2021届高考数学核按钮【新高考广东版】第十一章概率与统计单元测试卷

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2021届高考数学核按钮【新高考广东版】第一章集合与常用逻辑用语单元测试卷

第一章集合与常用逻辑用语单元测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.(2019·全国Ⅲ卷)已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2≤1}，则A ∩B ＝ ( )A.{－1，0，1}B.{0，1}C.{－1，1}D.{0，1，2} 解：易知B ＝{x |－1≤x ≤1}，又A ＝{－1，0，1，2}，所以A ∩B ＝{－1，0，1}．故选A.2.(辽宁省大连市2020届高三上学期第二次模拟)命题p ：“x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x ≤12”的否定为( )A.x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x >12B.x ∉N *，⎝⎛⎭⎫12x >12C.x ∉N *，⎝⎛⎭⎫12x >12D.x ∈N *，⎝⎛⎭⎫12x >12解：命题p 的否定是把“”改成“”，再把“⎝⎛⎭⎫12x ≤12”改为“⎝⎛⎭⎫12x >12”即可．故选D.3.(宜宾市2019届高三第三次诊断性考试)设a ，b 是空间两条直线，则“a ，b 不平行”是“a ，b 是异面直线”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：由a ，b 是异面直线⇒a ，b 不平行．反之，若直线a ，b 不平行，也可能相交，不一定是异面直线．所以“a ，b 不平行”是“a ，b 是异面直线”的必要不充分条件．故选B.4.(2019·安徽百所重点高中模拟)已知集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2∈A }，则集合A ∩B 的子集的个数为 ( )A.1B.2C.3D.4解：由题意知B ＝{±1，±2，±2}，则A ∩B ＝{1，2}，故A ∩B 的子集的个数为4.故选D.5.(2019·湖南八市联考)已知数列{a n }是等差数列，m ，p ，q 为正整数，则“p ＋q ＝2m ”是“a p ＋a q ＝2a m ”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：在等差数列中，对于正整数m ，p ，q ，若p ＋q ＝2m ，则a p ＋a q ＝2a m ；但对于公差为0的等差数列，由a p ＋a q ＝2a m ，不一定能推出p ＋q ＝2m ，所以“p ＋q ＝2m ”是“a p ＋a q ＝2a m ”的充分不必要条件．故选A.6.已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A.[－1，2) B.[－1，3] C.[2，＋∞) D.[－1，＋∞)解：由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，得－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A.①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2；②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m <2.综上，得m ≥－1.故选D. 7.已知函数f (x )＝x ＋4x，g (x )＝2x ＋a ，若x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∃x 2∈[2，3]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围为 ( )A.{a |a ≤1}B.{a |a ≥1}C.{a |a ≤2}D.{a |a ≥2}解：由题意知f (x )min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g (x )min (x ∈[2，3])．对于函数f (x )＝x ＋4x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，1，f ′(x )＝1－4x 2＝x 2－4x 2＜0，因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝5，对于函数g (x )＝2x ＋a ，在x ∈[2，3]上单调递增，所以g (x )min ＝g (2)＝4＋a ，所以5≥4＋a ，即a ≤1.故选A.8.(2018·东北三校联考)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}，B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a ＞0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎫0，34B.⎣⎡⎭⎫34，43C.⎣⎡⎭⎫34，＋∞D.(1，＋∞)解：A ＝{x |x 2＋2x －3＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1中f (x )＝0的两根之积为－1，而f (－1)＝2a >0，f (0)＝－1<0，故其负根在(－1，0)之间，不合题意，故仅考虑其正根x 2，必满足2≤x 2<3，即要使A ∩B 中恰含有一个整数，则这个整数为2，所以有f (2)≤0且f (3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，解得34≤a ＜43.故选B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z|z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是 ( )A.0∉MB.2∈MC.－4∈MD.4∈M解：根据题意，分4种情况讨论：①x ，y ，z 全部为负数时，则xyz 也为负数，则x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz ＝－4. ②x ，y ，z 中有一个为负数时，则xyz 为负数，则x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz ＝0. ③x ，y ，z 中有两个为负数时，则xyz 为正数，则x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz ＝0. ④x ，y ，z 全部为正数时，则xyz 也为正数，则x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz ＝4. 则M ＝{－4，0，4}．分析选项可得CD 符合．故选CD.10.下列四个命题中为真命题的是 ( )A.x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫13xB.x ∈(0，1)，log 12x >log 13xC.x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x>log 12x D.x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x<log 13x解：因为当a >0时，y ＝x a 在(0，＋∞)上是增函数，所以当x >0时，⎝⎛⎭⎫12x >⎝⎛⎭⎫13x恒成立，A 是假命题；因为当0<x <12时，log 12x >1，22<⎝⎛⎭⎫12x<1，所以C是假命题．同理可知BD 正确．故选BD.11．下列语句中，p 不是q 的充分必要条件的是 ( )A.已知a >0且a ≠1，b >0，p ：(a －1)(b －1)>0，q ：log a b >0B.设a ，b 是向量，p ：|a |＝|b |，q ：|a ＋b |＝|a－b | C.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，p ：x 1＋x 2＝0，q ：f (x 1)＋f (x 2)＝0D.已知α，β均为第一象限角，p ：α>β，q ：sinα>sin β 解：A.a >0，b >0且a ≠1，若log a b >0，则a >1，b >1或0<a <1，0<b <1，所以(a －1)(b －1)>0；若(a－1)(b －1)>0，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＞0，b －1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1＜0，b －1＜0，则a >1，b >1或0<a <1，0<b <1，所以log a b >0，所以“log a b >0”是“(a －1)(b －1)>0”的充分必要条件；B.p 是q 的既不充分也不必要条件；C.p 是q 的充分不必要条件；D.p 是q 的既不充分也不必要条件．故选BCD.12．给定数集M ，若对于任意a ，b ∈M ，有a ＋b ∈M ，且a －b ∈M ，则称集合M 为闭集合．则下列说法中不正确的是 ( )A.正整数集是闭集合B.集合M ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合C.若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合D.若集合A 1，A 2为闭集合，且A 1⊆R ，A 2⊆R ，则一定存在c ∈R ，使得c ∉(A 1∪A 2)解：对于A ，因为1∈N ＋，2∈N ＋，但1－2＝－1∉N ＋，所以正整数集不是闭集合，故A 不正确；对于B ，因为任意两个3的倍数，它们的和、差仍是3的倍数，故集合{n |n ＝3k ，k ∈Z }是闭集合，故B 正确；对于C ，假设A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝5k ，k ∈Z }，3∈A 1，5∈A 2，但是3＋5∉(A 1∪A 2)，所以A 1∪A 2不是闭集合，故C 不正确；对于D ，设集合A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝R ，都为闭集合，找不出c ∉(A 1∪A 2)，故D 不正确．故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2020届山东实验中学一诊)由“我和我的祖国”中的各汉字组成集合A ，则A 的真子集的个数为________．解：A 含5个元素，故A 的真子集有25－1＝31个．故填31.14．若命题“x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．解：命题“x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤3.故填[－3，3]．15．f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝log 2x ＋m ，对x 1∈[1，4]，x 2∈[1，4]，有f (x 1)>g (x 2)恒成立，则实数m 的取值范围是________．解：f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，当x ∈[1，4]时，f (x )min ＝f (1)＝2，g (x )max ＝g (4)＝2＋m ，则f (x )min >g (x )max ，即2>2＋m ，解得m <0，故实数m 的取值范围是(－∞，0)．故填(－∞，0)．16．设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c >a >0，c >b >0.记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________．解：由题设知f (x )＝0，a ＝b ，则2a x ＝c x，即⎝⎛⎭⎫a c x ＝12.又a ＋b ≤c ，a ＝b ，所以a c ≤12，从而⎝⎛⎭⎫a c x ≤⎝⎛⎭⎫12x ，x >0，所以12≤⎝⎛⎭⎫12x，解得0<x ≤1.故所求取值集合为{x |0<x ≤1}．故填{x |0<x ≤1}．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}．(1)当a ＝3时，求A ∩B ，A ∪(∁R B )； (2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝3时，A ＝{x |－1≤x ≤5}， B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}＝{x |x ≤1或x ≥4}， ∁R B ＝{x |1<x <4}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1或4≤x ≤5}， A ∪(∁R B )＝{x |－1≤x ≤5}．(2)①当A ＝∅时，显然A ∩B ＝∅，2－a ＞2＋a ，解得a ＜0；②当A ≠∅时，若A ∩B ＝∅，则有⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≤2＋a ，2－a ＞1，2＋a ＜4，解得0≤a ＜1. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，1)．18．(12分)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B＝{x |x ＋m 2≥1}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，因为x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，所以716≤y ≤2. 所以A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2.由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，所以B ＝{x |x ≥1－m 2}．因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞.19．(12分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1，3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[1，3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3.(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2，或x ＞m ＋2}，因为A ⊆∁R B ，所以m －2＞3或m ＋2＜－1，解得m ＞5或m ＜－3.所以实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．20．(12分)已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：在定义域D 内存在x 0，使得f (x 0＋1)＝f (x 0)＋f (1)成立．(1)函数f (x )＝1x是否属于集合M ？说明理由；(2)若函数f (x )＝kx ＋b 属于集合M ，求实数k 和b 的取值范围．解：(1)假设f (x )＝1x属于集合M.若f (x )＝1x，根据题意得D ＝(－∞，0)∪(0，＋∞)，则存在非零实数x 0，使得1x 0＋1＝1x 0＋1，即x 20＋x 0＋1＝0，因为Δ<0，此方程无实数解，所以函数f (x )＝1x ∉M.(2)D ＝R ，存在实数x 0，使得k (x 0＋1)＋b ＝kx 0＋b ＋k ＋b ，解得b ＝0，所以实数k 和b 的取值范围是k ∈R ，b ＝0. 21．(12分)已知命题：“x ∈{x |－1<x <1}，使等式x 2－x －m ＝0成立”是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x －a )(x ＋a －2)<0的解集为N ，若“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在(－1，1)上有解，即m 的取值范围就为函数y ＝x 2－x 在(－1，1)上的值域，易知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－14≤m <2.(2)因为“x ∈N ”是“x ∈M ”的必要条件，所以M ⊆N.当a ＝1时，N 为空集，不满足题意；当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＜－14，a ≥2，解得a >94；当a <1时，a <2－a ，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜－14，2－a ≥2，解得a <－14.综上，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a >94或a <－14.22．(12分)(2019·山西联考)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件： ①x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0；②x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )<0，求m 的取值范围．解：当满足条件①时，由g (x )＝2x －2＜0，得x ＜1，要使x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0，必须使x ≥1时，f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)＜0恒成立．当m ＝0时，f (x )＝0不满足条件①，所以f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)为二次函数，抛物线必须开口向下，即m <0.要满足条件①，必须使方程f (x )＝0的两实根2m ，－m －3都小于1，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＜1，－m －3＜1，解得m ∈(－4，0)．当满足条件②时，因为x ∈(－∞，－4)时，g (x )＜0，所以要使x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0，只要x 0∈(－∞，－4)，使f (x 0)＞0即可，只要使－4比2m ，－m －3中较小的一个大即可．当m ∈(－1，0)时，2m ＞－m －3，只要－4＞－m －3即可．解得m ＞1，与m ∈(－1，0)的交集为空集，不符合；当m ＝－1时，两根均为－2，－2＞－4，不符合；当m ∈(－4，－1)时，2m ＜－m －3，所以只要－4＞2m 即可，所以m ∈(－4，－2)，综上知，m 的取值范围为{m |－4＜m ＜－2}．。

2021届广东数学高考复习专题汇编：概率统计(2021 2021年试题,含解析)

2021届广东数学高考复习专题汇编：概率统计（2021 2021年试题，含解析）2021届广东数学高考复习专题汇编：概率统计（2021-2021年试题，含解析）一概率统计2021202120212021网][来源:数理化202120212021202118分18分12分23分17分18分18分22分(2021年高考广东卷第9小题)在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5五个小球，这些小球除标注数字外完全相同、现从中随机取出2个小球，则取出小球标注数字之和为3或6概率是（a）ａ、310ｂ、15ｃ、110ｄ、112(2021年高考广东卷第18小题)下表提供了工厂节能降耗技术改造后，a产品生产中记录的产量x（吨）和相应的生产能耗y（吨标煤）之间的几组对比数据xy32.545464.53（1）请画出上表数据散点图；?? A.（2）根据上表提供的数据，请使用最小二乘法求出回归方程y？BX（3）据了解，该厂技改前100吨产品a的生产能耗为90吨标准煤。

