超静定次数的确定
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力法整个计算过程自始至终都是在基本结构 上进行的，这就把超静定结构的计算问题，转化 为已经熟悉的静定结构的内力和位移的计算问返 回题10。
§7—4 力法的典型方程
用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方 程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。
1. 三次超静定问题的力法方程 首先选取基本结构（见图b）
单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移， 其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理，有
i j= j i △i P称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起 的沿Xi方向的位移。其值可能为正、为负或为零。返 回13 上述方程的组成具有规律性，故称为力法典型方程。
用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系
或多余未知力的数目。
1. 超静定次数： 多余联系或多余未知力的个数。 2 .确定超静定次采数用的解方除法多:余联系的
方法。解除多余联系的方式通 常有以下几种：
↓ ↑
（1）去掉或切断一根链杆，相
当于去掉一个联系。 （2）拆开一个单铰，相当
←↓↑→
于去掉两个联系。
第七章 力 法
§7—1 概述 §7—2 超静定次数的确定
§7—3 力法的基本概念
§7—4 力法的典型方程
§7—5 力法的计算步骤和示例
§7—6 对称性的利用
§7—7 超静定结构的位移计算
§7—8 最后内力图的校核
§7—9 温度变化时超静定结构的计算
§7—10 支座移动时超静定结构的计算
§7—13 超静定结构的特性
（1）超静定梁;
（2）超静定桁架； ⑶ （3）超静定拱；
（4）超静定刚架； （5）超静定组合结构。
4. 超静定结构的解法 ⑷
求解超静定结构，必须 综合考虑三个方面的条件:
（1）平衡条件；
（2）几何条件；
⑸
（3）物理条件。 4
具体求解时，有两种基本(经典)方法—力法和位移返法回。
§7—2 超静定次数的确定
n=6
←
对于具有较多框格的结构，可 按 框格的数目确定，因为一个封 闭框格，其 超 静定次数等于三。 当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 。
n=3×7=21
7
返回
§7—3 力法的基本概念
首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概
念。讨论如何在计算静定结构的基础上，进一步寻求计
算超静定结构的方法。
（1）力法方程的物基理本意结义构为在：全部多余
未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向
上的位移，应与原结构相应的位移相等。
（2）系数及其物理意义：
下标相同的系数 i i 称为主系数(主位移)，它是单位 多余未知力 单独作用时所引起的沿其自身方向上
的位移，其值恒为正。
系数 i j(i≠j)称为副系数(副位移)，它是单位多余未知力
△1= 11X1 +12X2 +13X3 +△1P =0
△2=21X1+22X2+23X3+△2P=0 △3=31X1+32X2+33X3+△3P=0
（7—2）
11
返回
11X1+12X2+13X3+△1P=0
21X1+22X2+23X3+△2P=0 31X1+32X2+33X3+△3P=0
（7—2）
B
↑ M1图
M
图
P
= 1 L22L EI 2 3
M图
=_
1
(1
qL
2 L
)
3L
EI 3 2
4
6. 将11、 ∆11代入力法方程式(7-1)，可求得
多余未知力x1求出后，其余反力、内力的计算都
是静定问题。利用已绘出
9
的
M1图 和MP图按叠加法绘M图。
返回
结论
象上述这样解除超静定结构的多余联系而 得到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未 知量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立 的位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平 衡条件计算其余反力、内力的方法，称为力法。
5
返回
3. 在刚结处作一切口， 或去掉一个固定端，相当 于去掉三个联系。
