一元二次不等式恒成立的常见 方法策略
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m 1 得m 1 ( 3) f (1) = m + 1 0
1 m − 2
类型2：设f ( x) = ax + bx + c(a 0)
2
（1）当a 0时，f ( x) 0在x [ , ]上恒成立
b − b b − − 2a 或 或 2a 2a b f ( ) 0 f ( ) 0 f ( − )0 2a
高中数学复习中的恒成立问题， 渗透着换元、化归、数形结合、函数 与方程等思想方法，有利于考Fra Baidu bibliotek同学 们的综合解题能力。因此也成为历年 高考的一个热点。 一元二次不等式恒成立问题作为 恒成立问题的基础，具有举足轻重 的作用
一元二次不等式恒成立问题基 本策略是转化为研究函数单调性求 最值的问题
对于一切实数x不等式x 2 − 2mx + 2m + 1 0 恒成立，求m的取值范围。
。
已知函数（ f x） = x 2 +mx-1，若对任意x m, m + 1， （ f x） 0恒成立，试求实数m的取值范围。
f ( m) 0 解析： f ( x) 0恒成立 f (m + 1) 0
类型4：设f ( x) = ax 2 + bx + c(a 0) 当a 0时，f ( x) 0在x [ , ]恒成立
解析：设f ( x) = x − 2mx + 2m + 1，
2
= (2m) 2 − 4(2m + 1) 0
1− 2 m 1+ 2
对于一切实数x不等式mx 2 − 2mx + 2m + 1 0 恒成立，求m的取值范围。
解析：设f ( x) = mx 2 − 2mx + 2m + 1，
f ( ) 0 f ( ) 0
当a 0时，f ( x) 0在x [ , ]恒成立
f ( ) 0 f ( ) 0
1 一元二次不等式在R上恒成立问题 2 一元二次不等式在给定区间上恒成立问题
1 2 3 4
二次函数 参变分离 更换主元 数形结合
2 f (0) = − x −1 0 根据题意有： 2 f (1) = 2( x − 1) − ( x + 1) 0 2 x +1 0 即： 得的取值范围为x R 2 x -2x +3 0
对于实数m 0,1 , x 2 − 2mx + 2m + 1 0 恒成立，求实数x的取值范围。
（2）当a 0时,f ( x) 0在x [ , ]上恒成立
b − b b − − 2a 或 或 2a 2a b f ( ) 0 f ( ) 0 f (− ) 0 2a
对于实数x [0,1], 不等式x 2 − 2mx + 2m + 1 0 恒成立,求实数m的取值范围。
1 利用对勾函数性质可得m − 2
类型：
一元二次不等式在给定区间上恒成立问题 （1）二次函数法 方法：
（2）分离参数法
对于实数m [0,1], 不等式x 2 − 2mx + 2m + 1 0 恒成立，求x的范围
解析：原不等式转化为f (m) = 2( x − 1)m − ( x 2 + 1) 且在m [0,1]上f (m) 0恒成立
2
(1)m = 0,1 0显然成立
m0 m 0 (2) 即 2 = (2m) − 4m(2m + 1) 0 m −1或m 0
m 0
x 前面系数的讨论
类型1：设f ( x) = ax 2 + bx + c, a 0
（ 1）f ( x) 0在x R上恒成立 a 0且 0
解法（二）：原不等式化为x 2 + 1 2( x − 1)m
(1)当x = 1时不论m取何值1 0显然成立
x2 + 1 (2)当x 1时即x [0,1)时，不等式可化为 : m 2( x − 1)
x2 + 1 设g ( x ) = 2( x − 1)
令t = x − 1(−1 t 0) (t + 1) 2 + 1 t 2 + 2t + 2 t 1 则g ( t ) = = = + +1 2t 2t 2 t
即求f ( x)的最小值f ( x) min 0即可
f ( x) = x 2 − 2mx + 2m + 1(0 x 1), 对称轴x = m
m 0 1 得− m 0 (1) 2 f (0) = 2m + 1 0
0 m 1 得0 m 1 ( 2) 2 f (m) = -m + 2m + 1 0
2
（2）f ( x) 0在x R上恒成立 a 0且 0
类型：一元二次不等式在R上恒成立问题 方法： 化归为二次函数，数形结合
对于实数x [0,1], 不等式x 2 − 2mx + 2m + 1 0 恒成立,求实数m的取值范围。
解法（一）设 : f ( x) = x 2 − 2mx + 2m + 1
7 (2014广东)已知函数f ( x) = 3 x -2mx − 1, g ( x) =| x | − 4 若对任意x (−1, 2), f ( x) g ( x), 求m的取值范围
2
数学常见恒成立, 最值分析来考虑; 变量分离和图象, 往往也来共参与.