试着根据（2）计算线性回归方程，预测100吨产品a的生产能耗比技改前低多少吨标准煤？（参考值：3？2.5？4？3？5？4？6？4.5？66.5）18种解决方案：（1）散点图草图（2）?xy?66.5iii?14? 席？142i？32? 42? 52? 62? 86x？四点五y?3.5??? 66.5? 4.4.5? 3.5? 66.5? 63? 0.7b86？4.4.5286? 81；??3.5?0.7?4.5?0.35??y?bxa所求回归方程为y?0.7x?0.35(3)当x?100时y?0.7?100?0.35?70.35预测生产100吨甲产品生产能耗比技改前降低90? 70.35? 19.65（吨）2（广东高考第11卷第2022卷）为了调查某厂工人生产某种产品能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品数量。

产品数数量分组区间为[45,55]，[55,65]，[65,75]，[75,85]，[85,95]，从中可以得到频率分布直方图。

【核按钮】(新课标)高考数学一轮复习(课时精讲+课时检测+单元检测)第十一章计数原理、概率、随

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布1.计数原理(1)理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.(2)理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.(3)理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.(4)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.2.概率(1)事件与概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.②了解两个互斥事件的概率加法公式. (2)古典概型①理解古典概型及其概率计算公式.②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.(3)随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.②了解几何概型的意义. 3.概率与统计(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.(2)了解超几何分布，并能进行简单应用. (3)了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解n 次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题.(4)理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.(5)借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.§11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.分类加法计数原理完成一件事，有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝________________种不同的方法.2.分步乘法计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N ＝____________种不同的方法.3.两个计数原理的区别分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关做一件事的不同方法的种数问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法______________，用其中______________都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法______________，只有______________才算做完这件事.4.两个计数原理解决计数问题时的方法最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步.(1)分类要做到“______________”.分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.(2)分步要做到“______________”，即完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要______________，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.自查自纠：1.m1＋m2＋…＋m n2.m1×m2×…×m n3.相互独立任何一种方法互相依存各个步骤都完成4.(1)不重不漏(2)步骤完整相互独立将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有( )A.53种B.35种C.3种D.15种解：第1封信，可以投入第1个邮筒，可以投入第2个邮筒，也可以投入第3个邮筒，共有3种投法；同理，后面的4封信也都各有3种投法.所以，5封信投入3个邮筒，不同的投法共有35种.故选B.某人去有四个门的商场购物，若进出商场不同门，则不同的进出方案有( )A.256种B.81种C.16种D.12种解：进商场的方案有4种，则出商场的方案有3种，由分步计数原理知，共有进出商场的方案4×3＝12种.故选D.点Q(x，y)中x∈{1，2}，y∈{2，3，4}，则不在直线y＝x上的点Q(x，y)的个数是( )A.1B.4C.5D.6解：这样的点共有2×3＝6个，在直线y＝x上的只有(2，2)，因此不在直线y＝x上的点的个数是6－1＝5.故选C.某校高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班.现选两个班的学生参加社会实践活动，若要求这两个班来自不同年级，则有不同的选法____________种.解：先分类再分步，共有不同的选法：6×7＋7×8＋6×8＝146种.故填146.设集合I＝{1，2，3，4}，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有________种.解：当A中的最大数为1时，A有1种情形，此时B有23－1＝7种情形；当A中的最大数为2时，A有21＝2种情形，此时B有22－1＝3种情形；当A中的最大数为3时，A有22＝4种情形，此时B有21－1＝1种情形.∴由分步及分类计数原理知，共有1×7＋2×3＋4×1＝17种选择方法，故填17.类型一分类与分步的区别与联系甲同学有若干本课外参考书，其中有5本不同的数学书，4本不同的物理书，3本不同的化学书.现在乙同学向甲同学借书，试问：(1)若借一本书，则有多少种不同的借法？(2)若每科各借一本，则有多少种不同的借法？(3)若借两本不同学科的书，则有多少种不同的借法？解：(1)因为需完成的事情是“借一本书”，所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本，都可以完成这件事情.故用分类计数原理，共有5＋4＋3＝12(种)不同的借法.(2)需完成的事情是“每科各借一本书”，意味着要借给乙三本书，只有从数学、物理、化学三科中各借一本，才能完成这件事情.故用分步计数原理，共有5×4×3＝60(种)不同的借法.(3)需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”，要分三种情况：①借一本数学书和一本物理书，只有两本书都借，事情才能完成，由分步计数原理知，有5×4＝20(种)借法；②借一本数学书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有5×3＝15(种)借法；③借一本物理书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有4×3＝12(种)借法.而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情，由分类计数原理知，共有20＋15＋12＝47(种)不同的借法.点拨：仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成n个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B 型血的共有9人，AB型血的共有3人.(1)从中任选1人去献血，有多少种不同选法？(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法？解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情即可完成，所以由分类加法计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法.(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才算完成，所以用分步乘法计数原理，共有28×7×9×3＝5292种不同的选法.类型二两个原理的综合应用(1)现有来自高(一)四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别为7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.现推选两人作中心发言，这两人须来自不同的班级，有多少种不同的选法？解：分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法.所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种).点拨：对于复杂问题，不能只用分类加法计数原理或只用分步乘法计数原理解决时，可以综合运用两个原理.可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某一步中再分类.本题可先根据两个班级的不同分类，再分步从两个班级中各选1人.(2)有一个圆被两相交弦分成四块，现用5种不同的颜料给这四块涂色，要求相邻的两块颜色不同，每块只涂一种颜色，共有多少种涂色方法？解：如图，分别用A，B，C，D记这四个部分，A与C，B与D不相邻，因此，它们可以同色，也可以不同色.首先分两类，即A，C涂相同颜色和A，C 涂不同颜色：类型一，分三步：第一步，给A，C涂相同的颜色，有5种涂法；第二步，给B涂色有4种涂法；第三步，给D涂色，由于D与B可以涂相同的颜色，所以有4种涂法.由分步计数原理知，共有5×4×4＝80种不同的涂法.类型二，分四步：第一步，给A涂色，有5种涂法；第二步，给C涂色，有4种涂法；第三步，给B涂色有3种涂法；第四步，给D涂色有3种涂法.由分步计数原理知，共有5×4×3×3＝180种不同的涂法.综上，由分类计数原理可知，共有80＋180＝260种不同的涂法.点拨：本题也可以在分四步的基础上再分类来完成：A 有5种涂法，B有4种涂法，若C与A相同，则D 有4种涂法，若C与A不同，则C有3种涂法，且D有3种涂法，故有5×4×(4＋3×3)＝260种涂法.涂色问题多以平面、空间为背景，涂色对象以平面区域居多，也有以点或线为对象的涂色问题.此类问题往往需要多次分类、分步(也有用穷举法解决的题目)，常用分类依据有：①所涂颜色种类(如本题，可依用4种、3种、2种色来分类)；②可涂同色的区域(或点、线等)是否涂同色.(1)用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数.解：完成这件事有3类方法：第一类：用0作个位的比2000大的四位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2，3，4，5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法.依据分步乘法计数原理，这类数的个数有4×4×3＝48个.第二类：用2作个位的比2000大的四位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2，1，0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法.依据分步计数原理，这类数的个数有3×4×3＝36个.第三类：用4作个位的比2000大的四位偶数，其步骤同第二类，这类数的个数也有36个.综合以上所述，由分类计数原理，可得所求无重复数字的比2000大的四位偶数有48＋36＋36＝120个.(2)(2013·广东佛山二模)假设佛山五区行政区划图如图，测绘局想要给地图着色，相邻区域颜色不同，每块区域只涂一色.现有4种颜色可供选择，那么共有不同的着色方案为__________种(用数字作答).题图答图解法一：为了方便，以数字代表各区域，如图.区域1，2，3，4，5分别有4，3，2，3，2种着色方案，故共有4×3×2×3×2＝144种方案.解法二：可以看到区域3与其余四块均相邻，其中区域123及区域345均是两两相邻，因此分成两类：第一类，用3种颜色，有C34×3×2×1×2×1＝48(种)情形；第二类，用4种颜色，有4×3×2×1×2＋4×3×2×2×1＝96(种)情形.故共有144种方案.故填144.1.运用分类加法计数原理时，首先要根据问题的特点，确定分类标准.分类应满足：完成一类事情的任何一种方法，必须属于某一类且仅属于某一类，即类与类之间具有确定性与并列性.2.运用分步乘法计数原理时，要确定分步的标准.分步必须满足：完成一件事情必须且只须完成这几步，即各个步骤是相互依存的，且“步”与“步”之间具有连续性.3.在处理具体的应用问题时，必须先分清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”与“分步”的具体标准是什么，选择合理、简洁的标准处理事件，可以避免计数的重复或遗漏.4.对于既要运用分类加法计数原理，又要运用分步乘法计数原理的复杂问题，可以恰当地画出示意图或树形图来进行分析，使问题的分析过程更直观、更明晰，便于探索规律.5.解答计数应用问题的总体思路：根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了，此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：(1)枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况；(2)转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；(3)间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得.1.有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3条长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A.7B.64C.12D.81解：由分步乘法计数原理知可配3×4＝12套.故选C.2.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A.56B.65C.5×6×5×4×3×22D.6×5×4×3×2解：因为每位同学均有5种讲座可供选择，所以6位同学共有5×5×5×5×5×5＝56种选法.故选A.3.(2013·北京海淀区期末考试)由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是( )A.72B.60C.48D.12解：分两类：当首位为偶数时，有2×3×2×2×1×1＝24种情形；当首位为奇数时，有3×3×2×2×1×1＝36种情形，因此共有24＋36＝60个满足要求的六位数.故选B.4.(2013·广东适应性测试)如图所示的几何体是由一个正三棱锥P ABC 与一个正三棱柱ABC A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不染色)，要求每面染一色，且相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有( )A.6种B.12种C.18种D.24种解：先涂三棱锥P ABC 的三个侧面，然后涂三棱柱ABC A 1B 1C 1的三个侧面，当棱锥颜色确定后，棱柱对应有2种情形，即共有3×2×1×2＝12种不同的染色方案.故选B.5.(2013·福建)满足a ，b ∈{－1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为( )A.14B.13C.12D.10解：①当a ＝0时，方程总有解，此时b 可以取4个值，故有4种有序数对；②当a ≠0时，需要Δ＝4－4ab ≥0，即ab ≤1，显然有3种有序数对不满足题意，分别为(1，2)，(2，1)，(2，2)，此时应有3×4－3＝9种有序数对.故共有9＋4＝13种有序数对.故选B.6.(2013·济南模拟)电路如图所示，在A ，B 间有四个开关，若发现A ，B 之间电路不通，则这四个开关打开或闭合的方式有()A.3种B.8种C.13种D.16种解：各个开关打开或闭合有2种情形，故四个开关共有24种可能，其中能使电路通的情形有：1，4都闭合且2和3中至少有一个闭合，共有3种可能，故开关打开或闭合的不同情形共有24－3＝13(种).故选C.7.架子上有不同的2个红球，不同的3个白球，不同的4个黑球.若从中取2个不同色的球，则取法种数为________.解：先分类、再分步，共有取法2×3＋2×4＋3×4＝26种.故填26.8.已知集合A ＝{a ，b ，c ，d }，集合B ＝{1，2，3，4，5}，集合C ＝ {e ，f ，g ，h }.从集合B 到集合A 可以建立____________个不同的映射；在集合C 到集合B 的映射中，若要求集合C 中的不同元素的象也不同，这样的映射有_________个.解：集合B 中每个元素，都可以与A 中的4个元素建立对应关系，故从集合B 到A 可建立45＝1024个不同的映射；在集合C 到集合B 的映射中，C 中不同元素对应不同的象，由分步乘法计数原理，共有5×4×3×2＝120个这样的映射.故填1024；120.9.已知集合M ＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P (a ，b )表示平面上的点(a ，b ∈M )，问：(1)P 可表示平面上多少个不同的点？ (2)P 可表示平面上多少个第二象限的点？ (3)P 可表示多少个不在直线y ＝x 上的点？解：(1)确定平面上的点P (a ，b )可分两步完成：第一步确定a 的值，共有6种确定方法；第二步确定b 的值，也有6种确定方法.根据分步计数原理，得到所求点的个数是6×6＝36个.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a ，由于a ＜0，所以有3种确定方法；第二步确定b ，由于b ＞0，所以有2种确定方法.由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6个.(3)点P (a ，b )在直线y ＝x 上的充要条件是a ＝b.因此a 和b 必须在集合M 中取同一元素，共有6种取法，即在直线y ＝x 上的点有6个.结合(1)可得不在直线y ＝x 上的点共有36－6＝30个.10.从{－3，－2，－1，0，1，2，3}中任取3个不同的数作为抛物线方程y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的系数.设抛物线过原点，且顶点在第一象限.这样的抛物线共有多少条？解：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过原点，且顶点 (－b 2a ，4ac －b 24a)在第一象限，a ，b ，c 应满足 ⎩⎪⎨⎪⎧0＝a ×02＋b ×0＋c ，－b 2a ＞0，4ac －b 24a ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，a ＜0，b ＞0.分三步，a 可以取－3，－2，－1；b 可以取1，2，3；c 取0.所以满足条件的抛物线的条数为N ＝3×3×1＝9.11.给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有多少种？解法一：如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步.当染边1时有3种染法，则染边2有2种染法.(1)当边3与边1同色时有1种染法，则边4有2种染法，边5有1种染法，此时染法总数为3×2×1×2×1＝12(种).(2)当边3与边1不同色时，边3有1种染法，①当边4与边1同色时，边4有1种染法，边5有2种染法；②当边4与边1不同色时，边4有1种染法，边5有1种染法.则此时共有染法3×2×1×(1×2＋1×1)＝18(种).综合(1)、(2)，由分类加法计数原理，可得染法的种数为30种.解法二：通过分析可知，每种色至少要染1次，至多只能染2次，即有一色染1次，剩余两种颜色各染2次.染五条边总体分两步.第一步选一色染1次有C13C15种染法，第二步另两色各染2次有2种染法，由分步乘法计数原理知，一共有2C13C15＝30种染法.(2014·福建)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A.(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B.(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C.(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D.(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)解：分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋b5)种不同的取法；第三步，5个有区别的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋C15c＋C25c2＋C35c3＋C45c4＋C55c5)＝(1＋c)5种不同的取法，所以所求为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，故选A.§11.2 排列与组合1.排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照____________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号______表示.(3)排列数公式：A m n＝______________________.这里n，m∈N*，并且________.(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个____________，叫做n个元素的一个全排列.A n n＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝__________，因此，排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝________，这里规定0！＝________.2.组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示.(3)组合数公式：C m n＝A m n A m m＝＝.这里n∈N*，m∈N，并且m≤n.(4)组合数的两个性质：①C m n＝____________；②C m n＋1＝____________＋____________.自查自纠：1.(1)一定的顺序(2)所有不同排列A m n(3)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) m≤n(4)排列n！n！（n－m）！12.(1)合成一组(2)所有不同组合C m n(3)n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）m！n！m！（n－m）！(4)①C n－m n②C m n C m－1n下列等式不．正确的是( )A.C m n＝C n－m nB.C m n＝A m nn！C.(n＋2)(n＋1)A m n＝A m＋2n＋2D.C r n＝C r－1n－1＋C r n－1解：C m n＝A m nm！.故选B.(2014·全国大纲卷)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A.60种B.70种C.75种D.150种解：共有C26·C15＝75(种)不同的选法.故选C.若从6位志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作中的一种，现已确定这6人中的甲必须选上且专门从事翻译工作，则不同的选派方案有( )A.24种B.60种C.360种D.243种解：由排列的定义可知所求为A35＝60种.故选B.(2014·成都模拟)某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有________种.(用数字作答)解：先确定一个公益广告最后播放，再排另一个公益广告，最后排三个商业广告，不同的播放方式有A12·A13·A33＝36种.故填36.(2013·北京)将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是____________.解：5张参观券分为4堆，其中有两张连号的分法有4种，然后把4堆参观券分给不同的4个人有A44种不同的分法，故共有不同的分法种数为4A44＝96.故填96.类型一排列数与组合数公式(1)解方程3A x8＝4A x－19；(2)解方程C x＋1x＋3＝C x－1x＋1＋C x x＋1＋C x－2x＋2.解：(1)利用3A x8＝38！（8－x）！，4A x－19＝49！（9－x＋1）！，得到3×8！（8－x）！＝4×9！（10－x）！.利用(10－x)！＝(10－x)(9－x)(8－x)！，将上式化简后得到(10－x)(9－x)＝4×3.再化简得到x2－19x＋78＝0.解方程得x 1＝6，x 2＝13.由于A x 8和A x －19有意义，所以x 满足x ≤8和x －1≤9.于是将x 2＝13舍去，原方程的解是x ＝6.(2)由组合数的性质可得 C x －1x ＋1＋C x x ＋1＋C x －2x ＋2＝C 2x ＋1＋C 1x ＋1＋C 4x ＋2＝C 2x ＋2＋C 4x ＋2，又C x ＋1x ＋3＝C 2x ＋3，且C 2x ＋3＝C 2x ＋2＋C 1x ＋2，即C 1x ＋2＋C 2x ＋2＝C 2x ＋2＋C 4x ＋2.∴C 1x ＋2＝C 4x ＋2， ∴5＝x ＋2，x ＝3.经检验知x ＝3符合题意且使得各式有意义，故原方程的解为x ＝3.点拨：(1)应用排列、组合数公式解此类方程时，应注意验证所得结果能使各式有意义.(2)应用组合数性质C m n ＋1＝C m －1n ＋C mn 时，应注意其结构特征：右边下标相同，上标相差1；左边(相对于右边)下标加1，上标取大.使用该公式，像拉手风琴，既可从左拉到右，越拉越长，又可以从右推到左，越推越短.(1)解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x ；(2)计算：C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2100.解：(1)由3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x 得3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)，由x ≠0整理得3x 2－17x ＋10＝0.解得x ＝5或23(舍去).即原方程的解为x ＝5.(2)原式＝(C 33＋C 23)＋C 24＋…＋C 2100＝(C 34＋C 24)＋…＋C 2100＝…＝C 3100＋C 2100 ＝C 3101＝166650.类型二排列的基本问题7位同学站成一排照相.(1)甲站在中间，共有多少种不同的排法？ (2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？ (4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？ (5)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (6)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？解：(1)甲的位置固定，则只需排其他六个人，则有A 66＝720种排法.(2)分两步，先排甲、乙，则有A 22种排法；再排其他5个人，有A 55种排法，由分步乘法计数原理则有A 22·A 55＝240种排法.(3)直接法：分两种情况：①甲站在排尾，则有A 66种排法；②甲不站排尾，先排甲、乙，再排其他，则有A 15·A 15·A 55种排法.综上，则共有A 66＋A 15·A 15·A 55＝3720种排法.间接法：总的排法数减去甲站在排头的和乙站在排尾的情况，但是这就把甲站在排头且乙站在排尾的情况减了两次，故后面要加回来，即A 77－A 66－A 66＋A 55＝3720种排法.(4)采用“捆绑”法，将甲乙看成一个整体进行排列(甲乙之间也有排列)，故有A 22·A 66＝1440种排法.(5)采用“插空”法，先排其他5个人，然后将甲乙插入到由这5个人形成的6个空中，故有A 55·A 26＝3600种排法.(6)甲站在乙的左边的排法总数等于乙站在甲的左边的排法总数，故有12A 77＝2520种排法.点拨：(1)有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑整体内容排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；④对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数.(2)解题的基本思路通常有正向思考和逆向思考两种.正向思考时，通过分步、分类设法将问题分解；逆向思考时，从问题的反面入手，然后“去伪存真”.6个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间间隔两人； (5)甲、乙站在两端； (6)甲不站左端，乙不站右端.解：(1)解法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个有A 14种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A 55种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A 14·A 55＝480(种).解法二：若对甲没有限制条件共有A 66种站法，甲在两端共有2A 55种站法，从总数中减去这两种情况的排列数即得所求的站法数有A 66－2A 55＝480(种).(2)解法一：先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，有A 55种站法，再把甲、乙进行全排列，有A 22种站法，根据分步乘法计数原理，共有A 55·A 22＝240(种)站法.解法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A 44种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙站入，有A 15种方法，最后让甲、乙全排列，有A 22种方法，共有站法A 44A 15A 22＝240(种).(3)因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”.第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有A 44种；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有A 25种，故共有站法为A 44A 25＝480(种).(4)解法一：先将甲、乙以外的4个人作全排列，有A 44种，然后将甲、乙按条件插入站队，有3A 22种，故共有A 44·3A 22＝144种站法.。

