第9章 梁的弯曲变形与刚度计算

9.1 工程实际中的弯曲变形问题
7-1
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大
的弹性变形，以满足特定的工作需要。
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形， 以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
取梁的左端点为坐标原点, 梁变形前的轴线为x轴, 横截面的铅垂对称轴为y轴, xy平面为纵向对称平面。
(d)
y
简支梁的边界条件是
在x＝0处, w＝0 在x＝l处, w＝0
FA A x
q
FB B
x
l
代入(c)、(d)式确定出 积分常数
ql 3 C1 24
C2 0
q w (l 3 6lx 2 4 x3 ) 24 EI
q lx 2 x3 EIw ( ) C1 2 2 3 q lx3 x 4 EIw ( ) C1 x C2 2 6 12
Fab(l a ) B 6lEI
简支梁的最大挠度应在w'＝0处。研究第一段 梁, 令w'1＝0得
Fb [ 1 (l 2 b 2 ) x 2 ] 0 1 w1 2lEI 3
FA
A x a I F D l b II FB B
l b x1 3
2 2
a(a 2b) 3
(1) 列(l x) Fl Fx
(2) 列挠曲线近似微分方程并积分
EIw M ( x) Fl Fx
EIw M ( x) Fl Fx
Fx 2 EIw Flx C1 (a) 2 Flx 2 Fx3 EIw C1 x C2 (b) 2 6
将x = 0和x = l分别代入转角方程左右两支座 处截面的转角
Fab(l b) A 1 |x 0 6lEI
FA A a I F D b II l
FB
B
Fab(l a) B 2 | x l 6lEI
x
当a > b时, 右支座处截面的转角绝对值为最大
max
当a > b时, x1< a, 最大挠度确实在第一段梁中
wmax Fb w1 |x x1 (l 2 b 2 )3 9 3lEI
讨论1:上例中，梁中点挠度与最大挠度的关系？
l 2 b2 a(a 2b) 由x1 3 3
FA A x a I
F
D l
则：当F从梁中点位置向B支座移 动时，b值减小时，x从0.5L向 0.577L趋近（F接近B点时）；
第9章 梁的弯曲变形与刚度计算 §9-1 §9–2 §9-3 §9-4 §9-5 §9-6 §9-7 工程中的弯曲变形问题 梁的挠曲线近似微分方程 积分法计算梁的变形 叠加法计算梁的变形 梁的刚度计算及提高梁刚度的措施 简单超静定梁 梁的弯曲应变能
9.1 工程中的弯曲变形问题
弯曲构件除了要满足强度条件外, 还需满足刚度条 件。如车床主轴的过大弯曲引起加工零件的误差。
ql FA FB 2
q M ( x) (lx x 2 ) EIw 2
(b)
y FA A x l
q
FB B x
q EIw M ( x) (lx x 2 ) 2
(b)
积分两次
q lx 2 x3 EIw ( ) C1 2 2 3 3 4 q lx x EIw ( ) C1 x C2 2 6 12 (c)
称为近似的原因: (1) 略去了剪力的影响; (2)略 去了w'2项。
9.3 积分法求弯曲变形
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量, 上式可改写成
EIw M ( x)
上式积分一次得转角方程
EIw M ( x)dx C1
再积分一次, 得挠度方程
EIw M ( x)dx dx C1 x C2
A
B
wC wC C C


不可能
讨论：
①适用于小变形、线弹性、细长构件的平面弯曲 ②用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移
③积分常数由挠曲线变形边界条件确定
④优点：使用范围广，直接求出较精确；
缺点：计算较繁
例1：图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁, 在自由端 受一集中力F作用。试求梁的挠曲线方程和转角 方程, 并确定其最大挠度wmax和最大转角max 。 解：以梁左端A为原点, y F 取直角坐标系, 令x轴 A B 向右, y轴向上为正。 x
M
M
w (1 w )
2 3 2
O
M ( x) EI
M＞0 w’’>0
x
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
由于挠曲线是一条非常平坦的曲线, w'2远比1小, 可以略去不计, 于是上式可写成
M ( x) w EI
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程。
(Approximately differential equation of the deflection curve)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
挠度和转角符号的规定：
挠度：在图示坐标系中, 向上为正, 向下为负。 转角： 逆时针转向为正,顺时针转向为负。
y
F
A C B
x
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题 必须注意: 梁轴线弯曲成曲线后, 在x轴方向 也有线位移。 但在小变形情况下, 梁的挠度远小于跨长, 横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于 高阶微量, 可略去不计。
FA
边界条件:
在x = 0处, w1＝0 在x = l处, w2＝0
A
x
a I
F D l
b II
FB
B
代入方程可解得:
Fb 2 2 C1 C2 (l b ) 6l
D1 D2 0
将积分常数代入得
梁段I ( 0 x a) 梁段II ( a x l)
转角方程
1 w1
qx 3 w (l 2lx 2 x3 ) 在 梁跨中点l/2处 有 最大 24 EI
挠度值
wmax
5ql w| l x 384 EI 2
4
例3：图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受 一集中力F的作用。试求此梁的挠曲线方程和转 角方程, 并求其最大挠度和最大转角。 FA FB F a b 解: 求出梁的支反力为
y A C C1 B x
w
挠度符号？
挠度
B'
挠度(w): 横截面形心(即轴线上的点)在垂直于x轴方 向的线位移, 称为该截面的挠度(Deflection) 。

