产品广告费用分配对销量及利润的影响模型

产品广告费用分配对销量及利润的影响模型

摘要

广告，就是广而告知的意思。随着市场经济的发展，行业之间的竞争越来越激烈，为了提高利润，广告成为了重要的竞争工具，也是企业培育市场、培养品牌的重要方式。不同的行业、不同的产品、甚至同一产品的不同生命周期，广告的投放时间、投放程度、投放市场的选择都是千差万别的。今天我们从数学建模角度结合数学知识研究产品广告费用分配对销量及利润的影响，建立广告投入策略的模型，讨论了不确定环境下使得公司获利最大的最优广告费投入量。

并用模拟近似法进行应用实例分析，从而得到模型参数的变化对最优策略的影响．

本文还进一步考虑了模型的优缺点，并根据提出的缺点，对模型进行了进一

二：符号说明

k 、c: 任意常数；

x 、y:甲、乙两公司各自投入的广告费；

t: y x x

t +=；

p(x): 甲公司投入广告后获得的利润。

三、问题分析

广告对于任何产品它的最终目的是提高销售量，进而使销售利润上升。 现实生活中，影响销售数量的因素有很多，包括市场的自然变动、价格因素、产品或者服务的性能和质量、广告的质量和密度、销售网络的密度和质量、行业特点等等。但在实证研究的过程中我们无法把所有因素都考虑在内，因此我们在做模型分析前假设销售数量只受广告费用的影响，并且产品所做的广告在一定意义上都是成功的。

下面我们通过对销售与利润之间数量关系的分析，建立相应的函数关系模型，利用甲乙两公司销售的函数，用求导，平移函数图像地方法，求出相应的利润最值问题。

利润=收入-广告费，利用这个等式，建立甲公司利润的函数表达式，再根据已知的关系，求导，得驻点，进而得最值。

四、模型假设

1. 销售数量只受广告费用的影响，且产品所做的广告在一定意义上都是成功的，商家的信誉度和产品质量是良好的。

2. 不考虑市场环境的突变及同类产品的竞争，有且仅有这两个公司通过广告竞争销售该商品。

3.产品的销售过程和宣传力度均为连续过程，若某公司广告费用为0，则商品销售额也是0。

4.广告具有立时性，一旦宣传就起效应；

5.利润与销量成正比，且比例系数为k 。商品的销售速度是因作广告而增加，但是这种增加有一定的限度。广告只能影响该产品在市场上尚未达到饱和的部分，当商品在市场上趋于饱和时，销售速度也趋于它的上限值。

6.假设停止广告宣传后，销售速度不会达到饱和速度。

7.产品量是充足的，广告的宣传力度和宣传时间相对固定；

8. 自然衰减是销售速度的一种性质，即商品销售速度随销售率的增加而减小。

五、模型建立与求解

问题（1）： 令y x x

t +=，带入()()11=-+t f t f 得1=???? ??++???? ??+y x y f y x x f ，使用MATLAB 软件，得到()()11=-+t f t f 的示意图

结果：

f(t)图形以???? ?

?21，21为中心对称，如图实线或虚线所示。 由x,y 的一般性，以下设f （t ）为实线形状。

问题（2）：

设甲公司广告费用为x,以公司广告费用为y(y 是常数)。

则甲公司销量为???? ??+y x x f ,销售额为???

? ??+y x x kf ，(k 是常数）

。 利润p(x)为：x y x x kf x p -???