概率高三数学第十一章第三节.DOC doc

同步检测训练一、选择题1．从应届高中生中选飞行员，已知这批学生体型合格的概率为13，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15，从中任选一学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( )A.49B.190C.45D.59 答案：B解析：P ＝13×16×15＝190.故选B.2．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A ．49B.29C.23D.13答案：A解析：由独立事件发生的概率P ＝C 14C 16·C 14C 16＝49.故选A.3．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )A ．0.12B ．0.42C ．0.46D ．0.88 答案：D解析：由题意知，甲、乙都不被录取的概率为 (1－0.6)(1－0.7)＝0.12.∴至少有一人被录取的概率为1－0.12＝0.88.故选D.4．若每名学生测试达标的概率都是23(相互独立)，测试后k 个人达标，经计算5人中恰有k 人同时达标的概率是80243，则k 的值为( )A ．3或4B ．4或5C ．3D ．4 答案：A解析：5人中恰有k 人同时达标的概率是 C k 5(23)k (13)5－k ＝80243，将选项代入验证知k ＝3或4.故选A. 5．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A ．(12)5B ．C 25(12)5C ．C 35(12)3D ．C 25C 35(12)5答案：B解析：如右图所示，P = C 25(12)2·(12)3=C 25·(12)5.故选B. 6．一台X 型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是( )A ．0.1536B ．0.1808C ．0.5632D ．0.9728 答案：D解析：“一小时内至多2台机床需要工人照看”的事件，有0,1,2台需要照看三种可能，因此所求概率为P ＝C 04×0.20×0.84＋C 14×0.21×0.83＋C 24×0.22×0.82＝0.9728，或1－(C 34×0.23×0.8＋C 44×0.24)＝0.9728.故选D.7．(2009·河南调考)某班级要从5名男生、3名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有一名女生，那么选派的4人中恰好有2名女生的概率为( )A.27B.49C.511D.613 答案：D 解析：从5名男生、3名女生中选派4人参加某次社区服务，至少有一名女生的选法有C 13C 35＋C 23C 25＋C 33C 15，恰好有2名女生的选法有C 23C 25，则所求概率为613，故选D. 8．有3个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2个在车厢内相遇的概率为( )A.29200B.725C.29144D.718 答案：B解法一：设A 表示“至少有2人在车厢内相遇”的事件，A 1表示“恰有2人在车厢内相遇”的事件，A 2表示“3人在同一车厢内相遇”的事件，那么A ＝A 1＋A 2，且A 1、A 2彼此互斥．又P (A 1)＝A 210×C 23103，P (A 2)＝A 110103， ∴P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝A 210×C 23＋A 110103＝725. 解法二：事件A 的对立事件A 为“3人分别在3节车厢”．则P (A )＝A 310103，∴P (A )＝1－P (A )＝1－A 310103＝1－1825＝725.二、填空题9．(2007·湖北)某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率为__________．(用数值作答)答案：15128解析：由独立重复试验概率公式可得C 310(12)3(1－12)10－3＝15128.故填15128.10．(2008·温州十校)甲、乙两颗卫星同时监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8、0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．答案：0.95解析：甲、乙两颗卫星预报都不准确的概率为(1－0.8)×(1－0.75)＝0.05，所以至少有一颗预报准确的概率为1－0.05＝0.95.11．在等差数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝－4，现从{a n }的前10项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取3次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为__________(用数字作答)．答案：625解析：由a 4＝2，a 7＝－4可得等差数列{a n }的通项公式为a n ＝10－2n (n ＝1,2，…，10)；由题意，三次取数相当于三次独立重复试验，在每次试验中取得正数的概率为25，取得负数的概率为12，在三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为C 23(25)2(12)1＝625.三、解答题 12．(2008·湖南)甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求：(1)至少有1人面试合格的概率； (2)没有人签约的概率．解：用A 、B 、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A 、B 、C 相互独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12.(1)至少有1人面试合格的概率是1－P (A ·B ·C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－(12)3＝78.(2)没有人签约的概率为P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＋P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝(12)3＋(12)3＋(12)3＝38. 13．已知甲盒内有大小相同的3个红球和4个黑球，乙盒内有大小相同的5个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．(Ⅰ)求取出的4个球均为红球的概率；(Ⅱ)求取出的4个球中恰有1个红球的概率．解：本小题主要考查互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．(Ⅰ)设“从甲盒内取出的2个球均为红球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为红球”为事件B .由于事件A ，B 相互独立，且P (A )＝C 23C 27＝17，P (B )＝C 25C 29＝518.故取出的4个球均为红球的概率是P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝17×518＝5126.(Ⅱ)设“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件D .由于事件C ，D 互斥，且P (C )＝C 13C 14C 27·C 24C 29＝221，P (D )＝C 24C 27·C 15C 14C 29＝1063.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝221＋1063＝1663.14．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为34和45，且各次射击相互独立．(Ⅰ)若甲、乙各射击一次，求甲命中但乙未命中目标的概率； (Ⅱ)若甲、乙各射击两次，求两人命中目标的次数相等的概率．解：(Ⅰ)设A 表示甲命中目标，B 表示乙命中目标，则A 、B 相互独立，且P (A )＝34，P (B )＝45.从而甲命中但乙未命中目标的概率为 P (A B )＝P (A )P (B )＝34×(1－45)＝320.(Ⅱ)设A k 表示甲在两次射击中恰好命中k 次，B l 表示乙在两次射击中恰好命中l 次．依题意有P (A k )＝C k 2(34)k (14)2－k，k ＝0,1,2. P (B l )＝C l 2(45)l (15)2－l ，l ＝0,1,2.由独立性知两人命中次数相等的概率为 P (A 0B 0)＋P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 0)P (B 0)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2) ＝(14)2·(15)2＋C 12·34·14·C 12·45·15＋C 22·(34)2·C 22·(45)2 ＝116×125＋34×425＋916×1625＝193400＝0.4825. 15．甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.6、0.3、0.1，乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.4、0.4、0.2.设甲、乙的射击相互独立．(1)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；(2)求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率．解：记A 1，A 2分别表示甲击中9环，10环， B 1，B 2分别表示乙击中8环，9环，A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，C1，C2分别表示三轮中恰有两轮、三轮甲击中环数多于乙击中的环数．(1)A＝A1·B1＋A2·B1＋A2·B2，P(A)＝P(A1·B1＋A2·B1＋A2·B2)＝P(A1·B1)＋P(A2·B1)＋P(A2·B2)＝P(A1)·P(B1)＋P(A2)·P(B1)＋P(A2)·P(B2)＝0.3×0.4＋0.1×0.4＋0.1×0.4＝0.2.(2)B＝C1＋C2，P(C1)＝C23[P(A)]2[1－P(A)]＝3×0.22×(1－0.2)＝0.096，P(C2)＝[P(A)]3＝0.23＝0.008，P(B)＝P(C1＋C2)＝P(C1)＋P(C2)＝0.096＋0.008＝0.104.。

