第五章刚体的定轴转动

第五章 刚体的定轴转动
本章主要内容
1、刚体描述 2、刚体转动定律 3、转动惯量计算 4、刚体的角动量和角动量守恒 5、转动中的功和能
教学基本要求(力学重点）
一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌 握角量与线量的关系.
二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕 定轴转动的转动定理.
三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运 动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题.
1 2
m( R22
R12 )
补例：质量为m 半径为 R 的匀质薄球壳绕过中心轴的
转动惯量 在球面取一圆环带，半径
R sin
d
r Rsin
dm
m
4R2
2
rRd
J r 2dm
2
2 mR 2 sin3 d
0
2 mR 2 3
补例：质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心轴的转动惯量 把球体看作无数个同心薄球壳的组合
轴的力矩 M zk
r
F
z
F
k
O Fz r
F
M z rF sin
（2）合力矩等于各分力 矩的矢量和 M M1 M2 M3
（3）刚体内作Байду номын сангаас力和反作用力的力矩 互相抵消．
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
Fij
M ji
Mij M ji
转动定律
1）单个质点m 与转
轴刚性连接
2
2
n 10 1.6圈
2
a at an
t an 2r
a an2 at2
arctan an
at
本章主要内容
1、刚体描述 2、刚体转动定律 3、转动惯量计算 4、刚体的角动量和角动量守恒 5、转动中的功和能
§5.2 转动定律( 牛顿第二定律）
一 力矩
用来描述力对刚体
例2 质量为mA的物体A 静止在光滑水 平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳
索跨过一半径为R、质量为mC的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为mB 的物体B上，B 竖 直悬挂．滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与
轴承间的摩擦力可略去不计．(1)两物体的 线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的
张力各为多少？(2) 物体 B 从静止落下距 离 y 时，其速率是多少？
解：选地面为参考系，设对转轴
m 人：J , ; 台：J ´, ´
J mR2
J
1 2
MR 2
系统对转轴合外力矩为零，
角动量守恒。以向上为正：
R
M
J J 0 2m
M
人对地 2 台对地
J miri2
i
L J
L
J
Z
vi
O
ri
mi
图26
二. 角动量定理及守恒定律
M
dL
dt
M J d d(J) dL
dt dt dt
－－角动量定理
刚体所受的合外力矩等于刚体角动量的变化率。
L
J
常矢量
－－角动量守恒定律
角动量守恒定律：当刚体所受的的合外力矩为零，或 者不受合外力的作用，则刚体的角动量保持不变。
解： J r2dm R2dm
R2 dm
mR2
OR dm
P148 表5.1：一些均匀刚体的转动惯量 (记住)
例5.5 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求
通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ，
r 在盘上取半径为 ，宽为 dr
的圆环
圆环质量 dm 2π rdr
刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
二. 刚体的运动
1、平动
当刚体中所有点的运动轨迹都 保持完全相同时，或者说刚体内任 意两点间的连线总是平行于它们的 初始位置间的连线时，刚体的运动
叫作平动。
特点：刚体内所有的点具有相同的位移、 速度和加速度。
－－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
动．试计算细杆转动到与竖直线成 角时
的角加速度和角速度．
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
1 mgl sin J
2
m,l θ
O
FN
mg
式中 J 1 ml2 3
得 3g sin
2l
由角加速度的定义
dω dω dθ ω dω
dt dθ dt dθ ωdω 3g sin θdθ
四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能 在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能 守恒定律
能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体 的简单系统的力学问题.
§5.1 刚体转动的描述
一. 刚体
受力时不改变形状和体积的物体。
说明： 1) 理想化的力学模型； 2) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 3)刚体可以看成是无数质点组成的质点系，每一个质点 叫做刚体的一个质元; 4)关于质点系的运动基本定律适用.
处的质量元 dm dr dJ r2dm r2dr
J 2 l /2 r 2dr 1 l3
0
12
1 ml2
12
如转轴过端点垂直于棒
J l r 2dr 1 ml2
0
3
注意
转动惯量的大小取决于刚体的质量、形 状及转轴的位置 .
平行轴定理
质量为m 的刚体，如果对
其质心轴的转动惯量为 JC ，则
Ft mat mr
M rF sin
M rFt mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
z
M
Ft F
O
r
m
Fn
z
Fej
O rj mj
Fij
Mej Mij mjrj2α
j
j
Mij M ji Mij 0
j
Mej ( mjrj2 )α
O
RR
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r2dm 2π r3dr
J R 2π r3dr π R4
0
2
而 m π R2
所以 J 1 mR2 2
例5.6 一质量为m 、长为l 的均匀细长棒，
求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为
M
R
dm
m
4 R3
4 r 2dr
3m R3
r 2dr
3
J
dJ
2 3
dm
r2
2m R3
R
r 4dr
0
2 mR 2 5
本章主要内容
• 1、刚体描述 • 2、刚体转动定律 • 3、转动惯量计算 • 4、刚体的角动量和角动量守恒 • 5、转动中的功和能
§5.4 刚体的角动量和角动量守恒
一. 刚体绕定轴转动的角动量 L mvr
解 (1) 用隔离法物 体分别对各物作受力分 析，取坐标如图．
A
mA
FN
PmA AO
FT1
x
C
mC
mB B
FT1
FC
PC
FT2
FT2
O
mB PB y
FT1 mAa mBg FT2 mBa
RFT2 RFT1 J a R
FN
PmA AO
FT1
x
FT1
FC
PC
FT2
j
z
O rj
Fej
m j
Fij
定义转动惯量 J
m j rj2
2
J r dm
j
转动定律
M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比 .