y A
转角
C
C1
B
x
转角符号？
B'
转角(): 横截面绕中性轴(即Z轴)转过的角度（或 角位移）, 称为该截面的转角(Slope rotation angle) 。
y F C B x
A
C1
w(挠度)
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。 挠曲线方程:
w f ( x)
y F
式中, x为梁变形前轴线上任一点的横坐标, w为该 点的挠度。
A C C1 B
x
w(挠度)
挠曲线
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
y
A
例2: 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在全梁上 受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线 方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax和最大 转角max 。 y
解: 由对称性可知, 梁的两个支反力为
FA q
FB
B x
A
x l
梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
ql 1 2 q M ( x) x qx (lx x 2 ) 2 2 2 (a)
y
F
B
(3) 确定积分常数
A x
在x＝0处, w＝0
在x＝0处, ＝0
x
l
代入式(a)和(b), 得： C1＝0,
C2＝0
(4) 建立转角方程和挠度方程 将求得的积分常数C1和C2代入式(a)和(b), 得梁 的转角方程和挠度方程分别为： y
Flx Fx 2 w EI 2 EI
式中：积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的边界 条件和变形的连续性条件来确定。
边界条件(boundary condition)
A B wB＝0
简支梁
wA＝0
悬臂梁
连续性条件 (Continuity condition)
A
B
wA＝0 A
A＝0
c 不可能
B
在挠曲线的任一点上, 有 唯一的挠度和转角。如:
C C1
F B
x
w(挠度)

挠度与转角的关系：
(转角)
tan w f ( x)
9.2 挠曲线的近似微分方程
M 纯弯曲时曲率与弯矩的关系为 EI 横力弯曲时, M和都是x的函数。略去剪力对梁 的位移的影响, 则 1
1 M ( x) ( x) EI
由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作
b II
FB B
此时最大挠度的位置离梁中点最远，梁中点挠 度与最大挠度应该差距较大。 在极端情况下, 当 b非常小, 以致 b2与 l 2项相比 可以略去不计时 Fb wmax w1 |x x1 (l 2 b 2 )3 9 3lEI
wmax Fbl 2 Fbl 2 0.0642 EI 9 3lEI
b x 3 F ( x a )3 EIw2 F C2 x D2 l 6 6
注意：在对梁段II进行积分运算时, 对含有(x-a)的弯矩 项不要展开, 而以(x-a)作为自变量进行积分, 这样可使下 面确定积分常数的工作得到简化。
D点的连续条件：
在x = a处, 1＝2, w1＝ w2
A
I D x l II
B
Fb FA l
Fa FB l
将梁分为I和II两段, 其弯矩方程分别为
b M 1 FA x F x l b M 2 F x F ( x a) l (0 x a)
(a x l )
两段梁的挠曲线方程分别为
梁段I ( 0 x a)
挠曲线方程 EIw1 M 1 F b x l
qx 3 2 3 w (l 2lx x ) 24 EI
由对称性可知, 在两 端支座x＝0和x＝l 处, 转角的绝对值相 等且都是最大值
y q A
A
wmax B
B
x
l/2
max
3 A ql B 24 EI
q w (l 3 6lx 2 4 x3 ) 24 EI
Flx Fx w 2 EI 6 EI
2 3
F A B x wma
max
x
x
l
(5) 求最大转角和最大挠度 自由端B处的转角和挠度绝对值最大。
max
x l
Fl 2 2 EI
wmax w x l
Fl 3 3EI
所得的挠度为负值, 说明B点向下移动; 转角为 负值, 说明横截面B沿顺时针转向转动。
梁段II ( a x l)
M 2 F b x F ( x a ) EIw2 l
积分一次 b x2 得 转 角 方 EIw1 F C1 l 2 程
再积分一 次得挠曲 线方程
b x3 EIw1 F C1 x D1 l 6
b x 2 F ( x a)2 EIw2 F C2 l 2 2
梁中点C处的挠度为
Fb wC w1 | l (3l 2 4b 2 ) x 48EI 2
略去b2项, 得
Fbl 2 Fbl 2 wC 0.0625 16 EI EI
1 w M ( x) 3 ( x) EI 2 ) 2 (1 w

w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
y M M＜0 w’’<0 O x M
曲线向上凸 时： w’’<0, M＜0 曲线向下凸 时： w’’>0, M＞0 因此, M与w’’的正负号相同。
y
Fb 1 2 Fb l 1 [ (l b 2 ) x 2 ] 2 w2 [ ( x a) 2 x 2 (l 2 b 2 )] 2lEI 3 2lEI b 3
挠曲线方程
Fbx 2 w1 [l b 2 x 2 ] 6lEI Fb l w2 [ ( x a)3 x3 (l 2 b 2 ) x] 6lEI b