? ??+=)(。 依题意即是要求p （x ）取得最大值的点。

方法一：

由0)(*’=x p 可得2**’

11)(???? ??-=t a

y t f ， 取任意常数c ，c t

k y t g +-=11)(，则： 曲线族g （t ）中与f （t ）相切的那一条曲线的切点坐标为*t ，y x x t

+=***。

如图：

方法二：

由f （t ）~t 图形做出下图，再作直线a

x x h =)(，在曲线上找一点M ，其横坐标y x >*，使过M 点的切线平行于h （x ），*x 即为所求：

结果：按方法一或者方法二都可以得到结果。如图，*x 即为所求，即产品投资

费用为*x时甲公司获得的利润最大。

六、结果解释

产品销售中的广告投入选择与费用分配一直是企业面临的一大难题，如何将其进行合理分配不仅体现了广告业务人员的决策意识，也是企业利润取得最大化的重要保障，在广告费用投入准则中我们要知道既不是投入越多，收获也就更多，而是要采取理性选择，在广告费用投入越少的情况下使得利润最大，总而言之，广告在产品销售环节中已经起着举足轻重的作用，而且随着社会竞争的激烈加剧，它的重要性还会上升。

本模型可以有效帮助决策者大致估算广告投入费用，提高广告费用的投入产出比。

七、实例分析

究竟如何分配才能使效益最大化了，我们举例说明一下：

某装潢公司以每桶20元的价格购进一批彩漆，想通过做广告使销售量有一个增长.根据经验，彩漆售价与预期销售量的关系见表一（来源于网络），广告费与销售增长因子的关系见表二，其中销售增长因子意义为：实际销售量等于预期销

告费之间的函数关系，并建立以售价和广告费为二元变量的利润函数，最后求极值得到问题的解.

第一步：

根据表中数据可预设销售量为线性函数t(x)=ax+b,

设销售增长因子为二次函数z(y)=cy^2+dy+e.

第二步：

利用数学软件中曲线拟合功能求出

t(x)=ax+b

其中a≈-513.33, b≈50422.22.

()e

y

z+

dy

cy

=2

+

其中c≈-4.25*10ˉ10,d≈4.09*10ˉ5,e≈1.02.

第三步：

由于利润=实际销售收入-购进彩漆费用-广告费用，故设利润函数为：

()()()()y

x

x

p-

t

y

x

y

z

,

-

=20

将第二步中t(x)和z(y)代入得:

()()()()y

y

x

p-

b

ax

x

dy

e

cy

=20

,2

+

-

+

+

其中a,b,c,d,e分别如第二步所示。

分别将利润函数对x和y求偏导并令其等于零得：并将a,b,c,d,e的值代入得：

x≈59.11, y≈46620

所以，当投入约46620元广告费，实际售价约为59.11元时利润最大，此时获最大利润约为1525600元.

通过实例研究，分析可得如下结论：

相关关系证明了假设5利润与销量成正比，以及其他方面实例也与模型符合。

八：模型评估：

模型的优点：

1、易于推广，模型构思巧妙，能准确得出最佳广告费；

2、应用范围广，可应用各种新产品的市场销售计划；

3、基本模型对问题的描述精确、合理，推导严谨，理论性强。

模型的缺点以及改进方法:

1：此模型是理想化的模型，k的不确定性使这个模型比较粗糙，这里只是简单的使收入与销售成线性的正比关系。在实际应用中，可以再细微的调查相关数据，得出一个更精确的函数关系。

2.建模前假设的销售额不受其他因素的影响，使研究的精准性受到了限制。因此广告费用与利润的深层关系还有待进一步的研究。

3.上述模型说明了广告费与销量呈正相关关系。但从经济学的角度讲，任何现实投入都存在边际产出的问题。也就是说，广告的费用投入同样应该考虑边际产出，过度的投入不但不会使投入产出比增加，相反会引起降低，使产品的生产流通成本增加。所以广告费用的多少，应该与企业的生产流通规模相适应。正确利用模型，科学投入。

参考文献

【1】姜启源，数学模型（第二版），高等教育出版社，北京。

【2】寿纪麟，数学建模——方法与范例，西安交大出版社。

【3】（美）JOHN A.QUELCH 等著吕—林等译，市场营销管理教程和案例, 北京大学出版社 2000。

【4】戴永良广告绩效评估，中国戏剧出版社，2001。