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第十一章统计11.4统计案例习题理

核按钮（新课标）高考数学一轮复习第十一章统计11.4统计案例习题理1．回归分析(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)线性回归模型用y ＝bx ＋a ＋e 表示，其中a 和b 为模型的未知参数，e 称为____________．它的均值满足E (e )＝__________，D (e )＝σ2，σ2越小，精度越________．(3)在具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中，回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=---=∑∑==.ˆˆ)())((ˆ121x b y ax x y y x x b ni i ni i i 其中x ＝1n∑=ni i x 1，y ＝1n∑=ni iy1，称为样本点的中心.（4）残差：i eˆ= 称为相应于点（i x ,i y ）的残差，残差平方和为 . （5）相关指数R 2= . R 2越大，说明残差平方和，即模型的拟合效果；R2越小，残差平方和，即模型的拟合效果 .在线性回归模型中，R 2表示解释变量对于预报变量变化的，R 2越接近于1，表示回归的效果 .2. 独立性检验（1）变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为___________.（2）像下表所示列出两个分类变量的频数表，称为___________.假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2 }，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为y 1 y 2 总计x 1 a b a+b x 2c d c+d 总计a+c b+d a+b+c+d构造一个随机变量K 2=___________，其中n =a+b+c+d 为样本容量.如果K 2的观测值k ≥k 0，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”.我们称这样的k 0为一个判断规则的临界值.按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过P （K 2≥k 0）.上面这种利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为___________.自查自纠1. (2) 随机误差 0 高 (3)（x ，y ）(4)i i yy ˆ- ∑=-ni i iyy12)ˆ((5)1－∑∑==--n i ini i iy yyy1212)()ˆ( 越小越好越大越差贡献率越好2．(1)分类变量(2)列联表n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）独立性检验r 是相关系数，则下列叙述中正确的个数为( ) ①r ∈[－1，－0.75]时，两变量负相关很强； ②r ∈[0.75，1]时，两变量正相关很强；③r ∈(－0.75，－0.3]或[0.3，0.75)时，两变量相关性一般； ④r ＝0.1时，两变量相关性很弱． A ．1B ．2C ．3D ．4解：|r|越大，两变量相关性越强．故选D .在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置差异的是( ) A ．总偏差平方和 B ．残差平方和 C ．回归平方和D ．相关指数R 2解：残差平方和描述了数据点和它在回归直线上相应位置的差异，故选B .利用独立性检验来考察两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 与Y 有关系”的可信程度．P (K 2≥k 0) 0.500.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828如果K 2≥5.024，那么有把握认为“X 与Y 有关系”的百分数为( ) A ．25% B ．75% C ．2.5% D ．97.5%解：∵K 2≥5.024，而在观测值表中对应于5.024的是0.025，∴有1－0.025＝97.5%的把握认为“X 和Y 有关系”．故选D .在回归分析中，相关指数R 2的值越大，说明残差平方和________．解：R 2越大，残差平方和越小，故填越小．下面是一个2×2列联表y 1 y 2总计 x 1 a21 73 x 21225 37 总计b46则表中a ，b 处的值分别为________．解：∵a ＋21＝73，∴a ＝52.又∵a ＋12＝b ，∴b ＝64.故填52，64.类型一回归分析的相关概念(1)两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是( )A．模型1的相关指数R2为0.98B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0.50D．模型4的相关指数R2为0.25解：相关指数越大，模型拟合效果越好．故选A.(2)下列四个命题：①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型拟合的效果越好；③散点图中所有点都在回归直线附近；④随机误差e满足E(e)＝0，其方差D(e)的大小可用来衡量预报精确度．其中正确命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4解：②中R2越大，拟合效果越好；③中回归直线同样可以远远偏离变异点；①④正确．注意④，e是随机变量，其方差衡量预报精度．故选B.【点拨】回归模型的诊断主要是看残差图上、下是否大致均匀分布．另外相关指数R2也决定着模型拟合的优劣，R2越大，模型拟合效果越好．而随机误差e满足E(e)＝0，D(e)＝σ2，σ2越小，线性回归模型预报真实值的精度越高．(1)如图的5个数据，去掉D(3，10)后，下列说法错误．．的是( )A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强解：观察可知，去掉D(3，10)后，拟合效果更好．因此相关系数变大，残差平方和变小，相关指数变大，解释变量与预报变量的相关性变强．故选B.(2)给出下列结论：①回归分析中，可用相关指数R 2判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好； ②回归分析中，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越大，模型的拟合效果越好； ③回归分析中，可用相关系数r 的值判断模型的拟合效果，r 越大，模型的拟合效果越好；④回归分析中，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．以上结论中，正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：②的判断正好相反；③应改为|r |越大，模型拟合效果越好，①④正确．故选B .类型二回归分析(1)已知某商品的价格x (元)与需求量y (件)之间的关系有如下一组数据：x 14 16 18 20 22 y1210753(Ⅰ)画出y 关于x 的散点图；(Ⅱ)用最小二乘法求出回归直线方程；(Ⅲ)计算R 2的值，并说明回归模型拟合程度的好坏．解：(Ⅰ)散点图如图所示．(Ⅱ) 18=x ，4.7=y ，∑==5121660i i x ，∑==51620i i i y x ，所以15.155ˆ512251-=--=∑∑==i i i x x yx y xbi i，1.28ˆˆ=-=x b y a ，yˆ=-1.15x +28.1. （Ⅲ）列出残差表：y i －i yˆ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 y i －y 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4所以3.0）ˆ（512=-∑=i i i y y ，.2.53）（512=-∑=i i y y .994.0）（）ˆ（15125122≈---=∑∑==i i i i i y y y y R所以，回归模型拟合效果很好．【点拨】用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，说明模型拟合的效果越好．另外，计算也不能出错．※(2)下表是某年美国旧轿车价格的调查资料，今以x 表示轿车的使用年数，y 表示相应的年均价格，求y 关于x 的回归方程．使用年数 x1 2 3 4 5 6 7 8 9 10年均价格 y （美元）2651 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 204 解：作出散点图如图所示．可以发现，各点并不是基本处于一条直线附近，因此y 与x 之间应是非线性相关关系．与已学函数图象比较，用a x b y ˆˆe ˆ+=来刻画题中模型更为合理，令zˆ＝ln y ˆ，则z ˆ＝b ˆx ＋a ˆ，题中数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 z 7.883 7.572 7.309 6.991 6.640 6.288 6.182 5.670 5.421 5.318相应的散点图如图所示，从图中可以看出，变换的样本点分布在一条直线附近，因此可以用线性回归方程拟合．由表中数据得bˆ≈－0.298， aˆ＝6.527－(－0.298)×5.5≈8.166，故回归直线方程为zˆ＝－0.298x ＋8.166. 则yˆ＝e z ˆ＝e －0.298x ＋8.166. 【点拨】①对于非线性(可线性化)回归分析，可通过散点图直观找到函数类型，再通过变换z ＝f(y)变为线性回归问题；②常用的函数类型有f(x)＝k e bx ＋a ，f(x)＝k ln x, f(x)＝kx 2, f(x)＝kx 3,f(x)＝k x等．(2015·全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x.根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑∑==--ni ini i u uv u u u121i)()()-(，α^＝v －β^u .解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型． (2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑∑==--81281i)()()-(i ii iw w y y w w ＝6.18.108＝68，c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6.所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x.(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ^＝0.2(100.6＋68x)－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12＝－(x －6.8)2＋6.82＋20.12.所以当x ＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．类型三独立性检验的相关概念(1)独立性检验中的统计假设就是假设相关事件A ，B( ) A ．互斥B ．不互斥C ．相互独立D ．不独立解：独立性检验中的假设是H 0：A ，B 独立，当我们拒绝H 0时，A ，B 就相关了．故选C .(2)下列说法中正确的是( )①独立性检验的基本思想是带有概率性质的反证法；②独立性检验就是选取一个假设H 0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H 0的推断；③独立性检验一定能给出明确的结论．A．①②B．①③C．②③D．①②③解：假设检验的基本思想是：“在一次试验中，小概率事件不可能发生”，若小概率事件发生了，则有理由认为原假设不成立，故①②正确，当小概率事件没有发生，则不能拒绝原假设但也不能够肯定原假设，此时结论不明确，③不正确．故选A.【点拨】如果K2的观测值k很大，则断言H0不成立，即认为“两个分类变量有关系”；如果观测值k很小，则说明在样本数据中没有发现足够证据拒绝H0.(1)想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应检验( )A．H0：男生喜欢参加体育活动B．H0：女生不喜欢参加体育活动C．H0：喜欢参加体育活动与性别有关D．H0：喜欢参加体育活动与性别无关解：独立性检验中的假设是喜欢参加体育活动与性别无关，当我们拒绝喜欢参加体育活动与性别无关时，喜欢参加体育活动与性别就相关了．故选D.(2)在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )A．若K2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误D．以上三种说法均不正确解：独立性检验的结论仅仅是一种数学关系，得出的结论也可能犯错误．有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，也可以说这个结论出错的概率为0.05以下，这是数学中的统计思维与确定性思维差异的反映．故选C.类型四独立性检验(2015·福建模拟)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表优秀非优秀总计甲班10乙班30合计105已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为7.(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，能否有95%的把握认为“成绩与班级有关系”？附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.P (K 2≥k 0)0.05 0.01 k 03.8416.635解：(1)列联表如下：优秀非优秀总计甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合计3075105(2)根据列联表中的数据，得K 2＝105×（10×30－20×45）255×50×30×75≈6.109>3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．【点拨】在利用2×2列联表计算K 2的值之前，应先假设两个分类变量是无关的，最后再利用K 2的值的大小对二者关系进行含概率的判断．(2014·江西)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )成绩性别不及格及格总计男 6 14 20 女 10 22 32 总计16 3652视力性别好差总计男 4 16 20 女 12 20 32 总计163652智商性别偏高正常总计男 8 12 20 女 8 24 32 总计163652表4阅读量性别丰富不丰富总计男 14 6 20 女 2 30 32 总计163652A.成绩 B ．视力 C ．智商 D ．阅读量解：K 21＝52×（6×22－14×10）216×36×32×20＝52×8216×36×32×20， K 22＝52×（4×20－16×12）216×36×32×20＝52×112216×36×32×20， K 23＝52×（8×24－12×8）216×36×32×20＝52×96216×36×32×20，K 24＝52×（14×30－6×2）216×36×32×20＝52×408216×36×32×20，则有K 24>K 22>K 23>K 21，所以阅读量与性别关联的可能性最大．故选D .1．线性回归分析的方法、步骤 (1)画出两个变量的散点图；(2)求相关系数r ，并确定两个变量的相关程度的高低；(3)用最小二乘法求回归直线方程yˆ＝b ˆx ＋a ˆ， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=---=∑∑∑∑====.ˆˆ,)())((ˆ1221121x b y axn xy x n yx x x y y x x b ni ini ii n i i ni i i(4)利用回归直线方程进行预报．注：①对于非线性(可线性化)的回归分析，一般是利用条件及我们熟识的函数模型，将题目中的非线性关系转化为线性关系进行分析，最后还原．②利用相关指数R 2＝1－∑∑==--n i ini i iy yyy1212)()ˆ(刻画回归效果时，R 2越大，意味着残差平方和∑=-ni i iyy12)ˆ(越小，模型的拟合效果越好． 2．独立性检验的一般步骤(1)假设两个分类变量x 与y 没有关系； (2)计算出K 2的观测值，其中K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）；(3)把K 2的值与临界值比较，作出合理的判断． 3．独立性检验的注意事项(1)在列联表中注意事件的对应及相关值的确定，不可混淆．(2)在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系表述，得到的结论有一定的概率出错．(3)对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误，应是对假设结论进行的含概率的判断，而非其他．1．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高y(单位：cm)与年龄x(单位：岁)的回归方程为y ˆ＝7.19x ＋73.93.用这个方程预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )A ．身高一定是145.83 cmB ．