初中数学培优教材

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第一讲 一元二次方程

【学习目标】

1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2、了解一元二次方程的解或近似解。

3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。

【知识要点】

1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。

（2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。

（3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。

2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。

3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。

【经典例题】

例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x

； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+x

x x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.

（2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________.

（3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？

例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

（1）2x 2―x+1=0 (2)－5x 2+1=6x (3)(x+1)2=2x (4)8432-=--x x

例4、（1）某校办工厂利润两年由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增长率为x ，可以列方程得（ ）

A.5(1+x)=9

B.5(1+x)2=9

C.5(1+x)+5(1+x)2=9

D.5+5(1+x)+5(1+x)2=9

（2）某商品成本价为300元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，设为x ，则方程为_____________.

例5、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如下图所示，它的长为8 m ，宽为5 m ，如果地毯中央长方形图案的面积为18 m 2，那么花边有多宽?（列出方程并估算解得值）

例6、如图，一个长为10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m ，如果梯子的顶端下滑1 m ，那么梯子的底端滑动多少米?

【经典练习】

一、选择题

1、下列关于x 的方程：①1.5x 2+1=0；②2.3x 2+x

1+1=0；③3.4x 2=ax(其中a 为常数)；④2x 2+3x=0；⑤5

132+x =2x ；⑥22)(x x + =2x 中，一元二次方程的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

2、方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是

A.x 2－5x+5=0

B.x 2+5x+5=0

C.x 2+5x －5=0

D.x 2+5=0

3、一元二次方程7x 2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是

A.7x 2,2x,0

B.7x 2,－2x ，无常数项

C.7x 2,0,2x

D.7x 2,－2x,0

4、若x=1是方程ax 2+bx+c=0的解，则

A.a+b+c=1

B.a －b+c=0

C.a+b+c=0

D.a －b －c=0

二、填空题

1、将13)34(+=+x x x 化为一般形式为__________，此时它的二次项系数是. __________，一次项系数是__________，常数项是__________。

2、如果(a+2)x 2+4x+3=0是一元二次方程，那么a 所满足的条件为___________.

3、已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中一个数为x ，可得方程为_____________.

4、某高新技术产生生产总值，两年由50万元增加到75万元，若每年产值的增长率设为x ，则方程为___________.

5、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均为x ，可列出方程为_____________.

三、解答题

1、某商场销售商品收入款：3月份为25万元，5月份为36万元，该商场4、5月份销售商品收入款

平均每月增长的百分率是多少？

【课后作业】

一、填空题

1、方程5(x 2－2x+1)=－32x+2的一般形式是__________，其二次项是__________，一次项是

__________，常数项是__________.

2、若关于x 的方程053)1(2=+--ax x a 是一元二次方程，这时a 的取值围是________

3、某地开展植树造林活动，两年植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x ，根据题意列方程_________.

二、选择题

1、下列方程中，不是一元二次方程的是 ( )

A.2x 2+7=0

B.2x 2+23x+1=0

C.5x 2+x

1+4=0 D.3x 2+(1+x) 2+1=0 2、方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是 ( )

A.x 2－5x+5=0

B.x 2+5x+5=0

C.x 2+5x －5=0

D.x 2+5=0

3、一元二次方程51272=+-x x 的二次项、一次项、常数项依次是 ( )

A.7x 2,2x,1

B.7x 2,－2x ，无常数项

C.7x 2,0,2x

D.7x 2,－2x,-4

4、方程x 2－3=(3－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是 ( ) A.2 B.－2 C.32- D.3221-+

5、若关于x 的方程（ax+b ）(d －cx)=m(ac ≠0)的二次项系数是ac ，则常数项为 ( )

A.m

B.－bd

C.bd －m

D.－(bd －m) 6、若关于x 的方程a(x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是 ( )

A.2

B.－2

C.0

D.不等于2

7、若x=-1是方程ax 2+bx+c=0的解，则 ( )

A.a+b+c=1

B.a －b+c=0

C.-a+b+c=0

D.a －b －c=0