3 (2013山东济南)设f ( x) = x − 1对任意x ， + ， 2 x 2 f ( ) − 4m f ( x) f ( x − 1) + 4 f (m)恒成立(m 0)， m 求m的取值范围
1 m − 2
类型2：设f ( x) = ax + bx + c(a 0)
2
（1）当a 0时，f ( x) 0在x [ , ]上恒成立
b − b b − − 2a 或 或 2a 2a b f ( ) 0 f ( ) 0 f ( − )0 2a
高中数学复习中的恒成立问题， 渗透着换元、化归、数形结合、函数 与方程等思想方法，有利于考Fra Baidu bibliotek同学 们的综合解题能力。因此也成为历年 高考的一个热点。 一元二次不等式恒成立问题作为 恒成立问题的基础，具有举足轻重 的作用
一元二次不等式恒成立问题基 本策略是转化为研究函数单调性求 最值的问题
对于一切实数x不等式x 2 − 2mx + 2m + 1 0 恒成立，求m的取值范围。
。
已知函数（ f x） = x 2 +mx-1，若对任意x m, m + 1， （ f x） 0恒成立，试求实数m的取值范围。
f ( m) 0 解析： f ( x) 0恒成立 f (m + 1) 0
类型4：设f ( x) = ax 2 + bx + c(a 0) 当a 0时，f ( x) 0在x [ , ]恒成立
解析：设f ( x) = x − 2mx + 2m + 1，
2
= (2m) 2 − 4(2m + 1) 0
1− 2 m 1+ 2
对于一切实数x不等式mx 2 − 2mx + 2m + 1 0 恒成立，求m的取值范围。
解析：设f ( x) = mx 2 − 2mx + 2m + 1，
f ( ) 0 f ( ) 0
当a 0时，f ( x) 0在x [ , ]恒成立
f ( ) 0 f ( ) 0
1 一元二次不等式在R上恒成立问题 2 一元二次不等式在给定区间上恒成立问题
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二次函数 参变分离 更换主元 数形结合
2 f (0) = − x −1 0 根据题意有： 2 f (1) = 2( x − 1) − ( x + 1) 0 2 x +1 0 即： 得的取值范围为x R 2 x -2x +3 0
对于实数m 0,1 , x 2 − 2mx + 2m + 1 0 恒成立，求实数x的取值范围。
（2）当a 0时,f ( x) 0在x [ , ]上恒成立
b − b b − − 2a 或 或 2a 2a b f ( ) 0 f ( ) 0 f (− ) 0 2a
对于实数x [0,1], 不等式x 2 − 2mx + 2m + 1 0 恒成立,求实数m的取值范围。
1 利用对勾函数性质可得m − 2
类型：
一元二次不等式在给定区间上恒成立问题 （1）二次函数法 方法：
（2）分离参数法
对于实数m [0,1], 不等式x 2 − 2mx + 2m + 1 0 恒成立，求x的范围
解析：原不等式转化为f (m) = 2( x − 1)m − ( x 2 + 1) 且在m [0,1]上f (m) 0恒成立
2
(1)m = 0,1 0显然成立
m0 m 0 (2) 即 2 = (2m) − 4m(2m + 1) 0 m −1或m 0
m 0
x 前面系数的讨论
类型1：设f ( x) = ax 2 + bx + c, a 0
（ 1）f ( x) 0在x R上恒成立 a 0且 0
解法（二）：原不等式化为x 2 + 1 2( x − 1)m
(1)当x = 1时不论m取何值1 0显然成立
x2 + 1 (2)当x 1时即x [0,1)时，不等式可化为 : m 2( x − 1)
x2 + 1 设g ( x ) = 2( x − 1)
令t = x − 1(−1 t 0) (t + 1) 2 + 1 t 2 + 2t + 2 t 1 则g ( t ) = = = + +1 2t 2t 2 t
即求f ( x)的最小值f ( x) min 0即可
f ( x) = x 2 − 2mx + 2m + 1(0 x 1), 对称轴x = m
m 0 1 得− m 0 (1) 2 f (0) = 2m + 1 0
0 m 1 得0 m 1 ( 2) 2 f (m) = -m + 2m + 1 0
2
（2）f ( x) 0在x R上恒成立 a 0且 0
类型：一元二次不等式在R上恒成立问题 方法： 化归为二次函数，数形结合
对于实数x [0,1], 不等式x 2 − 2mx + 2m + 1 0 恒成立,求实数m的取值范围。
解法（一）设 : f ( x) = x 2 − 2mx + 2m + 1
7 (2014广东)已知函数f ( x) = 3 x -2mx − 1, g ( x) =| x | − 4 若对任意x (−1, 2), f ( x) g ( x), 求m的取值范围
2
数学常见恒成立, 最值分析来考虑; 变量分离和图象, 往往也来共参与.
3 (2013山东济南)设f ( x) = x − 1对任意x ， + ， 2 x 2 f ( ) − 4m f ( x) f ( x − 1) + 4 f (m)恒成立(m 0)， m 求m的取值范围