4. 将刚结改为单铰联 结，相当于去掉一个联系。
←X↓2 ↑X→2
应用上述解除多余
联系(约束)的方法，不难
确定任何 超静定结构的
超静定次数。
6
பைடு நூலகம்返回
3. 例题:确定图示结构的超静定次数（n）。
←↓↑→ →←
←↓↑→ →←
←↓↑→
q
1判断超静定次数： n=1
A EI
原结构
L
q
B
2. 确定(选择)基本结构。
A
3写出变形(位移)条件: 基本结构
↑B
(a)
根据叠加原理，式（a） 可写成
↑
q
8
(b)
返回
(b)
q
4 .建立力法基本方程 A
将 ∆11=11x1代入(b)得
EI
L
(7—1) L
此方程便为一次超静定结
q
构的力法方程。
5. 计算系数和常数项
↓P
↓P
基本结构的位移条件为：
△1=0 △2=0 △3=0
设当
和荷载 P
分别作用在结构上时，
原结构
基本结构
A （a）
B X1 A X2
→↑ X3 （b）
B
沿X1方向： 11 、12 、13 和△1P ；
A点的位移
沿X2方向： 沿X3方向：
21、22、23和△2P ； 31、32、33和△3P 。
据叠加原理，上述位移条件可写成
A
B PC
❖
↙↙
↗
↗
此超静定结构有一个多余联 系，既有一个多余未知力。
P
此超静定结构有二个多余联 系，既有二个多余未知力。
多余联这系些：联系仅就保持结构的几何不变 性来说，是不必要的。
多余未多知余力联：系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。
多余联系与多余未知力的选择。
3
返回
3. 超静定结构的类型
1
§7—1 概 述
1. 静定结构与超静定结构
静定结构全：部反力和内力只用平衡条件便可确
定的结构。
HA A
P
B
VA
RB
超静定结构仅：用平衡条件不能确定全部反力和
内力的结构。
A
P
B
❖
C
HA VA
RB
RC
外力超静定问题
内力超静定问题
P
2
返回
2 . 超静定结构在几何组成上的特征
是几何不变且具有“多余”联系（外部或内部）。
2. n次超静定问题的力法典型(正则)方程
对于n次超静定结构,有n个多余未知力，相应也有
n个位移条件，可写出n个方程
11X1+ 12X2+ … + 1iXi+ … + 1nXn+△1P=0
……………………………………………………………
i 1X1+ i 2X2+ … + i iXi+ … + i nXn+△iP=0 （7—3）
……………………………………………………………
n1X1+ n2X2+ … + niXi+ … + nnXn+△nP=0
这便是n次超静定结构的力法典型(正则)方程。式中
Xi为多余未知力， i i为主系数，i j(i≠j)为副系数, △iP 为常数项（又称自由项）。
12
返回
3. 力法方程及系数的物理意义
§7—4 力法的典型方程
用力法计算超静定结构的关键，是根据位移条件建立力法方 程以求解多余未知力，下面首先以三次超静定结构为例进行推导。
1. 三次超静定问题的力法方程 首先选取基本结构（见图b）
单独作用时所引起的沿 Xi方向上的位移， 其值可能为正、为负或为零。据位移互等定理，有
i j= j i △i P称为常数项(自由项)它是荷载单独作用时所引起 的沿Xi方向的位移。其值可能为正、为负或为零。返 回13 上述方程的组成具有规律性，故称为力法典型方程。
用力法解超静定结构时，首先必须确定多余联系
或多余未知力的数目。
1. 超静定次数： 多余联系或多余未知力的个数。 2 .确定超静定次采数用的解方除法多:余联系的
方法。解除多余联系的方式通 常有以下几种：
↓ ↑
（1）去掉或切断一根链杆，相
当于去掉一个联系。 （2）拆开一个单铰，相当
←↓↑→
于去掉两个联系。
第七章 力 法
§7—1 概述 §7—2 超静定次数的确定
§7—3 力法的基本概念
§7—4 力法的典型方程
§7—5 力法的计算步骤和示例
§7—6 对称性的利用
§7—7 超静定结构的位移计算
§7—8 最后内力图的校核
§7—9 温度变化时超静定结构的计算
§7—10 支座移动时超静定结构的计算
§7—13 超静定结构的特性
（1）超静定梁;
（2）超静定桁架； ⑶ （3）超静定拱；
（4）超静定刚架； （5）超静定组合结构。
4. 超静定结构的解法 ⑷
求解超静定结构，必须 综合考虑三个方面的条件:
（1）平衡条件；
（2）几何条件；
⑸
（3）物理条件。 4
具体求解时，有两种基本(经典)方法—力法和位移返法回。
§7—2 超静定次数的确定
n=6
←
对于具有较多框格的结构，可 按 框格的数目确定，因为一个封 闭框格，其 超 静定次数等于三。 当结构的框格数目为 f ,则 n=3f 。