身高在145.83 cm 以上C ．身高在145.83 cm 以下D ．身高在145.83 cm 左右解：回归模型的预报值是一种估计值，故选D .2．设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的回归系数为bˆ，回归截距是aˆ，那么必有( ) A ．bˆ与r 的符号相同 B ．a ˆ与r 的符号相同 C ．bˆ与r 的符号相反 D ．a ˆ与r 的符号相反解：根据bˆ和r 的定义公式可知A 正确，故选A . 3．设()x 1，y 1，()x 2，y 2，…，()x n ，y n 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是( )A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率B ．x 和y 的相关系数在0到1之间C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同D ．直线l 过点（x ，y ）解：选项具体分析结论A 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同不正确 B相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在－1到0之间时，两个变量为负相关不正确Cl 两侧的样本点的个数分布与n 是奇是偶无关，也不一定是平均分布不正确D 由于aˆ＝y －b ˆx ，即y ＝b ˆx ＋a ˆ，因正确故选D.4．在对两个分类变量A与B进行的独立性检验中，当K2＞3.841时，我们认为A与B( )A．有95%的把握有关B．有99%的把握有关C．没有理由说它们有关D．不确定解：∵K2>3.841，∴有95%的把握认为A，B有关．故选A.5．如果女大学生身高x(cm)与体重y(kg)的关系满足线性回归模型y＝0.85x－88＋e，其中|e|≤4，如果已知某女大学生身高160 cm，则体重预计不会低于( )A．44 kg B．46 kgC．50 kg D．54 kg解：由||e＝||y－0.85x＋88≤4，得0.85x－92≤y≤0.85x－84，当x＝160时，44≤y≤52.故选A.6．(2013·湖北模拟)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，由表中数据，求得线性回归方程为y＝－20x＋a.若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为( )A.12B.13C.14D.15解：易得x＝8.5，y＝80，故a^＝y－b^x＝80－(－20)×8.5＝250，∴y^＝－20x＋250，写成y^＋20x－250＝0，令f(x，y)＝y＋20x－250，由f(0，0)＜0且点(0，0)在回归直线的左下方可知，满足f(x，y)＜0的数据点均在回归直线的左下方，逐一验证可知使f(x，y)＜0的是(8.2，84)和(9，68)两组数据点．故所求概率为P＝26＝13.故选B.7．某校为了研究学生的性别与对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝6.669，则所得到的统计学结论是：有________%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．附：P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828解：因为6.669与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．故填99.8．若一组观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)之间满足y i＝bx i＋a＋e i(i＝1，2，…，n)，若e i恒为0，则R2为________．解：此时回归方程为yˆ＝bx ＋a ，故y ˆi ＝y i ，∴R 2＝1－∑∑==--n i ini i iy yyy1212)()ˆ(=1.故填1.9. 对于数据：x 1 2 3 4y 2 3 4 5两位同学分别给出了拟合直线y ˆ=x +1和y ˆ=0.9x +1.2，试利用“最小二乘法”理论解释两条直线的拟合效果.解：对于拟合直线yˆ=x +1：∑=-412)ˆ(i i iyy=0. 对于拟合直线yˆ=0.9x +1.2： ∑=-412)ˆ(i i iyy=(-0.1)2+02+0.12+0.22=0.06＞0，因而拟合直线yˆ=x +1的拟合效果更好. 事实上，拟合直线yˆ=x ＋1应是针对这组数据的所有拟合直线中最优的． 10．(2015·河北模拟)某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修该课程的(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？(2)用分层抽样的方法从喜欢“应用统计”课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率．(参考公式：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d)解：(1)∵K 2＝55×（20×20－10×5）230×25×25×30≈11.978>7.879，∴有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关．(2)设所抽样本中有m 个男生，则630＝m 20，得m ＝4，∴样本中有4个男生，2个女生．从中任选2人有C 26＝15种情形，其中恰有1个男生和1个女生的有C 14·C 12＝8种情形，所求概率P ＝815.11．(2014·辽宁)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 合计7030100(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”； (2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品．现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），P(K 2≥k)0.100 0.050 0.010 k2.7063.8416.635解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝100×（60×10－20×10）270×30×80×20＝10021≈4.762. 由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”． (2)从5名数学系学生中任取3人有C 35＝10种情形，其中至多有1人喜欢甜品的有C 33＋C 12C 23＝7种，故所求概率P ＝710.(2015·贵州模拟)某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩按优秀和不优秀分类：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人．(1)能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？(2)将上述调查所得的频率视为概率，从该校高二年级学生成绩中，有放回地随机抽取3名学生的成绩，记抽取的3名学生成绩中语文、外语两科至少有一科优秀的个数为X ，求X 的分布列和期望E(X)．P(K 2≥k 0)0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1) 语文优秀语文不优秀总计外语优秀 60 100 160 外语不优秀140 500 640 总计200600800∵K 2＝8002160×640×200×600≈16.667>10.828，∴能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系．(2)由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是38，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，38， P(X ＝k)＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫38k ⎝ ⎛⎭⎪⎫583－k ，k ＝0，1，2，3.X 的分布列为E(X)＝3×38＝98.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列抽样中不是系统抽样的是( )A ．从标有1～15号的15个球中，任选3个作样本，按从小号到大号排序，随机选起点i 0，以后i 0＋5，i 0＋10(超过15则从1再数起)号入样B ．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，检验人员从传送带上每隔5分钟抽一件产品进行检验C ．搞某一市场调查，规定在商场门口随机抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止D ．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相同)座位号为14的观众留下来谈解：选项C 为简单随机抽样，其余选项为系统抽样．故选C .2．有50件产品编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的编号可以是( ) A ．5，10，15，20，25 B ．5，15，20，35，40 C ．5，11，17，23，29 D ．10，20，30，40，50 解：间隔为10.故选D .3．(2015·湖南模拟)某工厂有3个车间，在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行检查，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800B ．1 000C ．1 200D ．1 500解：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即3600×13＝1200(双)．故选C .4．在检验某产品直径尺寸的过程中，将尺寸数据分成若干组，[a ，b )是其中的一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m ，该组在频率分布直方图上的高为h ，则|a －b |＝( )A.m hB.h mC ．mhD ．与h ，m 无关解：根据频率分布直方图的概念可知，|a －b |×h ＝m ，由此可知|a －b |＝m h.故选A .5．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12D ．1解：因为所有点都分布在一条直线上，说明相关性很强，且正相关系数达到最大值，即为1.故选D .6．(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生的近视人数分别为( )A ．100，10B ．200，10C ．100，20D ．200，20解：样本容量为(3500＋4500＋2000)×2%＝200，抽取的高中生人数为2000×2%＝40，由于高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生近视人数为40×50%＝20.综上知，故选D .7．通过随机询问110男女总计爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由K 2＝n （ad －bc 2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）算得K 2＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50≈7.8.附表：P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”解：由K 2≈7.8>6.635，而P (K 2≥6.635)＝0.010，故由独立性检验的意义可知，有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．故选A .8．(2015·兰州模拟)对具有线性相关关系的变量x ，y ，有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，8)，其回归直线方程是y ^＝13x ＋a ^，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋…＋y 8)＝6，则实数a ^的值是( )A.116B.18C.14D.12解：依题意可知样本中心点为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，38，则38＝13×34＋a ^，解得a ^＝18.故选B . 9．(2013·湖北)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423；②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648；③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493；④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确．．．的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④解：当y 与x 正相关时，应满足斜率大于0；当y 与x 负相关时，应满足斜率小于0，故①④一定不正确．故选D .10．在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是( )A ．众数B ．平均数C ．中位数D ．标准差解：样本数据每个都加2后所得数据的波动情况并没有发生改变，所以标准差不变．故选D .11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列说法正确的是( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解：由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为s 21＝15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，s 22＝15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 正确；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．故选C .12．(2013·福建)已知x 与y x 1 2 3 4 5 6y2 13 3 4假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^<a ′解：由题意得n ＝6，x ＝1＋2＋3＋4＋5＋66＝72，y ＝0＋2＋1＋3＋3＋46＝136，b ^＝∑∑==--ni i ni i i x n xyx n y x 1221＝58－45.591－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722＝57，a ^＝y －b ^x ＝136－57×72＝－13.∵直线y ＝b ′x ＋a ′过两点(1，0)和(2，2)，∴b ′＝2－02－1＝2，把点(1，0)代入y ＝2x ＋a ′得a ′＝－2.通过比较可得b ^<b ′，a ^>a ′.故选C .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．解：分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件．在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品总数为4 800×38＝1 800件．故填1800.14．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出的职工号码为____________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：kg)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本方差为____________．解：(1)由分组可知，抽号的间隔为8，又第1组抽出的号码为2，所以所有被抽出的职工号码为2，10，18，26，34.(2)由茎叶图知5名职工体重的平均数x ＝59＋62＋70＋73＋815＝69，则该样本的方差s 2＝15[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.故填2，10，18，26，34；62.15．(2015·江苏模拟)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生人数是____________．解：由频率分布直方图知，随机抽取的200名学生中成绩小于60分的学生人数是(0.002＋0.006＋0.012)×10×200＝40，设这3000名学生中该次数学成绩小于60分的学生人数为x ，则40x ＝2003 000，解得x ＝600.故填600.16．(2015·武汉模拟)利用独立性检验来判断两个分类变量X 和Y 是否有关系，通过查阅下表来确定“X 和Y 有关系”的可信度．为了调查用电脑时间与视力下降是否有关系，现从某地网民中抽取100位居民进行调查．经过计算得K 2≈3.855，那么，在犯错误的概率不超过____________的前提下认为用电脑时间与视力下降有关系.。