➢ 转动定律应用 M J
说明
(1) M J , 与 M 方向相同
(2) 为瞬时关系
(3) 转动中M J与平动中F ma
的转动 作用．
F 对 转轴 Z 的力矩 M rF
M Frsin Fd
z
M
r
Od
F
P*
d: 力臂
F
F
Fi 0 , Mi 0
F
F
Fi 0 , Mi 0
讨论
（1）若力
F
不在转动平面内，把力分
解为平行 和垂 直于 转轴方向的两个分量
F Fz F
其中 Fz对转 轴的
力矩为零，故 F 对转
2l 代入初始条件积分得 ω
m,l FN θ mg
O
3g (1 cosθ) l
本章主要内容
1、刚体描述 2、刚体转动定律 3、转动惯量计算 4、刚体的角动量和角动量守恒 5、转动中的功和能
§5.3 转动惯量的计算
z 刚体的转动惯量等于刚体上各
质点的质量与各质点到转轴垂直距
离平方的乘积之和。
地位相同
例1 一个质量为M、半径为R 的定滑轮上
面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上， 另一端挂一质量为m 的物体而下垂。忽略 轴处摩擦，求物体m下落时的加速度。
定轴O
解： 对m : mg T2 ma
·R 绳 v0=0
m
对M：M ＝T1R＝J
T1 T2
J＝1 MR2 2
a R
解 方 程 得 ：a m g m M 2
P150－157 例5.7～例5.9
例5.7、如图所示,棒长为l,质量为M，静止悬于长棒的 下端。一质量为m的子弹以水平速度v0射入而不复出。 求棒和子弹开始一起运动时的角速度。
解:角动量守恒
mlv0
mlv
1 Ml 2
3
M
v l
v0
v
3m v0
3m M l
[例5.8] :一半径为R、质量为 M 的转台，可绕通过其 中心的竖直轴转动, 质量为 m 的人站在转台边缘，最 初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计阻力) ，相对于地面，人和台各转了多少角度？
讨论：分两种情况：
L
J
常矢量
1) 如果转动惯量不变，刚体作匀速转动；
2) 如果转动惯量发生改变，则刚体的角速度随转动惯量也发生
变化，但二者的乘积不变。当转动惯量变大时，角速度变小；
当转动惯量变小时，角速度变大。
推广：对于多个刚体或刚体与质点的组合系统，角动量
定理
仍然成立。
——对于由多个刚体或刚体与质点组成的复杂系统，系 统所受的力对同一转轴的合外力矩等于系统对该转轴 的总角动量的变化率；若系统所受的对某一转轴的合 外力矩为零，则系统对该转轴的总角动量守恒。
yi
若质量离散分布 J＝ mi ri2
i
xi x
ri
Δmi
y
若质量连续分布 J r2dm
•转动惯量是标量； •转动惯量有可加性；
• 转动惯量与刚体的质量、刚 体的形状、以及转动轴有关
•刚体转动惯性大小的量度。
•单位：kg·m2
例5.4、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴 与圆环平面垂直并通过圆心。
（2） B由静止出发作匀加速直线运动， 下落的速率
v 2ay
2mB gy
mA mB mC / 2
例3 一长为 l 、质量
为 m 匀质细杆竖直放置，
其下端与一固定铰链O相 接，并可绕其转动．由于 此竖直放置的细杆处于非
m,l
θ mg
O
稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细
杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转
FT2
O
mB PB y
解得：
a
mB g
mA mB mC 2
FT1
mA
mAmB g mB mC
2
FT2
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
如令 mC 0 ，可得
FT1
FT2
mAmB g mA mB
FT1
mA
mAmB g mB mC
2
FT2
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
3、 匀加速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀 加速转动。
刚体匀加速转动与质点匀加速直线运动公式对比
质点匀加速直线运动
v v0 at
x
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2as
刚体绕定轴作匀加速转动
0 t
0t
1 2
t
2
2 02 2
P142 例5.1
例5.1一条绳索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮半径 r=0.5m，如果升降机从静止开始以加速度a=0.4m/s2 匀加速上升，求:
刚体平动 质点运动
2、转 动
刚体中所有的点都绕同一条直
线作圆周运动，这种运动称为转 动。这条直线叫作转轴。
定轴转动：转轴固定不动的转动。 特点： •各质点都作圆周运动； •各质点圆周运动的平面垂直于轴线， 圆心在轴线上； •各质点的矢径在相同的时间内转过的 角度相同。具有相同的角位移、角速 度和角加速度.
+ 3、刚体的一般运动 平动
绕转轴的转动
三. 刚体定轴转动的描述
1. 定轴转动的角量描述 非定轴转动？ 角位置： 角位移： 角速度：
角加速度：
• 角速度和角加速度均为矢量， 定轴转动中其方向沿转轴的方向 并满足右手螺旋定则。
2、 角量和线量的关系
v r
a r
an
r 2
a r et r 2en
对任一与该轴平行，相距为 d
的转轴的转动惯量
d
C mO
JO JC md 2
P
圆盘对P 轴 的转动惯量
JP
1 mR2 2
mR2
R Om
补例：内半径为R1 外半径为R2 质量为m 的匀质中空圆柱 绕其对称轴的转动惯量
o
R2
R1
dm
(
m R22
R12
)
2rdr
o
J
m
R2
r 2 2rdr
( R22 R12 ) R1
（1）滑轮的角加速度。
（2）开始上升后，t=5s末滑轮的角速度。
（3）在这5秒内滑轮转过的圈数。
（4）开始上升后，t’=1s末滑轮边缘上一点的加速度 （绳索和滑轮不打滑）
解：
a at,
at a 0.4 0.8(rad / s)
r r 0.5
t 0.85 4(rad / s)
1 t2 1 0.8 52 10rad