y x
z
z
x
则在点M0 处切向量为
r T
1,
y
x0
z x0
2．曲面的切平面及法线 （1）设曲面方程为（隐函数形式）
F(x, y, z) 0
2.多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有
限次的四则运算和复合步骤所构成，可 用一个式子所表示的函数，称为多元初 等函数。
• 一切多元初等函数在其定义区域内是连 续的。
（二）偏导数与全微分
1．偏导数
（1）定义：偏导数是函数的偏增量与自变 量增量之比的极限。
z lim x z lim f (x x, y) f (x, y)
导数之间的关系。 10 掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法
及最大（小）值的求法。
P
二 要点提示
注意 1.从一元函数推广 2.多元函数与一元函数的区别
（一）函数的概念 1.点函数的定义：
设 是一个点集，如果对于每一点P
变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它
对应，则称 z 是点 P 的函数，记为
wk.baidu.com
设 z f u,v,u x, y,v x, y,
则 z f x, y, x, y 是 x, y 的复合函数.
若1 u
x
, u y
, v , u x y
存在，2 z
f
u, v 可微，
则 z z u z v x u x v x z z u z v . y u y v y
u
x
z
y
v
x
y
ux zv
y
注意： z 与 f 是不同的。 y y
2．隐函数求导法： 方法1 对方程两端求（偏）导数，然后解
出所求（偏）导数 方法2 隐函数的求导公式：
设 z z(x, y) 是由方程 F(x, y, z) 0
所确定的隐函数，则
z Fx(x, y, z) x Fz(x, y, z)
z Fy(x, y, z) y Fz(x, y, z)
（七）函数的极值﹑最大值和最小值
1．极值的必要条件：
M 0 (x0 , y0 , z0 ) 为曲面上一点 ，则曲面在 点 M0 处 的法向量为
nr Fx, Fy, Fz M0
切平面方程为
Fx(x0 , y0, z0 )(x x0 ) Fy(x0, y0, z0 )( y y0 ) Fz(x0, y0, z0 )(z z0 ) 0
法线方程为
x x0 x x0
x
z lim y z lim f (x, y y) f (x, y)
y y0 y y0
y
（2）计算 求多元函数的偏导数实际上是一元函数
的微分法问题，对一个变量求导，暂时将 其余变量看作常数。
2．全微分
微分公式：若z f (x, y)的全微分存在，则
dz z dx z dy x y