2021届新高考数学一轮跟踪测试(11-11)概率与统计

C.710 D.1 54．为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A．6 B．8C．12 D．185．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体，那么样本容量n的最小值为()A．6 B．12C．18 D．246．(x2－2)6(x2－1)的展开式中x4的系数是()A．48 B．－48C．－432 D．4327．某节目制作组选取了6户家庭到4个村庄体验农村生活，要求将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，则不同的分配方案总数是()A ．216B ．420C ．720D ．1 0808．在面积为S (S >0)的平行四边形ABCD 内任取一点M ，则△MCD 的面积小于S3的概率为( )A.13B.35C.23D.34二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．为比较甲、乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分，制成如图所示的茎叶图．则下列结论正确的是( )A ．甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数B ．甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数C ．从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定D ．从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定10．同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次．记事件A ＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B ＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；事件C ＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数}．则( )布直方图如图所示．(1)求这4 000名考生的平均成绩x－(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；(2)记70分以上为合格，70分及以下为不合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关？不合格合格合计男生720女生 1 020合计 4 000附：P(K2≥k0)0.0100.0050.001k0 6.6357.87910.82 8K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d).说明理由．20．(本小题满分12分)某市组织高三全体学生参加计算机操作比赛，成绩为1至10分，随机调阅了A，B两所学校各60名学生的成绩，得到样本数据如下：A校样本数据条形图B校样本数据统计表成绩/分12345678910人数/个000912219630(1)计算两校样本数据的均值和方差，并根据所得数据进行比较；(2)从A校样本数据中成绩分别为7分、8分和9分的学生中按分层抽样方法抽取6人，若从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，求这2人成绩之和大于或等于15分的概率．日用水量[0,0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)[0.6，0.7)频数1324926 5 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6)频数15131016 5(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)单元检测(十一) 概率与统计1．答案：A解析：B 类工人的人数是0.4×50＝20，则抽得C 类工人的概率是5050－23－20＝0.14.2．答案：D解析：设a 1，a 2，a 3，…，a n 的平均数为a ，则2a 1,2a 2,2a 3，…，2a n 的平均数为2a ，σ2＝n (a1－a2＋(a2－a2＋(a3－a2＋…＋(an －. 则2a 1,2a 2,2a 3，…，2a n 的方差为n (2a1－2a2＋(2a2－2a2＋(2a3－2a2＋＝4×n (a1－a2＋(a2－a2＋(a3－a2＋…＋(an －＝4σ2，故选D.3．答案：D解析：由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，在20组随机数中表示三天中至少有两天有强浓雾的随机数有978,479,588,779，共4组随机数，所求概率为204＝51，故选D.4．答案：C解析：志愿者的总人数为1－(0.36＋0.16＋0.0820＝50，所以第三组人数为50×0.36＝18，有疗效的人数为18－6＝12.5．答案：A解析：由题意得总体容量为6＋12＋18＝36，当样本容量为n 时，系统抽样的抽样距为n 36，分层抽样的抽样比是36n ，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×36n ＝6n ，篮球运动员人数为12×36n ＝3n ，足球运动员人数为18×36n ＝2n ，可知n 是6的倍数，36的约数，故n的最小值为6.6．答案：C解析：(x 2－2)6的展开式的通项为T r ＋1＝C 6r ·(x 2)6－r ·(－2)r ＝(－2)r ·C 6r ·x 12－2r .由12－2r ＝2，可得r ＝5；由12－2r ＝4，可得r ＝4.∴(x 2－2)6(x 2－1)的展开式中x 4的系数是－32×C 65－(－2)4×C 64＝－432.故选C.7．答案：D解析：根据排列组合的分配问题，分组后再全排，先求出分组的方法，再求出分配的方法，利用乘法原理，可得结论．将6户家庭分成4组，其中2组各有2户家庭，另外2组各有1户家庭，有22＝45(种)方法，再分配到4个村庄体验农村生活，共有A 44＝24(种)方法，所以不同的分配方案总数为45×24＝1 080.故选D.8．答案：C解析：设△MCD 边CD 上的高为ME ，ME 的反向延长线交AB 于点F ，当△MCD 的面积等于3S 时，21CD ×ME ＝31CD ×EF ，即ME ＝32EF ，此时过点M 作GH ∥AB ，且分别交AD ，BC 于点G ，H ，则满足△MCD的面积小于3S 的点M 在▱CDGH 中，由几何概型的知识得到△MCD 的面积小于3S 的概率P ＝3＝32，故选C.9．答案：BC解析：对于A ，甲得分的中位数为29，乙得分的中位数为30，错误；对于B ，甲得分的平均数为51×(25＋28＋29＋31＋32)＝29，乙得分的平均数为51×(28＋29＋30＋31＋32)＝30，正确；对于C，甲得分的方差为51×[(25－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(32－29)2]＝51×(16＋1＋0＋4＋9)＝6，乙得分的方差为51×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝51×(4＋1＋0＋1＋4)＝2，所以乙比甲更稳定，C正确，D错误．所以正确的结论是BC.10．答案：AC解析：由题意知P(A)＝21，P(B)＝21，P(C)＝21.因为A，B是相互独立事件，C与A，B不是相互独立事件，所以P(ABC)＝81是错误的，P(AB)＝41，故选AC.11．答案：ABC解析：由已知数据得－t＝3，－y＝219，因为y关于t的回归直线过点(3,219)，所以219＝3^b＋273，所以^b＝－18，所以y关于t的回归直线方程为^y＝－18t＋273.2020年的年份代码为7，故2020年该市烧烤店盈利店铺的个数约为y＝－18×7＋273＝147.令－18t＋273≤100，由t∈N*，得t≥10，t∈N*，故从2023年起，该市烧烤店盈利店铺的个数将不超过100.故选ABC.12．答案：CD解析：对于选项A，江先生乘坐公交的时间不大于43分钟才不会迟到，因为P(Z≤43)＜P(Z≤45)，且P(33－12＜Z≤33＋12)≈0.997 3，所以P(Z≤43)＜P(Z≤45)≈0.5＋0.5×0.997 3≈0.998 7，所以“江先生上班迟到”还是有可能发生的，所以选项A不合理；对于选项B，若江先生乘坐地铁上班，则其乘坐地铁的时间不大于48分钟才不会迟到，因为P(44－4＜Z≤44＋4)≈0.954 5，所以P(Z≤48)≈0.5＋0.9545×0.5≈0.977 3，所以“江先生8：02出门，乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.977 3，若江先生乘坐公交上班，则其乘坐公交的时间不大于41分钟才不会迟到，因为P(33－8＜Z≤33＋8)≈0.954 5，所以P(Z≤41)≈0.5＋0.954 5×0.5≈0.977 3，所以“江先生8：02出门，乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.977 3，二者可能性一样，所以选项B不合理；对于选项C，若江先生乘坐公交上班，则其乘坐公交的时间不大于37分钟才不会迟到，因为P(33－4＜Z≤33＋4)≈0.682 7，所以P(Z≤37)≈0.5＋0.5×0.682 7≈0.841 4，所以“江先生8：06出门，乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.841 4，若江先生乘坐地铁上班，则其乘坐地铁的时间不大于44分钟才不会迟到，因为P(Z≤44)＝0.5，所以“江先生8：06出门，乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.5，又0.841 4＞0.5，所以选项C是合理的；对于选项D，江先生乘坐地铁的时间不大于38分钟才不会迟到，因为P(44－6＜Z≤44＋6)≈0.997 3，所以P(Z≤38)≈(1－0.997 3)×0.5≈0.001 4，所以“江先生8：12出门，乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性非常小，所以选项D合理．所以选CD.13．答案：32解析：设AC＝x cm(0<x<12)，则CB＝(12－x) cm，故该矩形的面积S＝x(12－x)＝12x－x2.由12x－x2<32，即(x－8)(x－4)>0，解得0<x<4或8<x<12.在数轴上表示，如下图所示．由几何概型的概率公式，得该矩形面积小于32 cm2的概率为128＝32.14．答案：60解析：解法一2位男生不能连续出场的排法共有N1＝A33×A42＝72(种)，女生甲排在第一个且2位男生不连续出场的排法共有N 2＝A 22×A 32＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N ＝N 1－N 2＝60. 解法二 ①若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，排法有C 21·C 31·A 33＝36(种)．②若第一个出场的是女生(不是女生甲)，则将剩余的2个女生排列好，2个男生插空，排法有C 21·A 22·A 32＝24(种)．故所有的出场顺序的排法种数为36＋24＝60.15．答案：364解析：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36 ①，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1 ②，所以a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝2①＋②＝236＋1.令x ＝0，得a 0＝1，所以a 2＋a 4＋…＋a 12＝236＋1－1＝364. 16．答案：22 1－22解析：不妨设AD ＝1，则只需求解DE 的最小值或AE 的最大值即可．设AP ＝m ，AQ ＝n ，点E 到AP 的距离为d ，则AE ＝d ，则由S △APQ ＝21S △ABC 可得21mn ＝21×21××＝21，解得mn ＝1，又S △APQ ＝21(m ＋n )d ＝21，从而有d ＝m ＋n 1≤mn 1＝21，当且仅当m ＝n 时等号成立，此时AE ＝22，为其最大值，故DE 的最小值为1－22，即AD DE 的最小值是1－22.17．解析：(1)由题意，得：∴－x ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)．∴这4 000名考生的平均成绩－x 为70.5分．(2)2×2列联表如下：k 2＝ 1 800×2 200×1 900×2 1004 000×(720＝18×22×19×21×108＝18×22×19×214 000×54×54≈73.82>10.828.故有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关．18．解析：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36.由m ·n ＝0，得－2x ＋y ＝0，所以满足m ·n ＝0的基本事件有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个．故满足m ·n ＝0的概率为363＝121.(2)因为x ∈[1,6]，y ∈[1,6]，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}．满足m ·n <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}．画出图象如图所示，正方形的面积为S 正方形＝25，阴影部分的面积为S阴影＝25－21×2×4＝21，故满足m ·n <0的概率为2521.19．解析：若按项目一投资，设获利为X 1万元，则X 1的分布列为X 1 30－15 P97 92 所以E (X 1)＝30×9＋(－15)×9＝20.若按项目二投资，设获利为X 2万元，则X 2的分布列为 X 2 50－30 0 P53 31 151 所以E (X 2)＝50×5＋(－30)×3＋0×15＝20.从而D (X 1)＝(30－20)2×97＋(－15－20)2×92＝350， D (X 2)＝(50－20)2×53＋(－30－20)2×31＋(0－20)2×151＝1 400.所以E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)<D (X 2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但投资项目一更稳妥．综上所述，建议该景区选择项目一进行投资．20．解析：(1)从A 校样本数据的条形图可知，成绩为4分、5分、6分、7分、8分、9分的学生分别有6人、15人、21人、12人、3人、3人．A 校样本数据的均值为－x A ＝604×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3＝6(分)，A 校样本数据的方差为s A 2＝601×[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5.从B 校样本数据统计表可知，B 校样本数据的均值为－x B ＝604×9＋5×12＋6×21＋7×9＋8×6＋9×3＝6(分)，B 校样本数据的方差为s B 2＝601×[9×(4－6)2＋12×(5－6)2＋21×(6－6)2＋9×(7－6)2＋6×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.8.因为－x A ＝－x B ，所以两校学生的计算机成绩平均分相同，又s A 2<s B 2，所以A 校学生的计算机成绩比较集中，总体得分情况比B 校好．(2)依题意，从A 校样本数据中成绩为7分的学生中应抽取的人数为12＋3＋36×12＝4，分别设为a ，b ，c ，d ；从成绩为8分的学生中应抽取的人数为12＋3＋36×3＝1，设为e ；从成绩为9分的学生中应抽取的人数为12＋3＋36×3＝1，设为f .所有基本事件有ab ，ac ，ad ，ae ，af ，bc ，bd ，be ，bf ，cd ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共15个，其中满足条件的基本事件有ae ，af ，be ，bf ，ce ，cf ，de ，df ，ef ，共9个，所以从抽取的6人中任选2人参加更高一级的比赛，这2人成绩之和大于或等于15分的概率P ＝159＝53.21．解析：(1)当S 6＝20时，即背诵6首后，其中正确的为4首，错误的为2首．由S i ≥0(i ＝1,2,3)可得，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵正确2首；若第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．故此时的概率为P ＝322×C 42322×312＋32×31×32×C 32322×31＝8116.(2)∵ξ＝|S 5|的取值为10,30,50，又p ＝32，q ＝31，∴P (ξ＝10)＝C 53323×312＋C 52322×313＝8140，P (ξ＝30)＝C 54324×311＋C 51321×314＝2710，P (ξ＝50)＝C 55325×310＋C 50320×315＝8111. ∴ξ的分布列为ξ10 30 50 P 81402710 8111 ∴E (ξ)＝10×81＋30×27＋50×81＝81.22．解析：(1)如图所示．(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为1＝501×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为2＝501×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．。

2021届高考数学核按钮【新高考广东版】11.1随机事件的概率与古典概型

(2)每个基本事件出现的可能性____________．
8.古典概型的概率公式
(5)利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
4.随机抽样 (1)理解随机抽样的必要性和重要性． (2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样方法． 5.用样本估计总体 (1)了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点． (2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差． (3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释． (4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想． (5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．
11.1 随机事件的概率与古典概型
1.随机事件和确定事件
(1)在条件 S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件 S 的____________．
(2)在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件 S 的____________．
必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件 S 的确定事件．
(3)在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件 S 的__________．
____________． 6.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是____________的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成____________的和．
7.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有__________个．
类别
定义
包含关系

【步步高】（广东专用）2021高考数学大一轮温习第十一章统计、统计案例章末检测理(1)

