近世代数教学大纲

《近世代数》课程教学大纲

一课程说明

1.课程基本情况

课程名称：近世代数

英文名称：Abstract Algebra

课程编号： 2411216

开课专业：大学本科数学与应用数学专业

开课学期：第3学期

学分/周学时：3/3

课程类型：专业主干课

2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）

近世代数不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在其它学科领域中也有广泛的应用，如理论物理、计算机学科等。其研究的方法和观点，对学科产生了越来越大的影响。

3．本课程的教学目的和任务

群、环、域、模是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法了解代数体系的构造和性质，培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。并对模的概念有所理解。

4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求

该课程是数学与应用数学专业高等代数的后续课程。

二教材及主要参考书

1．张禾瑞. 近世代数基础.北京: 人民教育出版社, 1978年.

2．吴品三. 近世代数. 北京: 高等教育出版社, 1978年.

3. 朱平天. 近世代数. 北京: 科学出版社，2009年.

4．刘绍学. 近世代数基础. 北京: 高等教育出版社, 1999年.

三教学方法和教学手段说明

以教师讲解为主的课堂教学方式

四成绩考核办法

本课程以教务处的相关文件规定进行考核。

五教学内容

第1部分基本概念（10学时）

一、教学目的

1、理解集合的概念，了解元素与集合之间的关系，以及集合之间的运算。

2、理解映射的概念，能在集合之间建立映射关系，并能判断两个映射是否相同。

3、掌握代数运算与映射的关系，能建立有限集合之间的运算表。

4、掌握将结合律、交换律、第一、第二分配律推广到n元的定理，并能判

断给定的运算能否满足结合律、交换律以及两种分配律。

5、掌握一一映射的定义，并能建立两个集合之间的满射、单射、一一映射，能判定给定的映射是否是一一映射。

6、掌握同态映射的概念，理解同态与同态满射的关系，并能判定映射是否是同态满射，掌握具有同态满射的集合之间的联系。

7、掌握同构映射和自同构的概念，能区分同态与同构的差别，理解两个具有同构关系的集合之间的关系，并能判定给定的映射和运算是否是同构关系，能建立两个集合之间的同构映射。

8、理解关系和等价关系的概念，掌握等价关系和分类之间的转换定理，和熟练判定给定的关系是否是等价关系。并熟悉剩余类的基本特性，以便为群、环提供典型的范例，能建立整数间给定的模的剩余类。

二、教学重点

一一映射、同态、同构、自同构、分类。

三、教学难点

建立映射关系与同构关系，等价关系与分类之间的相互转换。

四、讲授要求

集合的概念，元素与集合之间的关系，以及集合之间的运算；映射的概念，能在集合之间建立映射关系，并判断两个映射是否相同；代数运算与映射的关系，能建立有限集合之间的运算表；将结合律、交换律、第一、第二分配律推广到n 元的定理，并判断给定的运算能否满足结合律、交换律以及两种分配律；一一映射的定义，并建立两个集合之间的满射、单射、一一映射，判定给定的映射是否是一一映射；同态映射的概念，同态与同态满射的关系，并判定映射是否是同态满射，具有同态满射的集合之间的联系；同构映射和自同构的概念，区分同态与同构的差别，两个具有同构关系的集合之间的关系，并判定给定的映射和运算是否是同构关系，建立两个集合之间的同构映射；关系和等价关系的概念，等价关系和分类之间的转换定理，和判定给定的关系是否是等价关系。并剩余类的基本特性，以便为群、环提供典型的范例，建立整数间给定的模的剩余类。

五、讲授要点

集合：子集与真子集，并集、交集。

映射：映射的定义，以及象与逆象的概念。

代数运算：代数运算的定义及表示法，二元运算的概念。

结合律：结合律的定义。

交换律：交换律的定义。

分配律：分配律的定义。

一一映射：满射、单射、一一映射；变换、单射变换、满射变换及一一变换。

同态：同态映射、同态满射。

同构、自同构：同构映射、自同构。

等价关系与集合：关系、等价关系，分类、全体代表团、剩余类。

六、实验及实践要求

暂无实验及实践要求，平时以习题练习及讨论为主。

第2部分群论（22学时）

一、教学目的

1、了解群的第一、第二定义，并掌握两者之间的等价转换，理解左、右单位元，左、右逆元的意义，掌握有限群、无限群、群的阶和交换群的概念。

2、充分掌握单位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定义，能熟练掌握群与阶的关系，会计算群元素的周期。

3、了解有限群的定义，并理解该定义不适用无限群的原因。

4、理解群同构、同态的定义，掌握和一个群同态的集合也成群的证明，掌握群同态的有关性质，并能证明在同态满射下，单位元的象也是单位元，元a 的逆元的象是a的象的逆。

5、掌握循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点，熟练掌握剩余类加群，并能证明任一循环群可以与整数加群或模为n的剩余类加群同构。以及与循环群同态的群的性质。

6、熟练掌握变换的符号的运用和变换的乘法，能证明可以成群的变换只包含一一变换，且单位元一定是恒等变换。了解变换群的定义和性质。掌握任何一个群都同一个变换群同构的定理的证明。掌握元素求逆等运算。

7、理解置换与置换群的定义与性质，掌握每一个n元置换都可以写成若干个互相没有共同数字的（不相连）的循环置换的乘积的证明与运用。理解有限群