整系数多项式在有理数域上不可约的几个判定定理

整系数多项式在有理数域上不可约的几个判定定理
一、求和不可约判定定理：
1、假设R是有理数域，P(x)是正定系数多项式，若有：
$$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, a_i\in R, i=0,1,\cdots,n$$
且：
$$a_0-a_1+a_2-a_3+\cdots+(-1)^n a_n \neq 0,$$
则P(x)在R上不可约。

2、假设R是有理数域，P(x)是正定系数多项式，若有：
$$P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, a_i\in R, i=0,1,\cdots,n$$
且：
$$a_0+a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \neq 0,$$
则P(x)在R上不可约。

二、克劳德-拉一判不可约判定定理：
1、假设R是有理数域，P(x)是按照正定系数有限位数构成的正定系数多项式，若有：
$$P(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, a_2a_n-a_1a_{n-1}\ne 0,$$ 则P(x)在R上不可约。

2、假设R是有理数域，P(x)是有限位数的正定系数多项式，若有：$$P(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, a_1a_{n-1}-a_2a_{n-2}\ne 0,$$
则P(x)在R上不可约。

三、Fermat-Euler判不可约判定定理：
1. 假设R是有理数域，P(x)是有限位数的正定系数多项式，若有：$$P(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, n \geq 3, a_0a_2 - a_1^2\ne 0,$$
则P(x)在R上不可约。

2、假设R是有理数域，P(x)是按照正定系数有限位数构成的正定系数多项式，若有：
$$P(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, n \geq 3, a_1a_3 - a_2^2\ne 0,$$
则P(x)在R上不可约。

四、欧拉判不可约判定定理：
1、假设R是有理数域，P(x)是有限位数的正定系数多项式，若有：$$P(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, n \geq 4, a_2a_{n-2} -
a_1a_{n-3}\ne 0,$$
则P(x)在R上不可约。

2、假设R是有理数域，P(x)是有限位数的正定系数多项式，若有：$$P(x)=a_0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots+a_nx^n, n \geq 4, a_1a_3 - a_2^2\ne
0,$$
则P(x)在R上不可约。