n=3×7=21
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返回
§7—3 力法的基本概念
首先以一个简单的例子，说明力法的思路和基本概
念。讨论如何在计算静定结构的基础上，进一步寻求计
算超静定结构的方法。
（1）力法方程的物基理本意结义构为在：全部多余
未知力和荷载共同作用下，基本结构沿多余未知力方向
上的位移，应与原结构相应的位移相等。
（2）系数及其物理意义：
下标相同的系数 i i 称为主系数(主位移)，它是单位 多余未知力 单独作用时所引起的沿其自身方向上
的位移，其值恒为正。
系数 i j(i≠j)称为副系数(副位移)，它是单位多余未知力
△1= 11X1 +12X2 +13X3 +△1P =0
△2=21X1+22X2+23X3+△2P=0 △3=31X1+32X2+33X3+△3P=0
（7—2）
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返回
11X1+12X2+13X3+△1P=0
21X1+22X2+23X3+△2P=0 31X1+32X2+33X3+△3P=0
（7—2）
B
↑ M1图
M
图
P
= 1 L22L EI 2 3
M图
=_
1
(1
qL
2 L
)
3L
EI 3 2
4
6. 将11、 ∆11代入力法方程式(7-1)，可求得
多余未知力x1求出后，其余反力、内力的计算都
是静定问题。利用已绘出
9
的
M1图 和MP图按叠加法绘M图。
返回
结论
象上述这样解除超静定结构的多余联系而 得到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未 知量，根据基本结构应与原结构变形相同而建立 的位移条件，首先求出多余未知力，然后再由平 衡条件计算其余反力、内力的方法，称为力法。
5
返回
3. 在刚结处作一切口， 或去掉一个固定端，相当 于去掉三个联系。
4. 将刚结改为单铰联 结，相当于去掉一个联系。
←X↓2 ↑X→2
应用上述解除多余
联系(约束)的方法，不难
确定任何 超静定结构的
超静定次数。
6
பைடு நூலகம்返回
3. 例题:确定图示结构的超静定次数（n）。
←↓↑→ →←
←↓↑→ →←
←↓↑→
q
1判断超静定次数： n=1
A EI
原结构
L
q
B
2. 确定(选择)基本结构。
A
3写出变形(位移)条件: 基本结构
↑B
(a)
根据叠加原理，式（a） 可写成
↑
q
8
(b)
返回
(b)
q
4 .建立力法基本方程 A
将 ∆11=11x1代入(b)得
EI
L
(7—1) L
此方程便为一次超静定结
q
构的力法方程。
5. 计算系数和常数项
↓P
↓P
基本结构的位移条件为：
△1=0 △2=0 △3=0
设当
和荷载 P
分别作用在结构上时，
原结构
基本结构
A （a）
B X1 A X2
→↑ X3 （b）
B
沿X1方向： 11 、12 、13 和△1P ；
A点的位移
沿X2方向： 沿X3方向：
21、22、23和△2P ； 31、32、33和△3P 。
据叠加原理，上述位移条件可写成
A
B PC
❖
↙↙
↗
↗
此超静定结构有一个多余联 系，既有一个多余未知力。
P
此超静定结构有二个多余联 系，既有二个多余未知力。
多余联这系些：联系仅就保持结构的几何不变 性来说，是不必要的。
多余未多知余力联：系中产生的力称为多余未 知力（也称赘余力）。
多余联系与多余未知力的选择。
3
返回
3. 超静定结构的类型
1
§7—1 概 述
1. 静定结构与超静定结构
静定结构全：部反力和内力只用平衡条件便可确
定的结构。
HA A
P
B
VA
RB
超静定结构仅：用平衡条件不能确定全部反力和
内力的结构。
A
P
B
❖
C
HA VA
RB
RC
外力超静定问题
内力超静定问题
P
2
返回
2 . 超静定结构在几何组成上的特征
是几何不变且具有“多余”联系（外部或内部）。
2. n次超静定问题的力法典型(正则)方程
对于n次超静定结构,有n个多余未知力，相应也有
n个位移条件，可写出n个方程
11X1+ 12X2+ … + 1iXi+ … + 1nXn+△1P=0
……………………………………………………………
i 1X1+ i 2X2+ … + i iXi+ … + i nXn+△iP=0 （7—3）
……………………………………………………………
n1X1+ n2X2+ … + niXi+ … + nnXn+△nP=0
这便是n次超静定结构的力法典型(正则)方程。式中
Xi为多余未知力， i i为主系数，i j(i≠j)为副系数, △iP 为常数项（又称自由项）。
12
返回
3. 力法方程及系数的物理意义