【步步高】（广东专用）2021高考数学大一轮温习第十一章统计、统计案例章末检测理(时刻：120分钟总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分) 1．(2020·莱芜调研)正态散布密度函数φμ，σ(x)＝12π·σ·222xe.其中μ<0的图象可能为( )2．3张不同的电影票全数分给10个人，每人最多一张，那么有不同分法的种数是( )A ．1 260B ．120C ．240D ．7203．(2020·重庆)(x ＋1)4的展开式中x 2的系数为( )A ．4B ．6C ．10D ．204．中央电视台1套持续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必需是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能持续播放，那么不同的播放方式有( )A ．120种B ．48种C ．36种D ．18种5．(1－2x)5(2＋x)的展开式中x 3的项的系数是( )A ．120B ．－120C ．100D ．－1006．(2020·四川)由一、二、3、4、5组成没有重复数字且一、2都不与5相邻的五位数的个数是( )A ．36B ．32C ．28D ．247．(2020·聊城模拟)从甲、乙、丙、丁四名同窗当选出三名同窗，别离参加三个不同科目的竞赛，其中甲同窗必需参赛，不同的参赛方案共有( )A ．24种B ．18种C ．21种D ．9种8．(2020·天津一中月考)假设(1－2x)2 010＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 010x 2 010 (x ∈R)，那么a 12＋a 222＋…＋a 2 01022 010的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－29．从20名男同窗，10名女同窗中任选3名参加体能测试，那么选到的3名同窗中既有男同窗又有女同窗的概率为( )A.929B.1029C.1929D.202910．(2020·福州模拟)袋中有40个小球，其中红色球16个，蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，那么那个样本恰好是按分层抽样方式取得的概率为( )A.C 14C 28C 312C 416C 1040 B.C 24C 18C 312C 416C 1040 C.C 24C 38C 112C 416C 1040D.C 14C 38C 112C 216C 104011．假设ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13，且x 1<x 2；又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，那么x 1＋x 2的值为( )A.53B.73C ．3D.11312．设[x ]表示不超过x 的最大整数(如[2]＝2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤54＝1)，关于给定的n ∈N *，概念C x n ＝n n －1…n －[x ]＋1x x －1…x －[x ]＋1，x ∈[1，＋∞)，那么当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3时，函数C x 8的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤163，28B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫163，56 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，283∪[28,56) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤4，163∪⎝ ⎛⎦⎥⎤283，28二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)13．一射手射击时其命中率为0.4，那么该射手命中的平均次数为2次时，他需射击的次数为________． 14．(2020·辽宁)(1＋x ＋x 2)(x －1x)6的展开式中的常数项为________．15．(2020·江西)将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆效劳，不同的分派方案有________种(用数字作答)．16．设(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n －1x n －1＋a n x n ，a n －1＝2 009，那么a 0＋a 1＋…＋a n－1＋a n ＝________(表示成β α－λ的形式)．三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)(2020·重庆西南师大附中期末)已知(a 2＋1)n的展开式中各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而且(a 2＋1)n 的展开式中系数最大的项等于54，求a 的值．18．(12分)某市有210名学生参加数学竞赛初赛，随机抽阅60名学生答卷，成绩如下：(1)(2)假设整体服从正态散布，求正态曲线的近似方程．19．(12分)(2020·济宁模拟)一个袋中有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少取得1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记取得白球的个数为X ，求随机变量X 的数学期望E (X )．20．(12分)已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992.求⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中，(1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．21．(12分)(2020·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人愈来愈多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时刻不超过两小时免费，超过两小时的部份每小时收费2元(不足1小时的部份按1小时计算)．有甲、乙两人彼此独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率别离为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率别离为12，14；两人租车时刻都可不能超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的散布列及数学期望E (ξ)．22．(12分)(2020·山东)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A 、B 、C 、D 四个问题，规那么如下： ①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A 、B 、C 、D 别离加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分．②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题终止，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题终止，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题终止，淘汰出局．③每位参加者按问题A 、B 、C 、D 顺序作答，直至答题终止．假设甲同窗对问题A 、B 、C 、D 回答正确的概率依次为34，12，13，14，且各题回答正确与否彼此之间没有阻碍．(1)求甲同窗能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同窗本轮答题终止时答题的个数，求ξ的散布列和数学期望E (ξ)．第十一章章末检测1．A [∵φ(x)图象的对称轴为x ＝μ，且φ(x)图象在x 轴上方，∴由图象知选项A 适合．] 2．D [相当于3个元素排10个位置，共有10×9×8＝720(种)．] 3．B [(x ＋1)4的展开式中x 2的系数为C 24＝6.]4．C [先排最后一个公益宣传广告有C 12种方式，再在前三个位置当选一个排第二个公益宣传广告有C 13种方式．余下的三个排商业广告有A 33种方式．故共有C 12C 13A 33＝36(种)．] 5．B [(1－2x)5(2＋x)＝2(1－2x)5＋x(1－2x)5＝…＋2C 35(－2x)3＋x C 25(－2x)2＋… ＝…＋(4C 25－16C 35)x 3＋…＝…－120x 3＋….]6．A [分类：①假设5在首位或末位，共有2A 12·A 33＝24(个)； ②假设5在中间三位，共有A 13·A 22·A 22＝12(个)．故共有24＋12＝36(个)．]7．B [先选后排共C 23A 33＝3×3×2×1＝18(种)．] 8．C [∵(1－2x)2 010＝1－C 12 0102·x＋C 22 01022·x 2＋…＋C 2 0102 01022 010·x 2 010 ∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01022 010＝－C 12 010＋C 22 010＋…＋C 2 0102 010＝(1－1)2 010－C 02 010＝－1.] 9．D [(间接法)P ＝1－P ＝1－C 320C 330－C 310C 330＝2029.]10．A [分层抽样即按红、蓝、白、黄球之比为16∶12∶8∶4来抽取的，即抽取球的个数依次为4,3,2,1， ∴P＝C 416C 312C 28C 14C 1040.]11．C[由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－432·23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－432·13＝29，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2.又x 1<x 2，因此x 1＋x 2＝3.]12．D [当x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2时，[x]＝1，C x 8＝8x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2上单调递减，故C x 8∈⎝⎛⎦⎥⎤4，163.当x∈[2,3)时，[x]＝2，C x 8＝8×7x x －1在[2,3)上递减，故C x 8∈⎝ ⎛⎦⎥⎤283，28. 综上，所求值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤4，163∪⎝ ⎛⎦⎥⎤283，28.]13．5解析设射手射击n 次的命中次数为ξ，那么ξ～B(n ，p)，由题意知E(ξ)＝0.4n ＝2，解之，得n ＝5. 14．－5 解析(1＋x ＋x 2)(x －1x )6＝(1＋x ＋x 2)[C 06x 6(－1x )0＋C 16x 5(－1x )1＋C 26x 4(－1x )2＋C 36x 3(－1x)3＋ C 46x 2(－1x )4＋C 56x(－1x )5＋C 66x 0(－1x)6] ＝(1＋x ＋x 2)(x 6－6x 4＋15x 2－20＋15x 2－6x 4＋1x 6)，因此常数项为1×(－20)＋x 2·15x 2＝－5. 15．1 080解析先将6位志愿者分组，共有C 26·C 24A 22种方式；再把各组分到不同场馆，共有A 44种方式．由乘法原理知，不同的分派方案共有C 26·C 24A 22·A 44＝1 080(种)．16．22 009－2解析 a n －1＝1＋C n －1n＝2 009，得n ＝2 008，原式中令x ＝1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 007＋a 2020 ＝2＋22＋…＋22 008＝22 009－2.17．解 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫165x 2＋1x 5展开式的常数项为： C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 4＝16，(4分) (a 2＋1)n 展开式的系数之和2n ＝16，n ＝4.(6分) ∴(a 2＋1)n 展开式的系数最大的项为C 24(a 2)2×12＝6a 4＝54，∴a＝±3.(10分) 18．解 (1)样本的数学平均成绩x ＝160(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，一样可求出方差s 2＝1.5，因此标准差约为1.22.(4分)故样本的数学平均成绩为6分，标准差约为1.22.(6分)(2)由(1)可估量出μ＝6，σ＝1.22.因为整体服从正态散布，因此正态曲线的近似方程为 φ(x)＝1 1.222π263x e.(12分)19．解 (1)记“从袋中任意摸出两个球，至少取得一个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，那么P(A)＝1－C 210－x C 210＝79，取得x ＝5(x ＝14>10，不合题意，舍去)．故白球有5个．(5分)(2)X 服从超几何散布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3，其中P(X ＝k)＝C k 5C 3－k 5C 310，k ＝0,1,2,3，于是可得其散布列为X 0 1 2 3 P112 512 512 112 (10分) X 的数学期望E(X)＝112×0＋512×1＋512×2＋112×3＝32.(12分)20．解由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，∴2n ＝32，解得n ＝5.(1)由二项式系数的性质知，⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C 510＝252. ∴T 6＝C 510(2x)5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－C 510·25＝－8 064.(4分)(2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大，∵T r ＋1＝C r 10·(2x)10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 10·210－r ·x 10－2r ，(6分) ∴⎩⎪⎨⎪⎧C r10·210－r ≥C r －110·210－r ＋1C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1，得⎩⎪⎨⎪⎧C r 10≥2C r －1102C r 10≥C r ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧11－r≥2r2r ＋1≥10－r，解得83≤r≤113，(10分)∵r ∈N ，∴r ＝3.故系数的绝对值最大的是第4项，T 4＝－C 310·27·x 4＝－15 360x 4.(12分)21．解 (1)由题意，得甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率别离为14，14，记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，那么P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516.(4分)∴甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.(6分)(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.(8分) P (ξ＝0)＝14×12＝18；P (ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516；P (ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝516；P (ξ＝6)＝12×14＋14×14＝316；P (ξ＝8)＝14×14＝116.(10分)∴甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的散布列为∴E (ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×16＋8×16＝2.(12分)22．解 (1)设A 、B 、C 、D 别离表示甲同窗正确回答第一、二、三、四个问题，A 、B 、C 、D 别离表示甲同窗第一、二、三、四个问题回答错误，它们是对立事件，由题意得：P (A )＝34，P (B )＝12，P (C )＝13，P (D )＝14，∴P (A )＝14，P (B )＝12，P (C )＝23，P (D )＝34.(2分)(1)记“甲同窗能进入下一轮”为事件Q .则Q ＝ABC ＋A B CD ＋AB C D ＋A BCD ＋A B C D .∵每题结果彼此独立．∴P (Q )＝P (ABC ＋A B CD ＋AB C D ＋A BCD ＋A B C D ) ＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )·P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )·P (D )＝34×12×13＋34×12×13×14＋34×12×23×14＋14×12×13×14＋14×12×23×14＝14.(7分) (2)由题意知，随机变量ξ的可能取值为：2,3,4，则P (ξ＝2)＝P (A B )＝14×12＝18，P (ξ＝3)＝P (ABC ＋A B C )＝34×12×13＋34×12×23＝38， P (ξ＝4)＝1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)＝1－18－38＝12.(9分)因此ξ的散布列为(10分)因此E (ξ)＝2×18＋3×38＋4×12＝278.(12分)。

