求圆锥曲线离心率的几种方法

关于椭圆离心率

解法1:利用曲线范围

则 F j P F 2P 即(X c)(x 仆 2 2

得X

y

0， c) y 2

2

c

2 a 2c 2 a 2b 2

x

2

a b

但由椭圆范围及 F 1PF 2

知0

由椭圆定义知 |PF i | |PF 2I 2a |PF i |2 |PF 2I 2 2|PF iH PF 2I 4a

2设 P (x , y ),又知 F i ( c . 0), F 2(c , 0)，则

F i P (X c ，y)， F 2 P

(X

y)

由 F i PF 2

90，知 F i P F 2P ， 将这个方程与椭圆方程联立，消去

y ，可解得

可得

从而得 所以e

b 2，即

c 2

e c

—，且 e

a 2

恵

、 ［亍，0

c 2

，且

解法2： 利用二次方程有实根

2

设椭圆笃 a 2

占1 椭圆上存在点P,使

(a b 0)的左、右焦点分别为 F i 、F 2，如果

F 1PF 2

90 ，求离心率e 的取值范围。 90

2 2

X a 2 2

2 2

a c a

b 2 72

又由 F j PF ? 90，知 2 |PF 1| 则可得 这样， 2 2 2 |P F 2I IF 1F 2I 4c |P F 1IIPF 2I 2(a 2 c 2

) |PF 1|与|PF 2|是方程u 2

2au 2(a 2 c 2

)

0的两个实根，因此

c 2) 0 2

4a 2 8(a 2 2

c ~2

a 昱

2，

1)

解法3:利用三角函数有界性 记 P F 1 F 2 PF 2F 1

，由正弦定理有

|P F i | IPF 2I IF 1F 2I

sin sin sin 90

|P F 1| |P F

2|

IF 1F 2I

sin sin

又|PF 1I |PF 2I 2a ，IF 1F 2I

c

sin

1 si n 2c ,则有 1

90 45

cos ------ 1

2

从而可得—— e 1

2

2 sin ----- c os —

2 2

72 cos —

2

解法4:利用焦半径 由焦半径公式得 | PF i | a ex , | PF 2I a ex 又由 |P F 112 |P F 2|2 | F 1 F 2 |2，所以有 a 2cx e x a 2cx e x 4c c 2

2

2c a

2

e

且x a ，则知0

即a 2 e 2x 2 2c 2， x 2 又点P (x ，y )在椭圆上,

x 2 a 2

，即

o

2c 2 a 2 2

0 ---- 2——a

e

42

得e ["2-，1

)

解法5:利用基本不等式 由椭圆定义，有2a |PF 1|

|P F 2I 平方后得

4a 2 | PF i l 2 |PF 2I 2 2|PF i ll PF 2I 2(|PF i |2 |PF 2|2

) 2|F i F 2I 2 8c 2

1

42

1

所以有e ［牙，1)

解法6：

巧用图形的几何特性 由 F 1PF 2 90 ，知点P 在以|F 1F 2| 2c 为直径的圆上。 又点P 在椭圆上, 因此该圆与椭圆有公共点 P

故有c b

c 2

.2 2 2

b a c

由此可得e

2

1)

在椭圆中，e

1(a b 0)的焦点为F 1，F 2，两条准线与X 轴的交 b

M ，N ，若I MN I < I F 1F 2I ，则该椭圆离心率的取值范围

8.已知F i 为椭圆的左焦点，A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点， P 为椭

、直接求出 a , c 或求出 演练

a 与

b 的比值，以求解 1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2倍, 则椭圆的离心率等于

2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的 2倍，则其离心率为

3.若椭圆经过原点，且焦点为 F i (1,0), F 2(3,O),则椭圆的离心率为

4.已知矩形ABCD AA 4, 的椭圆的离心率为

BC= 3,则以A B 为焦点，且过C 、D 两点

2

5.若椭圆■X

2 a 2

匕 1,(a b 2

椭圆的离心率为e

b 0)短轴端点为P 满足PF i PF 2，则

1 6..已知— m 2

2

2

2

1(m 0.n

n 0)则当mn 取得最小值时，椭圆 2

X 2

m 1的的离心率为 2

7.椭圆耸

a

点分别为 是 _____