二面角的求法(精华版)

⑴定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个 顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。 此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是 我们首选的方法。 ⑵三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个 顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这 个点和棱上垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计 算简便，所以我们常用此法。 ⑶垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这 一点不好选择，所以此法一般不用。 ⑷以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。 ⑸射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射 影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式, 这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用。
练习1:正方体ABCD-A1B1C1D1中， E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面 ABCD所成的二面角。
S A1B1C 1 cos S EB1C
D C
A
B
E
A1
D1
C1
B1
练习2：在正方体AC1中，E,F分别是中 点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐 二面角的大小。
D1 A1
二面角C1 EF A为钝角
1 二面角C1 EF A的大小为 arc cos 3
1、二面角的定义 2、二面角的平面角的定义 3、二面角的平面角的求解：
①找（或作）出平面角 ⑴定义法 ⑵棱的垂面法
⑶三垂线定理法
②求解
⑷向量法
解三角形或用向量的夹角公式
1、掌握二面角的定义法； 2、掌握二面角的三垂线法； 3、掌握二面角的垂面法;
4、掌握二面角的射影面积法;
5、掌握二面角的向量法。
复 习: 二面角的定义:
1、定义
从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角 的棱, 这两个半平面叫做二面角的面.

l

2、二面角的表示方法
n AD 0 1 0 6 cos n, AD 1 3 n AD 6 2 6 因为二面角为锐角 n, AD arc cos 3 6 二面角的大小为arc cos 3
。
练习：在棱长为1的正方体ABCD A1 B1C1D1中， E是棱BC的中点，F 是棱CD上的动点。
2、三垂线法:在一个平面 内选一点A向另一平面 作垂线AB， 3、垂面法:
a
O B
于B，作AC⊥ 于C，面 过二面角内一点A作AB⊥ ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角。 A A
C
a

A


B
O
a
O
B

例1:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且 PA=AB=a， 求二面角A-PC-B的大小。
l
A

B
P1
A1
B1
∠APB= ∠A1P1B1
注意: 二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上 (与顶点位置无关) 2）角的两边分别在两个面内 3）角的两边都要垂直于二面角的棱 二面角的平面角的范围: 0180
一、几何法：
1、定义法: 以二面角的棱a上任意一点O为端点，在两个面内
分别作垂直于a 的两条射线OA,OB，则∠AOB就是 此二面角的平面角。 垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足 为O， 连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
1 .确定F的位置，使得DF1 平面AB1F； 2 .当D1E 平面AB1F时，求二面角C1 EF A的大小。
z
A1 D1 B1 C1
A D F B
y
x
E
C
解：以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz
1 .设DF x, 则A 0, 0, 0 , B 1, 0, 0 , C 1,1, 0, D 0,1, 0 , A1 0, 0,1 ,
二面角－AB－
A
二面角－ l－
C
B D
F A D B

l
E

C
B
A 二面角C－AB－ D 二面角C－AB－ E
二面角的平面角:
以二面角的棱上任意一点为端 点, 在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线, 这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角。
二面角的大小用它的平面角的大小来度量
P
P
D A E C
cos SABC SPBC
B
二、向量法：
1、方向向量法:
将二面角转化为二面角的两个面 的方向向量（在二面角的面内垂 直于二面角的棱且指向该面方向 的向量）所成的角。
D

B
l
C
A

二面角 l 中, B、C l , AB , CD , 且 AB l , CD l，二面角的大小等于 BA, CD BA CD BA, CD arccos BA CD
A
D
O
y
C B
1 ∴ 二面角A1－BD－C1的大小为 arccos 3
x
2、平面法向量法:
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小。
m n
如图：二面角的大小等于-<m ,n>
2、平面法向量法:
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向 量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或 互补求出二面角的大小。
α
m n
β
如图：二面角的大小等于<m ,n>
例4:在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD 中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD， 1 AD= SA=AB=BC=1， 2 求面SCD与面SBA所成的二面角的大小.
z
解：以A为原点，如图 建立空间直角坐标系。
则：S 0, 0,1 , C 1,1, 0 , 1 D 0, , 0 , B 1, 0, 0 2
设平面C1EF的法向量为n x, y, z n EF , n EC1 n EF 0, n EC1 0
1 1 x y 0 1 2 2 n 1,1, 2 1 yz 0 2 平面AEF的法向量为AA1 0,0,1 n AA1 1 cos n, AA1 3 n AA1
1 B1 1, 0,1 , C1 1,1,1 D1 0,1,1 , E 1, , 0 , F x,1, 0 2 1 D1 E 1, , 1 , AB1 1, 0,1 , AF x,1, 0 2 D1 E AB1 1 1 0 D1 E AB1 D1E 平面AB1F D1E AF D1E AF 0 1 1 x 0 x 2 2 1 F是CD的中点，即F ， 1， 0 时，D1E 平面AB1F 2 1 1 1 2 .EF , , 0 , EC1 0, ,1 2 2 2
∴ A1O⊥BD，C1O⊥BD ∴ OA1 , OC1 即为二面角A1-BD－C1 的平面角。
cos OA1 , OC1



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A 1
B 1
OA1 OC1 OA1 OC1



1 3
例3：在正方体AC1中，求二面角A1 BD C1的大小。
解：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，
不妨设正方体的棱长为2，BD的中点为O，则 B(2，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，O（1，1，0）
DB 2,2,0, OA1 2,0,2 1,1,0 1,1,2, OC1 1,1,2 DB OA1 2 1 2 （1 ） 0 2＝0 C D1 z 1 DB OC1 2 (1) 2 1 0 2 0
E
B1
C1
D
G
H
C
A
G
D A
F
B
H
C
F
B
练习2：在正方体AC1中，E,F分别是中 点,求截面A1ECF和底面ABCD所成的锐 G 二面角的大小。 D C D1 E C1
A1 B1
A
A1
F E B C
G
D A
F
B
S AFCG F cos SA1FCE
C
练习3：三棱锥P-ABC中，PA ⊥平面 ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC （1）求二面角P-BC-A的大小； （2）求二面角A-PC-B的大小。
x
y
设平面SCD的法向量为n x, y, z
n SC , n SD n SC 0, n SD 0 1 SC 1,1, 1 , SD 0, , 1 2 x y z 0 xz y n 1, 2,1 z0 y 2z 2 1 平面SAB的法向量为AD 0, , 0 2
过E作ED⊥PC于D，连结BD， 三垂线法:过B作BE⊥AC于E，
则∠BDE就是此二面角的平面角。 P
3 ∵△ABC为正△，∴ BE= 2 a
在Rt△PAC中，E为AC中点，
D
A E B
则DE=
2 a 4
在Rt△DEB中 C BE 6 tan ∠ BDE=
DE
∴∠ BDE=arctan 6
几点说明：