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第十一章概率与统计单元测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.二战中盟军为了知道德国“虎式”重型坦克的数量，采用了两种方法：一种是传统的情报窃取，一种是用统计学的方法进行估计．统计学的方法最后被证实比传统的情报收集更精确．德国人在生产坦克时把坦克从1开始进行了连续编号，在战争期间盟军把缴获的“虎式”坦克的编号进行记录，并计算出这些编号的平均值为675.5.假设缴获的坦克代表了所有坦克的一个随机样本，则利用你所学过的统计知识估计德国共制造“虎式”坦克大约有( ) A.1 050辆 B.1 350辆 C.1 650辆 D.1 950辆解：由题意，得1＋2＋…＋nn ＝675.5，解得n＝1 350.故选B.2.某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的7名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，则甲、乙两人中至少有1人被选中的概率为 ( )A.17B.37C.47D.67解：所求概率为1－C 45C 47＝67.故选D.3. (2018·合肥模拟)某小区有1 000户，各户每月的用电量近似服从正态分布N (300，102)，则用电量在320度以上的户数约为 ( )参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.44%，P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝99.74%.A.17B.23C.34D.46解：P (ξ>320)＝12×[1－P (280<ξ≤320)]＝12×(1－95.44%)＝0.022 8，0.022 8×1 000＝22.8≈23，所以用电量在320度以上的户数约为23.故选B.4.某教育局为了解某“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据，绘制了如图的折线图．根据折线图，下列结论正确的是( )A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月波动性更小，变化更平稳解：由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，10月份，故A ，B ，C 错．故选D.5.(2019·德州二模)港珠澳大桥于2018年10月23日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100千米/小时，现对大桥某路段上1 000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图(如图)，根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90)的车辆数和行驶速度超过90千米/小时的频率分别为( )A.300，0.25B.300，0.35C.60，0.25D.60，0.35解：由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90)的频率为0.06×5＝0.3，所以在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90)的车辆数为0.3×1 000＝300，行驶速度超过90 km/h 的频率为(0.05＋0.02)×5＝0.35.故选B.6.某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为( )A.313B.413C.14D.15解：设事件A 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件B 为“学生丙第一个出场”，则P (A )＝A 44＋C 13C 13A 33A 55＝78A 55，P (AB )＝C 13A 33A 55＝18A 55，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝1878＝313.故选A.7.(2019·佛山期末)针对时下的“短视频热”，某校团委对“学生性别和喜欢拍短视频是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的12，男生喜欢拍短视频的人数占男生人数的16，女生喜欢拍短视频的人数占女生人数的23，若有99%的把握认为“是否喜欢拍短视频和性别有关”，则男生至少有( )参考公式及附表：K 2＝n （ad －bc ）2，解：设男生有x 人，依题意可得列联表如下：性别有关”，则K 2＞6.635，由K 2＝3x 2（x 6·x 6－x 3·5x 6）2x 2·x ·x 2·x ＝3x8＞6.635，解得x ＞17.69，因为x 为整数，所以若有99%的把握认为“是否喜欢拍短视频和性别有关”，则男生至少有18人．故选B.8.体育课的排球发球项目考试的规则是每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球．否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的均值E (X )>1.75，则p 的取值范围是( ) A.(0，712) B.(712，1) C.(0，12) D.(12，1)解：X 的可能取值为1，2，3，因为P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )·p ，P (X ＝3)＝(1－p )2，所以E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3.由E (X )>1.75，即p 2－3p ＋3>1.75，解得p <12(p＞52舍去)．故0<p <12.故选C. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.(山东省2020届高三11月新高考模拟)下图为某地区2006～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006～2018年 ( )A.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B.财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同 C.财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D.城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大解：根据题目提供的图表分析题目，区分好两条折线即可．故选AD.10.(2020·山东高二期中)甲、乙两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是 ( )A.甲、乙两人的各科成绩的平均分相同B.甲成绩的中位数是83，乙成绩的中位数是85C.甲各科成绩比乙各科成绩稳定D.甲成绩的众数是89，乙成绩的众数是87解：对于选项A ，甲成绩的平均数，x 甲＝19×(68＋74＋77＋83＋83＋84＋89＋92＋93)＝7439，乙成绩的平均数x 乙＝19×(64＋66＋74＋76＋85＋87＋98＋98＋95)＝7439，所以选项A 是正确的；对于选项B ，由茎叶图知甲成绩的中位数是83，乙成绩的中位数是85，故选项B 正确；对于选项C ，由茎叶图知甲的数据相对集中，乙的数据相对分散，故甲的各科成绩比乙的各科成绩稳定，故选项C 正确；对于选项D ，甲成绩的众数是83，乙成绩的众数是98，故选项D 错误．故选ABC.11.(2020·夏津县双语中学高一月考)在某次高中学科知识竞赛中，对4 000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40，50)，[50，60)，…，[90，100]，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中间值作代表值，则下列说法中正确的是( )A.成绩在[70，80)的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分解：由频率分布直方图可得，成绩在[70，80)的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；成绩在[40，60)的频率为0.01×10＋0.015×10＝0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1000，故B 正确；考生竞赛成绩的平均分约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C 正确；因为成绩在[40，70)的频率为0.45，在[70，80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10×0.050.3≈71.67，故D 错误．故选ABC.12. (陕西省汉中市2020届高三上五检)某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟，均为正整数)分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，则它的极差可能为( )A.8B.4C.2D.1 解：由题意知：x ＋y ＋10＋11＋9＝10×5⇒x ＋y ＝20.当x ＝1，y ＝19时，极差为18.当x ＝2，y ＝18时，极差为16. 当x ＝3，y ＝17时，极差为14. 当x ＝4，y ＝16时，极差为12. 当x ＝5，y ＝15时，极差为10.当x ＝6，y ＝14时，极差为8，A 可能．当x ＝7，y ＝13时，极差为6. 当x ＝8，y ＝12时，极差4，B 可能．当x ＝9，y ＝11时，极差为2，C 可能．当x ＝10，y ＝10时，极差为2.综上，D 不可能．故选ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.(2020届河南普通高中质量测评(一))某次足球比赛中，A ，B ，C ，D 四支球队进入了半决赛．半决赛中，A 对阵C ，B 对阵D ，获胜的两队进入决赛争夺冠军，失利的两队争夺季军．已知他们之间解：由相应的概率公式知，所求概率P ＝0.3×(0.5×0.4＋0.5×0.8)＝0.18.故填0.18. 14.(河南省洛阳市2020届高三上尖子生一联)已知样本x 1，x 2，…，x 2 019的平均数与方差分别是1和4，若y i ＝ax i ＋b (i ＝1，2，…，2 019)的平均数与方差也是1和4，则a b ＝ . 解：因为x 1，x 2，…，x 2 019的平均数为1，所以y i ＝ax i ＋b (i ＝1，2，…，2 019)的平均数为a ×1＋b ＝1；因为x 1，x 2，…，x 2 019的方差为4，所以y i ＝ax i ＋b (i ＝1，2，…，2 019)的方差为4a 2＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.所以a b ＝1.故填1.15.(2020山西高二月考)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5，其中A 的各位数中a k (k ＝2，3，4，5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，X 的数学期望E (X )＝ .解：由题意知X 的可能取值分别为0，1，2，3，4.X ＝0表示这4个数字都是0，则P (X ＝0)＝(13)4＝181； X ＝1表示这4个数字中有一个为1，则P (X ＝1)＝C 14·(13)3·23＝881；同理P (X ＝2)＝C 24·(13)2·(23)2＝2481； P (X ＝3)＝C 34·13·(23)3＝3281； P (X ＝4)＝(23)4＝1681.所以X 的分布列为计算数学期望为E (X )＝0×181＋1×881＋2×2481＋3×3281＋4×1681＝83.故填83.16.(2020届北京八中高一期末)一项抛掷正方体骰子的过关游戏规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数和大于n 2，则算过关，可以随意挑战某一关．若直接挑战第3关，则通关的概率为．解：若挑战第3关，则抛掷3次骰子，总的可能数为63＝216种，不能过关的基本事件为方程x ＋y ＋z ＝a ，其中a ＝3，4，5，6，7，8，9的正整数解的总个数，共有1＋C 23＋C 24＋…＋C 28－3＝81，不能过关的概率为81216＝38，故通关的概率为1－38＝58.故填58.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(10分)为了评估天气对某市运动会的影响，制定相应预案，该市气象局通过对最近50多年气象数据资料的统计分析，发现8月份是该市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天(如图所示)．如果用频率作为概率的估计值，并假定一个月中每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．(1)求在该市运动会开幕(8月12日)后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率(精确到0.01)；(2)设运动会期间(8月12日至23日，共12天)，发生雷电天气的天数为X ，求X 的均值和方差．解：(1)设8月份一天中发生雷电天气的概率为p ，由已知，得p ＝14.5731＝0.47.因为每一天发生雷电天气的概率均相等，且相互独立，所以在运动会开幕后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率P ＝C 23×0.472×(1－0.47)≈0.35.(2)由题意，知X ～B (12，0.47)．所以X 的均值E (X )＝12×0.47＝5.64， X 的方差D (X )＝12×0.47×(1－0.47)＝2.989 2.18.(12分)(2020·江西高二月考)某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近期两人5次数学考试的成绩，统计结果如下表：你认为选谁合适？请说明理由． (2)若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从5道备选题中任意抽出1道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰．方案二：每人从5道备选题中任意抽出3道，若至少答对其中2道，则可参加复赛，否则被淘汰．已知学生甲、乙都只会5道备选题中的3道，那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大？并说明理由．解：(1)解法一：甲的平均成绩为x 1＝80＋85＋71＋92＋875＝83；乙的平均成绩为x 2＝90＋76＋75＋92＋825＝83. 甲的成绩方差s 21＝15∑i ＝15(x i －x )2＝50.8；乙的成绩方差为s 22＝15∑i ＝15(x i－x )2＝48.8. 由于x 1＝x 2，s 21＞s 22，乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适，故选乙合适．解法二：派甲参赛比较合适，理由如下：从统计的角度看，甲获得85以上(含85分)的概率P1＝35，乙获得85分以上(含85分)的概率P2＝25，因为P1＞P2，故派甲参赛比较合适．(2)若推荐乙.5道备选题中学生乙会的3道分别记为a，b，c，不会的2道分别记为E，F.方案一：学生乙从5道备选题中任意抽出1道的结果有：a，b，c，E，F共5种，抽中会的备选题的结果有a，b，c，共3种．所以学生乙可参加复赛的概率P1＝35.方案二：学生乙从5道备选题中任意抽出3道的结果有C35＝10种，抽中至少2道会的备选题的结果有C23C12＋C33＝7种．所以学生乙可参加复赛的概率P2＝710，因为P1＜P2，所以学生乙选方案二进入复赛的可能性更大．若推荐甲，同理选方案二进入复赛的可能性更大．19.(12分)(2019·安徽省池州市贵池区校级月考)下表是某地区2012年至2018年农村居民家庭年纯(2)利用(1)中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭年纯收入的变化情况，并预测该地区2019年农村居民家庭年纯收人(结果精确到0.1)．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：ˆb＝，ˆa=y -ˆbx ．解：(1)由表中数据，计算t＝17×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y＝17×(2＋3＋3.5＋4＋4.5＋5＋6)＝4，∑i＝17(t i－) ( y i－y—)＝(－3)×(－2)+ (－2)×(－1)+ (－1)×(－0.5)+ 0+1×0.5+2×1+3×2=17，∑i＝17(t i－)2＝(－3)2+ (－2)2+ (－1)2+02+12+22+ 32＝28，所以ˆb＝＝1728，a^＝y—－b^＝4－1728×4＝117，所以y关于t的线性回归方程ˆy＝1728t＋117.(2)由(1)中的回归方程知，该地区2012年至2018年农村居民家庭年纯收入逐年递增，预测该地区2019年农村居民家庭年纯收入为y^＝1728×8＋117＝457≈6.4(万元).20.(12分)近年来，我国电子商务蓬勃发展，管理部门推出了针对某网购平台的商品和服务的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.6，对服务的满意率为0.75，其中对商品和服务都满意的交易为80次．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望E(X)．附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），解：(1)2×2列联表如下：K2＝200×（80×10－40×70）2150×50×120×80≈11.111，因为11.111>6.635，所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”.(2)每次购物时，对商品和服务都满意的概率为25，且X 的取值可以是0，1，2，3. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫353＝27125；P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫25×⎝⎛⎭⎫352＝54125；P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫351＝36125；P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫253×⎝⎛⎭⎫350＝8125. X 的分布列为所以E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65. 或者由于X ～B ⎝⎛⎭⎫3，25，得E (X )＝3×25＝65. 21. (12分)(河北省邢台市2020届高三上第一次摸底)某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N (69，49)．(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在(62，90)内的概率；(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50，52，56，62，63，68，65，64，72，80，67，90.从这12个数据中随机选取4个，记X 表示大于总体平均分的个数，求X 的方差．参考数据：若Y ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜Y ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜Y ＜μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ＜Y ＜μ＋3σ)＝0.997 4. 解：(1)因为学生的普通话测试成绩Y 服从正态分布N (69，49)，所以μ＝69，σ＝7，所以P (62＜Y ＜90)＝P (μ－σ＜Y ＜μ＋3σ)＝0.682 6＋0.997 42＝0.84. (2)因为总体平均分为μ＝69，所以这12个数据中大于总体平均分的有3个，所以X 的可能取值为0，1，2，3，则P (X ＝0)＝C 49C 412＝1455，P (X ＝1)＝C 13C 39C 412＝2855，P (X ＝2)＝C 23C 29C 412＝1255，P (X ＝3)＝C 33C 19C 412＝155，所以E (X )＝0×1455＋1×2855＋2×1255＋3×155＝1，D (X )＝(0－1)2×1455＋(1－1)2×2855＋(2－1)2×1255＋(3－1)2×155＝611. 22.(12分)《山东省深化高等学校考试招生综合改革试点方案》规定：从2020年高考开始，高考物理、化学等六门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A ，B ＋，B ，C ＋，C ，D ＋，D ，E 八个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则分别转换到[91，100]，[81，90]，[71，80]，[61，70]，[51，60]，[41，50]，[31，40]，[21，30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校2017级学生共1 000人，以期末考试成绩为原始成绩转换了本校的等级成绩，为学生合理选科提供依据，其中物理成绩获得等级A 的学生原始求恰好有2名同学的等级分数不小于95的概率；(2)待到本级学生高考结束后，从全省考生中不放回的随机抽取学生，直到抽到1名同学的物理高考成绩等级为B ＋或A 结束(最多抽取1 000人)，设抽取的学生个数为ζ，求随机变量ζ的数学期望(注：0.91 000≈1.7×10－46)．解：(1)设物理成绩获得等级A 的学生原始成绩为x ，其等级成绩为y.由转换公式93－x x －82＝100－y y －91，得y ＝911(x －82)＋91.由y＝911(x－82)＋91≥95，得x≥86.9≈87.显然原始成绩满足x≥87的同学有12人，获得等级A的学生有30人，恰好有2名同学的等级分数不小于95的概率为：P＝C212C118C330＝2971 015≈0.29.(2)由题意得，随机抽取1人，其等级成绩为B＋或A的概率为3%＋7%＝0.1.学生个数ζ的可能取值为1，2，3，…，1 000；P(ζ＝1)＝0.1，P(ζ＝2)＝0.9×0.1，P(ζ＝3)＝0.92×0.1，…，P(ζ＝999)＝0.9998×0.1，P(ζ＝1 000)＝0.9999；其数学期望是：E(ζ)＝1×0.1＋2×0.9×0.1＋3×0.92×0.1＋…＋999×0.9998×0.1＋1 000×0.9999＝1×0.1＋2×0.9×0.1＋3×0.92×0.1＋…＋1 000×0.9999×0.1＋1 000×0.91 000＝0.1×(1＋2×0.9＋3×0.92＋…＋1 000×0.9999)＋1 000×0.91 000其中：S＝1＋2×0.9＋3×0.92＋…＋1 000×0.9999，①0.9S＝1×0.9＋2×0.92＋…＋999×0.9999＋1 000×0.91 000，②应用错位相减法“①－②”得：0.1S＝1＋0.9＋0.92＋…＋0.9999－1 000×0.91 000＝1×（1－0.91 000）0.1－1 000×0.91 000，S＝100－(10×1 000＋100)×0.91 000，故E(ζ)＝0.1×［100－(10×1 000＋100)×0.91 000］＋1 000×0.91 000＝10×(1－0.91 000)≈10.。

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